? 在小學數學階段，我們一共學習了三大板塊，算數，幾何，統計與概率。看似我們學習了非常多的內容，但是如果你能夠明白每一章之間的關聯，便會發現一切都變得簡潔了很多。數學正是要探索事物之間的關聯，如果只是單純知識的堆積，是沒有太大意義的。而我們所學習的方法是極為特殊的，因為我們是以建構的思想去探索每一章節的。接下來，請大家跟著我一起回顧整個小學所學習的數學內容吧！相信在這個過程當中，你也能領略到數學大廈的奧秘與神奇！
? 首先讓我們來看一下算數篇。大體的學習過程是這樣的，如圖：
從一年級到六年級，我們學習了很多不同的數，那么它們可不可以進行分類呢？而且一定要做到不重不漏。
? 剛開始，我覺得可以將它們分為四類。第一類就是自然數，第二類是小數，第三類是分數，還有一類是百分數。分完之后我們要來看一下，有沒有做到不重不漏。肯定沒有漏掉的，因為我把我們小學所有那些數都已經羅列上去了。這時要來看一下，有沒有做到不重復。百分數和分數是不是一類？仔細想一下，它們其實都是分數。百分數只不過是分母為100的分數而已，所以可以把它們歸為一類，統稱為分數。這時再來看一下，分數和小數有沒有必要同時存在？只要是分數，就都可以轉化成小數。但是任何小數都可以轉化成分數嗎？可能有一些小數是可以的，但是無限不循環小數可就不行了。我們知道任意兩個整數相除一定是一個整數，或有限小數或循環小數，但絕對不會是一個無限不循環小數。因此我們可以看出，小數包含的范圍是更廣的，所以小數里也包含著分數。這時我們可以將小數和分數在歸為一類，就是小數。但是這并不代表小數和分數的意義就全部是一樣的。小數和自然數顯然是沒有任何關系的，誰也不包含著誰，所以這兩類可以同時存在。到此，我們就把小學所有學過的數歸為了兩類：一類是自然數，一類是小數。
當然，后來我們知道還有負數的概念，因此說自然數和小數就不太準確了，應該是整數和小數。但是在小學階段我們只是簡單的設計，并沒有過多的學習，所以按照我們剛才的分類標準也是可以的。
? 首先我們來關注一下自然數。自然數的含義是什么？它是如何誕生的？我認為古人發明自然數，就是為了計數。比如在生活中，他們打到了兩頭羊，就會計為2，也就是兩個一。或者在測量一段距離的的時候他們也會用到數。首先統一測量基準，然后拿這個測量基準去量一段距離，看有幾個這樣的測量基準，那么長度就是多少。其實也就是系數乘基準，簡稱拉伸系數。
自然數，當然也有自己的四則運算。加法的含義就是多個集合合并。比如1+2就是——1這個集合，和兩個1這個集合相合并，得到新集合，有三個一，也就是3。（加數+加數=和）。而減法代表從一個集合中減去一部分，得到的差是多少。（被加數－減數=差）比如5-3=2。這時我發現，如果我們把集合中減去的部分再放回去，就又得到了原來的集合，比如原來有5個，拿走了3個還剩下2個，此時如果再拿回來3個就又變成了5個。也就是說5-3=2如果反過來的話就變成了相應的一道加法：2+3=5。（被減數-減數=差），（差+減數=被減數），通過這樣的概念解釋，我們就可以發現加減可以互逆！
而乘法就代表有幾個幾，或者幾的幾倍。比如說2×3，可以代表兩個三相加，也可以代表三個二相加，2×3=2+2+2，3×2=3+3=6。這也說明了乘法與加法之間有關系，可以相互轉化。同時他也代表倍數的意思——2的3倍，或者3的2倍。（乘數×乘數=積）。除法有兩個含義，一個是平均分，一個是包含。平均分意思就是將一個整體平均分成幾份，每份得到多少？比如說10÷2=5，把10平均分成2份，每份就是5。而包含的意思，就是說看這個整體里有幾個幾。比如說6÷2=3，就代表著六里面有三個二，或者也可以反過來說6÷3=2，代表六里面有兩個三。這時我又發現，6里面有3個2倒過來說就是3個2等于6，2×3=6。如果用符號語言表示的話就是：被除數÷除數=商，商×除數=被除數，乘除可以互逆！
