1、題目描述
0,1，...，n-1這n個數(shù)字排成一個圓圈，從數(shù)字0開始每次從這個圓圈里刪除第m個數(shù)字，求出這個圓圈里剩下的最后一個數(shù)字。
2、解題代碼
（1）方法一
利用循環(huán)鏈表模擬這個過程,每找到一個要刪除的數(shù)字就將其從循環(huán)鏈表里移除，直到找到最后的一個數(shù)字
public class LastNumberInCircle_45
{
/************************************************************************
* 解法1：利用循環(huán)鏈表。
* @param n n個數(shù)字
* @param m 每次刪除第m個數(shù)字
* @return 最后剩下的數(shù)字
************************************************************************/
public int LastRemaining_Solution(int n, int m)
{
if (n < 1 || m <1)
return -1;
CircleNode head = new CircleNode(0);
CircleNode tail = head;
for (int i = 1; i < n; ++i)
tail = (tail.next = new CircleNode(i));
//形成循環(huán)鏈表
tail.next = head;
while (tail != tail.next)
{
for (int i = 1; i < m; ++i)
tail = tail.next;
//此時tail 是要出列節(jié)點的前一個節(jié)點
tail.next = tail.next.next;
}
return tail.value;
}
}
class CircleNode
{
int value;
CircleNode next;
public CircleNode(int value)
{
this.value = value;
}
}
（2）方法二
試著找到每次被刪除數(shù)字有哪些規(guī)律。首先定義一個關于n和m的方程f(n,m)，表示在n個數(shù)字0,1，...，n-1中每次刪除第m個數(shù)字最后剩下的數(shù)字。
- 在這n個數(shù)字中，第一個被刪除的數(shù)字是(m-1)%n記為k
k = (m-1)%n .......................................A
那么刪除k之后剩下的n-1個數(shù)字0,1，...k-1，k+1，...，n-1，并且下一次刪。除數(shù)字從k+1開始計數(shù)。相當于在剩下的序列中，k+1排在最前面，從而形成k+1，...，n-1，0,1，...k-1。該序列最后剩下的數(shù)字也是關于n和m的函數(shù)。由于這個序列的規(guī)律和前最初序列不一樣，因此函數(shù)不同于最初序列，即為f'(n-1, m)。最初序列最后剩下的數(shù)字f(n,m)一定是刪除一個數(shù)字之后的序列最后剩下的數(shù)字，即
f(n,m)=f'(n-1, m) .................................B
接下來，定義一個映射p，p(x) = (x-k-1)%n，它表示如果當前的數(shù)字是x，那么映射后的數(shù)字是(x-k-1)%n。該映射的你映射為p-1(x) = (x+k+1)%n。把剩下的這n-1個數(shù)字的序列k+1，...，n-1，0,1，...k-1做一個映射p，得到
k+1 --------------->0
k+2 --------------->1
...
n-1 ---------------->n-k-2
0 ------------------->n-k-1
1 ------------------->n-k
...
k-1 ----------------->n-2
由于映射之后的序列和最初的序列具有相同的形式，即都是從0開始的連續(xù)序列，因此仍然可以用函數(shù)f表示，記為f(n-1,m),映射之前的序列中最后剩下的數(shù)字
f'(n-1, m)=p-1[f(n-1, m)]=[f(n-1, m)+k+1]%n ..................................C
把A、B帶入C得
f(n,m)=f'(n-1, m)=[f(n-1, m)+m]%n .................................................D
經(jīng)過上面分析，得到一個遞推公式。要得到n個數(shù)字的序列中最后剩下的數(shù)字，只需要得到n-1個數(shù)字的序列中最后剩下的數(shù)字，并以此類推。當n=1時，也就是序列中開始只有一個數(shù)字0，那么最后剩下數(shù)字也是0。把這種關系表示為
f(n,m) = 0...............................n=1
f(n,m)=[f(n-1, m)+m]%n.........n>1
編碼如下
/********************************************************************************
* 解法2：試著找到每次被刪除的數(shù)字有哪些規(guī)律
****************************************************************************/
public int LastRemaining_Solution2(int n, int m)
{
if(n < 1 || m < 1)
return -1;
int last = 0;
for (int i = 2; i <= n; ++i)
last = (last + m) % i;
return last;
}
