假設賭局1:你贏的概率是60%，輸的概率是40%。贏時的凈收益率是100%，輸時的虧損率也是100%。也即，如果贏，那么你每賭1元可以贏得1元，如果輸，則每賭1元將會輸掉1元。賭局可以進行無限次，每次下的賭注由你自己任意定。問題：假設你的初始資金是100元，那么怎么樣下注，即每次下注金額占本金的百分之多少，才能使得長期收益最大。
對于這個賭局，每次下注的期望收益是下注金額的60%1-40%1=20%，期望收益為正。也就是說這是一個對賭客占優的賭局，而且占得優勢非常大。
那么我們應該怎么樣下注呢？
如果不進行嚴密的思考，粗略的想象一下，我們會覺得既然我每次賭的期望收益是20%，那么為了實現長期的最大收益，我應該在每次賭博中盡量放入更多比例的本金。這個比例的最大值是100%。
但是顯然每一局賭博都放入100%的本金是不合理的，因為一旦哪一次賭博賭輸了，那么所有的本金就會全部輸光，再也不能參加下一局，只能黯然離場。而從長期來看，賭輸一次這個事件必然發生，所以說長期來看必定破產。
所以說這里就得出了一個結論：只要一個賭局存在一下子把本金全部輸光的可能，哪怕這個可能非常的小，那么就永遠不能滿倉。
因為長期來看，小概率事件必然發生，而且在現實生活中，小概率事件發生的實際概率要遠遠的大于它的理論概率。這就是金融學中的肥尾效應。
繼續回到賭局1。
既然每次下注100%是不合理的，那么99%怎么樣。如果每次下注99%，不但可以保證永遠不會破產，而且運氣好的話也許能實現很大的收益。
實際情況是不是這個樣子呢？
我們先不從理論上來分析這個問題，我們可以來做個實驗。我們模擬這個賭局，并且每次下注99%，看看結果會怎么樣。
這個模擬實驗非常的簡單，用excel就能完成。請看下圖：
如上圖，第一列表示局數。第二列為勝負，excel會按照60%的概率產生1，即60%的概率凈收益率為1，40%的概率產生-1，即40%的概率凈收益為-1。第三列為每局結束時賭客所有的資金。這個實驗每次下注倉位是99%，初始本金是100，分別用黃色和綠色標出。
大家從圖中可以看出，在進行了10局之后， 10局中贏的局數為8，比60%的概率還要大，僅僅輸了兩次。但即使是這樣，最后的資金也只剩下了2.46元，基本上算是輸光了。
當我把實驗次數加大，變成1000次、2000次、3000次……的時候，結果可想而知了，到最后手中的資金基本上是趨向于0。
既然99%也不行，那么我們再拿其他幾個比例來試試看，看下圖：
從圖中可以看出，當把倉位逐漸降低，從99%，變成90%，80%，70%，60%的時候，同樣10局的結果就完全不一樣了。從圖中似乎可以看出隨著倉位逐漸的變小，在10局之后的資金是逐漸變大的。
大家看到這里，就會漸漸的發現這個賭局的問題并不是那么簡單的。就算是賭客占優如此之大的賭局，也不是隨隨便便都能贏錢的。
那么到底怎么下注才能使得長期收益最大呢？
是否就像上圖所顯示的那樣，比例越小越好呢？應該不是，因為當比例變成0的時候顯然也不能賺錢。
那么這個最優的比例到底是多少呢？
這就是著名的凱利公式所要解決的問題！
凱利公式
凱利公式是一個特定賭局中，使得擁有正期望值之重復行為長期增長率最大化的公式。公式如下：
其中f為最優的下注比例。p為贏的概率。rw是贏時的凈收益率，例如在賭局1中rw=1。rl是輸時的凈損失率，例如在賭局1中rl=1。注意此處rl>0。
根據凱利公式，可以計算出在賭局1中的最有下注比例是20%。
我們可以進行一下實驗，加深對這個結論的理解。
如圖，我們分別將倉位設定為10%，15%，20%，30%，40%。他們對應的列數分別是D、E、F、G、H。
當我把實驗次數變成3000次的時候，如下圖：
當我把實驗次數變成5000次的時候，如下圖：
大家從兩幅圖中可以看到F列對應的結果最大，和其它列相比壓根就不是一個數量級的。而F列對應的倉位比例正是20%。
大家看到凱利公式的威力了吧。在上面的實驗中，如果你不幸將比例選擇為40%，也就是對應H列，那么在5000局賭博之后，你的本金雖然從100變成了22799985.75，收益巨大。但是和20%比例的結果相比，那真是相當于沒賺錢。
這就是知識的力量！
凱利公式理解
凱利公式的數學推導及其復雜，需要非常高深的數學知識，所以在這里討論也沒有什么意義。哎，說白了其實就是我也看不大懂。凱利公式原始的論文pdf鏈接我會附在文章后面，有興趣的可以自己去看。
在這里我將通過一些實驗，加深大家對凱利公式主觀上的理解。
我們再來看一個賭局。賭局2：你輸和贏的概率分別是50%，例如拋硬幣。贏的時候凈收益率為1，即rw=1，輸的時候凈損失率為0.5，即rl=0.5。也就是說當你每賭一元錢，贏的時候你能再贏1元，輸的時候你只要付出去5毛。
容易看出賭局2的期望收益是0.25，又是一個賭客存在極大優勢的賭局