但如果是很多算式綜合在一起，比如乘法和加法混合運算，連乘，連除...該如何快速計算呢？有沒有簡便的運算方法？首先我們看一下加法，比如：25+17+25=？? 25+17一時間不是很好算，但是25+25一下就可以得到是50，直接+17=67。如果都是加法，那么幾個加數最終都是要合并在一起，無論怎么合并，最終的結果都是一樣的，所以可以任意交換順序，這就是加法交換律。還有一種簡便運算方法就是加法結合律，可以先讓后面的運算，就是給后面加一個括號，最終也不影響結果。那么減法有什么簡便運算呢？比如：100-24-16=？如果一個一個按照順序算，會很慢。24，16兩個數都是要減去的，那么他們也可以一起減去，所以可以轉化成100-（24+16），100-40=60，非常容易的就得到了結果。
乘法有什么簡便運算呢？比如說：15×25×4=？如果直接算會很麻煩，但我們可以先計算后面的25×4，因為這兩個數字非常特殊，相乘等于100，將式子變成15×（25×4）=15×100=1500，這就是乘法結合律。我們再舉一個例子（5×2）+（5×3）=？這時將如何簡便運算？2個5+3個5，其實就是（2+3）個5，所以可以轉化成（2+3）5，最后得到結果是25，這就是乘法分配律。那么除法，有什么簡便運算？50÷5÷5=？除除就變成了乘，第二個五被除了兩次，所以他就變成了乘五，50÷（5×5）=50÷25=2。
學完自然數之后，我們可以將它們分一下類，但一定要做到不重不漏這一條原則。首先我先羅列一下自然數都分為哪幾類——第一類：基數。第二類：偶數。第三類：質數。第四類：合數。我來解釋一下每個數的定義。偶數其實就是0，2，4，6 ，8，10...他們其實就是二的整倍數，用符號可以表示成2n。記住0一定不能忘掉，為什么呢？因為它是2的0倍，也可以被2整除，這符合我們的歸類標準。基數就是1，3，5，7，9...他們總是比偶數多1或者少1，用符號可以表示成2n+1。質數就是，因數只有1和自己本身，比如：2，3，7...而合數就是，因數有除了1和自己本身之外還有別的數，比如：4，6，9...現在我們來看一下，有沒有做到不重。偶數和合數可不可以相互包含。可以舉個例子，比如說偶數的2，他是不是合數呢？2的因數只有1和自己本身，并不是合數，所以無法包含。現在我們來看一下，質數和基數。比如說基數的9，它不是質數，它的因數有除了1和它自己本身之外的數，所以他們也沒有關系。基數偶數，質數合數肯定也不會相互包含。所以，這樣的分類沒有任何問題。完全做到了不重不漏。
? 接下來我們來聚焦一下小數。小數是怎樣誕生的呢？可以想象一下，古人在測量的時候，如果發現所要測量的長度不正好是系數×基準，有的時候會少一點或者多一點，這個時候該怎么辦呢？于是人們發明了小數，他們將一個基準再平均分成幾份，得到一個更小的基準去測量。當時，人們認為平均分成10份更好，因為每一次計算更加方便，10的乘法和除法只用在末尾加0，去0就可以。比如把一米平均分成10份，每一份是1/10米，也就是一分米。接著，再把一分米平均分成10份，每份是一厘米，相鄰的兩個基準的進制都是10。或者可以反過來說，一分米等于0.1米，1厘米等于0.1分米，問題就這樣巧妙的被解決了。
一個小數由三部分組成，一個是他的整數數位，另一個數的小數數位，中間還有一個小數點（為了區分整數部分和小數部分）。它的小數數位的第一位叫做十分位，因為平均分成了10份，從左往右，每一次都要再乘一個10，就比如說第二位就叫百分位，因為是平均分成100份。以此類推……
小數分為三類，第一類是有限小數，也就是說，他們的數位是有限制的。第二類，是無限循環小數，它們的小數數位一直循環不斷出現一組數，就比如說一除三，等于0.3三循環。我們一般會在它循環的數上面點一個點，代表一直循環這個數。如果循環好幾個數，我們就在他循環數的第一位和最后一位上加一個點。還有一類是無限不循環小數，它的小數數位沒有盡頭，并且是沒有規律的出現很多數，不會循環。
那么小數竟然是一個數，肯定可以比大小，它究竟如何比大小？我認為應該先從大的數位開始比，再依次往小的數為準。首先我們先要看他的整數數位，因為整數數位更大，從它的最高位開始往右看，如果有一個比另一個更大，那么這個數肯定更大。如果整數數位都一樣，那么就要開始看小數數位。還是從最高位往右看，如果有一個數的數位比另一個更大，那么這個數就更大。如果最后發現后面的小數數位也都一樣，說明這兩個數相等。還有無限循環小數，首先看他的整數位，還是從左往右看。如果都一樣，就看小數數位。如果直接一看，可能不知道哪個大，所以最好將它的循環寫下幾組，然后再來比較。當然無限不循環小數也是可以比較大小的，還是從左往右開始比，直到發現了一個小數比另一個小數數位大的時候，就比較出來了。但我們一般不會比較這類小數。
那么小數如何四則運算呢？首先來看一下小數的加法。比如說1.3+2.1=？其實就是他的整數位為相加，然后是小數位相加，最后再加在一起。我們可以先把它看成13+21，轉到豎式里其實就是個位相加，十位相加，最后十位，個位相加。現在換成了小數，只不過原來的個位變成了十分位，原來的十位變成了個位。只是位置變了，但是他還是同樣的方法相加。但是小數在豎式計算的時候，小數點一定要對齊，因為它們是每一個位數和相對應的位數相加，最后算完之后一定要把小數點落下來。那么小數的減法，其實和小數的加法是同樣的，都是要小數點對齊， 最后算完之后把小數點落下來。
那么小數的乘法怎么算呢？比如說：1.2×3.9=？首先我想到了一種方法，可以將兩個乘數同時乘十，讓兩數都變成一個整數，算出結果之后再除10×10。或者也可以把它轉化成豎式，把它寫成整數乘法的格式，最后算出結果之后小數點再向左移兩位即可。但還有一種情況1.2×3.27=？這時我們為了讓他們都變成整數，可以分別把數兩位小數乘100變成整數成100，把一位小數×10，最后算出結果之后再除100×10。轉換到豎式里就是小數點向左移三位。那么小數的除法如何算呢？比如說：2.5÷1.2=？我們同樣可以把兩個數同時乘10讓它變成一個整數，然后得到結果，除法的被除數和除數同時乘一個數，商不變，所以就直接得到了結果。但如果是一個兩位小數除一位小數怎么辦？那么我們可以把那個兩位小數先變成整數，然后一位小數跟著它同樣變化，這樣商還是不變，并且兩數都變成了整數。
那么小數有沒有簡便運算呢？小數既然是一個數，就肯定有簡便運算。首先我們來看一下加法。2.5+3.4+6.6=？如果直接計算還需要一點時間，但是我們看一下，如果先加后面的兩數是不是會更方便。直接等于10+2.5=12.5，這樣便很方便地得到了答案。他應用到了加法結合律。那么小數的減法如何將它化簡呢？5.2-1.1-3.1=？我們可以把分別減去的加的一起減去，最后變成5.2-（1.1+3.1）=5.2-4.2=1。而小數的乘法簡便運算運用到的也是乘法分配律，還有交換律和結合律。而除法也是除除變為乘。在此就不舉例了。
? 接下來到了分數，那么分數他又是如何誕生的呢？試想一下，當人們想表示一個部分與整體的關系的時候，人們需要用到分數。或者當一個量不足一個完整基準的時候，也需要用到分數。一個分數由三部分組成，第一個是分子，第二個是分數線，第三個是分母。他的意思是將一個整體平均分成幾份。我們可以舉例來理解一下分數，比如說將一個蛋糕平均分給三個人，每個人得到多少塊蛋糕？我們可以直接用1除3得到，“1”就是整體1這個蛋糕，3是平均分成的份數，所以根據分數的意義可以直接得到每個人得到占整體三分之一。這個三分之一可以代表其中一塊站整體的三分之一，但是也可以說他就是一個具體的數量，是三分之一塊。因此，一個分數代表兩個意思，一個是部分整體的關系，另一個就是具體的數量。而我發現1÷3就等于1/3，被除數就是分數的分子，除號就是分數線，除數就是分母。除法和分數之間是有聯系的，并且他們可以相互轉化。