根據凱利公式，我們可以得到每局最佳的下注比例為：
也就是說每次把一半的錢拿去下注，長期來看可以得到最大的收益。
下面我要根據實驗得出平均增長率r的概念。
首先來看實驗2.1，如下兩張圖：
這兩張圖都是模擬賭局2做的實驗，在第二列的勝負列中，實驗會50%的概率產生1，表示盈利100%。50%的概率產生-0.5，表示虧損50%。第三第四列分別是在倉位為100%和50%下每次賭局之后所擁有的資金。
仔細對比兩張圖可以發現結論一，亦即在經過相同次的局數之后，最后的結果只與在這些局數中贏的局數的數量和輸的局數的數量有關，而與在這些局數中贏的局和輸的局的順序無關。例如在上兩幅圖中，同樣進行了4局，同樣每幅圖中贏了兩局輸了兩局，但是第一張圖的輸贏順序是贏輸輸贏，第二張圖的輸贏順序是輸贏贏輸。它們最終的結果都是一樣的。
當然這個結論非常容易證明（乘法交換律，小學生就會），這里就不證明了，上面舉的兩個例子足夠大家很好的理解。
那么既然最終的結果和輸贏的順序無關，那么我們假設賭局2如實驗2.2一樣進行下去，看下圖：
我們假設賭局的勝負是交替進行的，由于結論一，從長期來看這對結果資金沒有任何影響。
在自己觀察圖片之前我們先做一個定義。假設將某幾局賭局視為一個整體，這個整體中各種結果出現的頻率正好等于其概率，并且這個整體的局數是所有滿足條件整體當中局數最小的，那么我們稱這個整體為一組賭局。例如在上圖的實驗中，一組賭局就代表著進行兩局賭局，其中贏一次輸一次。
仔細觀察上圖中藍色標記的數字，它們是一組賭局的結尾。你會發現這些數字是保持著穩定的增長的。當倉位是100%時，藍色標記數字的增長率是0%，即一組賭局之后本金的增長率為0%。這也解釋了當每次都滿倉下注的時候，在賭局2中長期來看是無法賺錢的。當倉位是50%（即凱利公式得出的最佳比例）時，藍色標記數字的增長率是12.5%，即一組賭局之后本金的增長率為12.5%。
這是一個普遍的規律，每組賭局之后的增長率與倉位有關。且每組賭局之后的增長率越大，那么長期來看最終的收益也就越多。
根據每組賭局的增長率可以計算出每個賭局的平均增長率g。在上面的圖中，每組賭局之中包含兩個賭局，那么每個賭局的平均增長率
其實這個r是可以通過公式算出來的。
從長期來看，想要讓資本得到最大的增長，其實只要讓r最大，也即讓g最大化。而最佳下注比例f其實也是通過求解max(g)的出來的。
凱利公式其他結論——關于風險
凱利傳奇（本節內容來自互聯網）
凱利公式最初為 AT&T 貝爾實驗室物理學家約翰·拉里·凱利根據他的同僚克勞德·艾爾伍德·夏農于長途電話線雜訊上的研究所建立。凱利解決了夏農的資訊理論要如何應用于一名擁有內線消息的賭徒在賭馬時的問題。賭徒希望決定最佳的賭注金額，而他的內線消息不需完美（無雜訊），即可讓他擁有有用的優勢。凱利的公式隨后被夏農的另一名同僚愛德華·索普應用于二十一點和股票市場中。
索普利用工作之余，通過數個月的艱苦演算，寫了一篇題為《“二十一點”優選策略》的數學論文。他利用自己的知識，一夜之間“奇襲”了內華達雷諾市所有的賭場，并成功的從二十一點賭桌上贏得了上萬美元。他還是美國華爾街量化交易對沖基金的鼻祖，70年代首創第一個量化交易對沖基金。1962年出版了他的專著《打敗莊家》，成為金融學的經典著作之一。
運用展望
如何利用凱利公式在現實生活中賺錢？
那就是要去創造滿足凱利公式運用條件的“賭局”。在我看來，這個“賭局”一定是來自金融市場。
近期我一直在做交易系統的研究，對于一個優秀的交易系統來說什么是最重要的？一個期望收益為正的買賣規則占到重要性的10%，而一個好的資金控制方法占到了重要性的40%，剩下的50%是操控人的心理控制力。
而凱利公式正是幫助我進行資金倉位控制的利器。
比如說之前我研究出的一個股票交易系統，該系統每周進行一次交易，每周交易成功的概率是0.8，失敗的概率是0.2。當成功的時候可以賺取3%（扣掉傭金，印花稅），每次失敗時虧損5%。在不知道凱利公式之前，我都是盲目的滿倉交易，也不知道我這個倉位設定的對不對，心理很虛。在運用凱利公式之后，計算的最佳的倉位應該是9.33，就是說如果借款利率是0的話想要得到最快的資金增長速度就要使用杠桿交易，通過公式計算得到每次交易的平均增長率r約等于7.44%，而滿倉交易的平均資金增長率為r約等于 1.35（其實也就是期望收益）。通過實驗模擬之后也發現確實杠桿交易比滿倉交易資金增長的速度要快的多。這也讓我更好的理解了為什么很多量化投資基金公司需要使用杠桿交易。
當然凱利公式在實際的運用中不可能這么的簡單，還有很多的困難需要克服。比如說杠桿交易所需要的資金成本，比如說現實中資金并不是無限可分的，比如說在金融市場并不像上文提到的簡單的賭局那么簡單。
但是不管怎么樣，凱利公式為我們指明了前進的道路。