分數分為幾類，第一類是真分數，分子小于分母。第二類是假分數，分子大于或者等于分母。第三類是帶分數，他由一個整數和一個分數組成，一個整數帶一個真分數。
既然分數也是一個數，就可以比大小。先說一下真分數比大小。真分數比大小分為兩種情況，一個是兩數分母一樣，另一種是兩數分母不一樣。如果分母一樣，就代表將這個整體平均分成的份數一樣，那么我們只用看取得的份數是多少就可以比較了，取的份數越多，分數越大。相反，取的份數越少，份數越小。也就是說同分母的分數只需要比分子大小即可。那么如果分母不一樣，該如何比較大小呢？不可能直接比較分子，因為分母不一樣。如果想比較，分母就必須一樣。就比如說5/6和3/4。這時我想到了將它們化成除法，也就變成了5÷6，3÷4，我們為了讓它的除數變得一樣就要找到它們的最小公倍數，也就是12。6×2，4×3，除數乘幾，被除數跟著乘幾，最后的商不變。這樣我們就得到了10÷12和9÷12，這時他們倆數的大小都沒有變，而且他們的分母也都變成了同樣的，這樣就可以比較出來了。剛才我們所做的過程就叫通分。
接下來我們來看一下假分數，如何比大小？分為兩種情況，一個是分母相同，一個是分母不相同。如果分母相同，那么看分子即可，哪個分子大，哪個分數大，如果一樣的代表這兩個數相等。那么如果分母不相同怎么辦？同樣我們要將它的分子轉化成一樣的，找到它們的最小公倍數，然后分子跟著轉化，最后比較。那么帶分數如何比較大小呢？首先你可以看它的整數位，哪個大，哪個分數就大。那么如果整數部分一樣的話，就看分數部分，把分數部分比較出來就可以了。
分數既然是一個數，肯定也可以四則運算，首先讓我們來看一下加法。比如說1/2+1/2=？那么首先我們知道，二分之一就是一半，2個1/2加在一起就是一個整體，也就是1。或者也可以把二分之一轉化成1除2等于0.5，0.5+0.5=1，這也說明了分數與小數之間是有聯系的。但我們也可以從圖形語言上來解釋，最終我發現每次的結果都是，如果是同分母相加，直接分子相加就可以，因為分子代表有幾個這樣的分數單位，如果是異分母可以轉為同分母，然后分子相加，這個過程就叫通分。那么如果是分數的減法，如果是是同分母肯定是分子相減，因為分子代表他有幾個這樣的分數單位，自然是要減去分子。
那么分數的乘法該怎么計算呢？分為兩部分，一個是分數乘整數，一個是分數乘分數。首先讓我們來看一下分數乘整數，比如：1/4×2=？我們可以將分數轉換成小數，但是如果是一個非常大的計算量就難以計算，這樣實在是太麻煩了，并且有的時候可能會遇到轉化成無限循環小數情況，那要怎么辦？我們必須得找到一個普遍適用的公式。既然用符號語言表示沒有頭緒，我們就可以先用圖形語言來解釋。如圖：
首先將一個整體平均分成四份，取其中的一份，其中一份占整體的四分之一，現在拿兩個這樣的四分之一。直觀上來看就占整體的2/4，但是2/4這個分數他并不是最簡的。可以把它化成除法來理解2÷4=1÷2，被除數和除數同時除以一個數，商不變。那么分數也是一樣的，一定要讓它保持到最簡，不然2/4和1/2都代表同樣的意義，這樣就重復了，分子分母要互質才達到最簡分數形式，分子分母化簡的過程叫約分。我用圖形語言算了很多次之后，發現每次的結果都是整數乘分數的分子。因為分子代表有幾個分數單位，那么整數其實就是系數，再將原本的分數單位×整數就得到了現在應有的分數單位。我們還可以通過推理證明的方式來證明一下：
我們同樣也可以通過圖形語言來表示。如圖：
首先將一個整體平均分成兩份，取其中的一份，然后再將這一份平均分成兩份，取其中的一份，這一份占整體的直觀上來看就是四分之一。異分母的乘法同樣也會用這種圖形語言來表示，如：2/3×1/2=？如圖：
首先，我們將一個整體平均分成三份，取其中的倆份，然后再將這兩份平均分成兩份，取其中的一份，直觀上來看就是整體的三分之一。后來我發現，每次的結果都是分子乘分子，分母乘分母得到的。有沒有方法來證明一下呢？如圖：
這樣我們就得到了分數的普遍乘法運算法則，分子乘分子作為積的分子，分母乘分母作為積的分母。我們還可以用圖形語言來證明，如圖：
比如說b/a×d/c，首先，我們將一個整體平均分成a份，取其中的b份。現在再將b份平均分成c份，取其中的d份，最終得到的，也就是陰影部份。最終一共將這個整體平均分成了a×c份，一共取了b×d份。通過圖形，我們也可以印證分子乘分子，分母乘分母這個說法，最后算完之后一定要記得約分。
接下來我們看一下分數的除法。比如說：6÷1/3=？我們同樣可以把它轉換成小數來進行運算，但如果數字比較大，就比較麻煩，所以我要試著找到一個普遍適用的公式。首先我看到它是沒有什么頭緒的，也不知道該如何來畫圖。因為除以1/3，不是把整體平均分成三份，那他到底應該怎么分呢？我也不知道。但，現在我們可以先假設6÷1/3=A。那反過來，根據乘除互逆，就是A×1/3=6。我們可以發現A是6的三倍。并不是6的三分之一。所以在畫圖的時候絕對不是把它平均分成三份，而是原來的三倍。我發現了一個很有意思的現象。6÷1/3=6×3，也就是說一個數除以一個分數，就等于乘以分數的倒數。但是這不一定是普遍使用。我要通過字母來驗證，如圖：
雖然這樣確實也得到了答案，但是這樣是沒有意義的，因為你在算之前就已經知道了結果，你再反過來印證，這樣是完全沒有用的。所以必須一步一步推導，最后得到這個結果才可以。于是我換了一種方法。如圖：
這樣才是證明的過程。這樣我每次看到一個分數除法算式都可以把它轉化成乘法，最后得到結果。我還有幾種方法可以得出分數除法的結果，如圖：
在分數中還有一種特殊的，就是百分數。百分數在生活中什么地方可以見到呢？比如說，在衣服的標簽上會寫到什么材料站整體的百分之幾？或者說在超市里打幾折，比如打九折其實就是現在的價錢是原來的90%。可是問題來了，百分數也是分數，為什么不直接用分數來表示？非要研發一個百分數呢？我覺得可能是因為分數可以約分。但是百分數則不同，它的分母永遠是100，無須約分，這樣人們再提起某個部分與整體占比時會很方便，他也被稱為百分比，百分率。人們通常用“%”一符號來表示。
比如說現價是原價的50%，意思就是把原價平均分成100份，其中的50份就是現價，他是兩數之間的比例。同時百分數也可以轉化成小數或者分數。比如說25%，就是1/4，或者0.25。在轉化成分數的時候，我們只用把它寫成分母是一百的分數，然后約分就可以。如果是轉換成小數，直接小數點往左移兩位即可。百分數也可以以比的形式存在，比如說一個數是另一個數的20%，那這兩數之比就是20:100，中間的“：”就是比，其實意思也就是除，因為當你說20占100的20%的時候，其實就是20除100。20在這個比里叫前項，100在這個比里叫后項。但是我們一定要讓這個比變成最簡整數比。
? 至此算術篇就結束了，但是我們并沒有就此停步，我們以后還要學習更多的數，比如說負數（挑戰完成）函數（動態的圖像就更難了，但也更加好玩）還有代數，（比如二元一次方程...）
? 接下來讓我們看一下幾何篇。從一年級學到六年級的知識，其實就是圍繞著一維線，二維面積，三維體積展開學習的。大體思路框架是這樣的：
讓我們先來看第一個部分，一維的線。說到線我們都知道它分為三種，射線，直線，線段。但是對于這些線我們可以用來干什么呢？它到底有什么用處呢？它為何會誕生呢？在生活中，人們可能需要測量一段距離，也就是說我們需要知道一條線段的長度。首先，我們需要一個測量基準，然后看有幾個這樣的測量基準，它就有多長。但我們必須統一測量基準，如果標準不統一最終測量的結果也是不一樣的。因此統一測量基準至關重要。當然是哪個國家的實力強，誰就來規定。在那個時候，英國人較為的強大，所以他們統一了基準。分別是厘米，分米，米這三個常用測量基準。而這三者之間也有進制，十厘米等于一分米，十分米等于一米，一百厘米等于一米。有了統一的測量基準，我們只用看這一條線段有幾個這樣的測量基準就可以了。而長度基準我們一般稱它為系數，所以線段的長度就是系數×數量，簡稱拉伸系數。
? 在二維平面方面。就是在線的基礎上又多了一個維度。在學二維的時候，我們最開始學習的是正方形和長方形的面積。首先，既然要研究一個長方形的面積，我們可不可以先已知一個小正方形的面積？比如面積為一平方厘米。然后利用它來鋪滿這個長方形或者正方形，把所有的加在一起就是它的面積。我們可以先橫著鋪a個，然后再縱向鋪b個。那一共就是b個a排，或者a個b列，這類似于圖形運動當中的平移，每平移一格長度增加一厘米。因此，我們只需要分別將橫，縱的正方形數量相加再相乘便能得到面積。除了這種解釋方法外，大家還可以想象一下拿一個橡皮泥先橫著拉伸a倍，再縱著拉伸b倍，最終他一共拉伸了a×b倍，這里用到的是乘法。因此，我們可以通過兩種解釋方法順利的得到正方形和長方形的面積，分別是：邊長×邊長? 和? 長×寬。
接下來我們研究了三角形的面積。首先我看到一個三角形，感覺它就是把長方形或正方形沿著對角線切開形成的圖形。找這個思想，這樣分成的三角形面積，其實就是正方形或長方形的面積除二。按照這種方法所分出來的三角形只可能是直角三角形，而這個直角三角形的底和高正好就是長方形的長和寬，也就是說這個直角三角形的面積等于底乘高除二。這樣我們便順理成章的得到了直角三角形的面積公式，可是三角形不只有直角三角形，我們還要驗證一下其他的三角形是不是也是如此。如圖：
這是一個一般三角形。我們可以從他的高將它分為兩個直角三角形，同時這兩個直角三角形是同高，我們可以把高設為h。這兩個直角三角形面積分別是1/2abh，和1/2bch。現在這兩個面積部分加在一起，也就是整個三角形的面積此時，我們可以利用乘法分配律提取1/2和h，1/2h（ab+bc）=1/2h×ac。我驚奇的發現ac其實就是這個三角形的底，其面積公式依然是底×高÷2。任何三角形都可以分為這樣的兩個直角三角形，所以所有三角形的面積公式都是底×高÷2，這是一個普遍適用公式。在這個過程當中我們利用了割補變換，求出了三角形的面積。
接下來我們可以再利用三角形的面積公式，探索其他平面圖形的面積公式。依然可以采用割補的方法，將一個平面圖形切割成多個三角形。我們分別探索了平行四邊形的面積公式，梯形的面積公式。具體證明如下：
? 最后我們學習了圓的面積，雖然圓的面積公式證明也是割補變化，但它是無限分割，是一種極限思維。如圖：
這是一個圓形。我們將它平均分割成無數個一模一樣的等腰三角形。然后，我們將圓所分成的三角形分為兩半，然后將它拼插在一起，其實就是一個近似的長方形。三角形分的越細就越接近長方形，但是但凡能夠用手切成的小三角形就一定是存在誤差，它所拼成的長方形只能無限接近長方形，但永遠不是。所以我們要想象將其無限分割，具備無限的思想，此時拼成的長方形面積就等于長乘寬。長方形的寬其實也正好是圓的半徑，它的長也就是周長的一半。用符號語言表示的話就是1/2πd×r=πr×r=πr2。這就是圓的面積公式。
? 接下來就到了三維的立體階段。此時又多了一個維度——高。首先我們研究了長方體和正方體。分為了兩個方面來研究，體積和表面積。
首先讓我們探索一下正方體，長方體的體積。我們同樣可以用單位小木塊，體積為一立方厘米，鋪滿這個正方體或長方體，看有幾個這樣的小正方體，它的體積就是多少。我們可以先把一層鋪滿，然后看有幾層。這個過程也就類似于圖形的平移，先橫著平移一段距離，再豎著平移一段距離，再向上平移段距離，相當于是在做加法運算。或者我們也可以利用拉伸變化來解釋，比如一塊橡皮泥，先橫著拉伸a倍，再豎著拉伸b倍，最后向上拉伸c倍，一共拉伸了abc倍。通過這兩種方法，我們就可以得到它的體積公式：長×寬×高。
那么長方體和正方體的表面積如何計算？正方體有六個面，并且都是相同正方形，面積一樣。所以我們只用算出一個面的面積再乘六就可以了。長方體的表面積也很簡單，我們只需要把每一個面的面積分別加在一起，便可以得到結果。
現在讓我們看一下圓柱和圓錐的體積和表面積。圓柱的表面積分為兩個部分。第一部分是下底面和上底面的兩個面積一樣的圓形，第二個部分就是圓柱的側面，它的展開圖是一個長方形，分別算出來再加在一起就可以了。如圖：
這兩個圓形的面積很好算，分別是πr2。而它側面的展開圖是一個長方形，這個長方形的寬正好是圓柱體的高，可以假設為h，而它的長則正好是上下底圓形的周長，也就是πd，因此這個長方形的面積也就順利的求出來等于πdh。最后我們分別把幾個部分的面積相加在一起，就可以得到圓柱體的表面積：πdh+2πr2就是圓柱體的表面積了
如圖：
首先我們將一個圓柱沿它的上底面。平均分成多個等腰三角體。然后再把分成的三角體再分為兩半，將它們拼接。最后發現他是一個近長方體。但是要注意，但凡我們手動的去切割就一定會存在誤差，我們需要做一個思想實驗，想象著把這個圓柱體平均分成無數個等腰三角體，這樣所拼成的才是一個長方體。長方體的寬是圓的半徑，它的長是周長的一半，它的高也就是圓柱的高。長方體的體積等于周長的一半×半徑再×高，1/2πd×r×h=πr×r×h=πr2h。所以，圓柱的底面積乘高等于它的體積。
現在再讓我們看一下圓錐的表面積和體積，圓錐的表面積展開圖是一個圓形，還有一個扇形
這樣我們只需要分別求出來兩部分的面積即可。圓的面積我們會求，而這個扇形的弧長就是底面圓的周長，最后我們只需要知道這個扇形的母線是多少就可以，相當于就是這個扇形的半徑。我們知道扇形的面積等于1/2弧長×半徑，因此這部分的面積就等于1/2hπd，最后我們只需要將兩部分的面積相加即可：πr2+1/2hπd。
而圓錐的體積怎么求呢？我覺得他和圓柱的體積有關系，因為它們的底面都是一個正圓，如果一個同底等高的圓柱和圓錐放在一起，我們可以看看幾個圓錐的體積可以填滿一個圓柱，比如將其中放入沙子來進行實驗。最后我們實驗的結果是，等底等高的圓柱體和圓錐體的體積之比是3：1。（但是我們只是采用最基礎的手動驗證法，沒有通過嚴謹的推理證明，后續還有待證明）因此如果以后我們想求一個圓錐的體積，只需要用底面積×高÷3，即可得到結果。
? 這也就是一到六年級學的全部關于幾何的知識了，可是我們學完這些之后，以后就不會再學幾何了嗎？我想肯定不會的，我們還可能會學球的體積，表面積，有關四維空間的知識等等……
? 接下來我們來看一下統計與概率。何為概率？概率其實就是只在同一條件下隨機分布出現的可能性大小。假如一共進行了a此實驗，其中有n次的都一樣，那這種可能出現的幾率就是n/a。通過大量的實驗對一種可能性出現的幾率進行預測，經過大數實驗之后，這種可能性出現的幾率會在一個大概的范圍內浮動，是一個常數。如果你想發現一個規律，那將是非常非常困難的，但是不代表這個世界上就沒有規律。這個世界上的規律，無處不在。甚至一些非常細微的事情，它們之間都有聯系，存在著密碼。如果你真的想找到他們，就需要大數實驗，以及長時間的觀察。因為你第一次看到的現象，不代表他一直都會出現。隨機分布中的可能性也就是概率，但是并不能說概率就是完全確定的，因為一切都是在變化的。假如天氣預報說明天有60%的可能都會下雨，但是沒有下雨也是很正常的。但是概率與統計的章節，我們在小學階段并沒有過多的涉及，可能要到以后通過更多的數學知識，才能夠更深入的掌握本章節內容。
? 這也就是整個一到六年級我們學習的所有知識點，看似學了很多，但最后其實都可以歸納總結，要不然所有學的東西都是散的，他們之間并沒有聯系。這樣只是記住了好多個知識點而已，并沒有將他們貫通起來。但如果通過建構式的學習，會發現數學是一環扣一環的，其中任意一個環節出現問題，另外的部分也都無法解釋通。
