有心力問(wèn)題（13）：三體問(wèn)題

前面我花了九章才基本總結(jié)清楚如何將有心力問(wèn)題轉(zhuǎn)化為若干個(gè)運(yùn)動(dòng)積分，并討論了在一些為數(shù)不多的有解情況下，（約化一體開(kāi)普勒問(wèn)題的平方反比力場(chǎng)）微粒的軌道類(lèi)型及其封閉性的判定條件（伯特蘭定理）。值得再次強(qiáng)調(diào)的是，對(duì)于絕大多數(shù)其他類(lèi)型的有心力場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)方程都是不存在解析解的。如果這時(shí)再在系統(tǒng)中添加一個(gè)質(zhì)量，構(gòu)成三體系統(tǒng)，情況將會(huì)變得更加復(fù)雜。在三體情況下，即便對(duì)于最簡(jiǎn)單的平方反比力場(chǎng)，開(kāi)普勒型問(wèn)題都是沒(méi)有通解的。本篇?jiǎng)t是有心力問(wèn)題的最后一個(gè)問(wèn)題。作為結(jié)尾，將不涉及冗長(zhǎng)的數(shù)學(xué)計(jì)算，定性地分析一些簡(jiǎn)單的例子和歷史上存在的一些特殊解。

$\bullet$ 牛頓萬(wàn)有引力場(chǎng)的三體系統(tǒng)包含了三個(gè)質(zhì)量： $m_1$ ， $m_2$ 和 $m_3$ 。為了簡(jiǎn)便，我們?cè)俅问褂觅|(zhì)心參考系，并分別引入位矢（相對(duì)質(zhì)心 $\mathbf{R}$ ） $\mathbf{r}_1$ ， $\mathbf{r}_2$ 和 $\mathbf{r}_3$ 。

三個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程均可根據(jù)牛頓第二定律簡(jiǎn)單得到：

$m_1\ddot{\mathbf{r}}_1 = -Gm_1m_2\frac{\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2}{||\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2||^3} - Gm_1m_3 \frac{\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_3}{||\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_3 ||^3}$

$m_2\ddot{\mathbf{r}}_2 = Gm_1m_2\frac{\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2}{||\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2||^3} - Gm_2m_3 \frac{\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_3}{||\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_3 ||^3}$

$m_3\ddot{\mathbf{r}}_3 = Gm_1m_3\frac{\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_3 }{||\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_3||^3} + Gm_2m_3 \frac{\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_3}{||\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_3 ||^3}$

為了書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便，引入相對(duì)位矢 $\mathbf{s}$ 的定義： $\mathbf{s}_i = \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_k$ ：

$\mathbf{s}_1 = \mathbf{r}_3 - \mathbf{r}_2$ ； $\mathbf{s}_2 = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_3$ ； $\mathbf{s}_3 = \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1$

很明顯， $\mathbf{s}_1 + \mathbf{s}_2 + \mathbf{s}_3 = \mathbf{0}$

于是，

$\begin{align*}\ddot{\mathbf{s}}_2 &= \ddot{\mathbf{r}}_1 - \ddot{\mathbf{r}}_2\\&= Gm_2\frac{\mathbf{s}_2}{s_3^3 } - Gm_3\frac{\mathbf{s}_2}{s_2^3 } - Gm_1\frac{\mathbf{s}_2}{s_3^3 } + Gm_2\frac{\mathbf{s}_1}{s_1^3 } - \left(Gm_1\frac{\mathbf{s}_2}{s_2^3 } + Gm_2\frac{\mathbf{s}_2}{s_2^3 } + Gm_3\frac{\mathbf{s}_2}{s_2^3}\right)\\&\quad +Gm_2\frac{\mathbf{s}_2}{s_2^3 } + Gm_2\frac{\mathbf{s}_3}{s_3^3 } + Gm_2\frac{\mathbf{s}_1}{s_1^3 }\\&= -G(m_1 + m_2 + m_3)\frac{\mathbf{s}_2}{s_2^3} + Gm_2\left(\frac{\mathbf{s}_1}{s_1^3} + \frac{\mathbf{s}_2}{s_2^3} + \frac{\mathbf{s}_3}{s_3^3}\right)\\&= -mG\frac{\mathbf{s}_2}{s_2^3} + m_2\mathbf{G} \end{align*}$

其中 $m = \sum_i^3 m_i$ ， $\mathbf{G} = G\sum_i^3 \frac{\mathbf{s}_i}{s_i^3}$ 。

同理，

$\ddot{\mathbf{s}}_1 = -mG\frac{\mathbf{s}_1}{s_1^3} + m_1\mathbf{G}$

$\ddot{\mathbf{s}}_3 = -mG\frac{\mathbf{s}_3}{s_3^3} + m_3\mathbf{G}$

三體系統(tǒng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程可使用如下的對(duì)稱(chēng)表示：

$\boxed{\ddot{\mathbf{s}}_i = -mG\frac{\mathbf{s}_i}{s_i^3} + m_i\mathbf{G}, \quad i = 1,2,3}$

這三個(gè)耦合方程沒(méi)有一般解。

$\bullet$ 在歷史上，數(shù)學(xué)家歐拉曾找出一個(gè)能量為負(fù)的封閉軌道解，

如圖，該特殊解的質(zhì)點(diǎn) $m_2$ 總是位于質(zhì)點(diǎn) $m_1$ 和 $m_3$ 的連線(xiàn)上，所有矢量 $\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \mathbf{r}_3, \mathbf{s}_1, \mathbf{s}_2, \mathbf{s}_3,\mathbf{G}$ 均是共線(xiàn)的，并且 $m_1< m_2<m_3$ 。三質(zhì)點(diǎn)在不同的封閉軌道上以相同的周期 $\tau$ 繞轉(zhuǎn)著一個(gè)共同的焦點(diǎn)。在一個(gè)周期內(nèi)，三個(gè)質(zhì)點(diǎn)會(huì)出現(xiàn)一次近心位形（三體同時(shí)位于各自軌道的近心點(diǎn)）和一次遠(yuǎn)心位形（三體同時(shí)位于各自軌道的遠(yuǎn)心點(diǎn)）。

$\bullet$ 如果矢量 $\mathbf{G} = \mathbf{0}$ ，運(yùn)動(dòng)方程將會(huì)變?yōu)槿ヱ钚问剑?/p>
$\ddot{\mathbf{s}}_i = -mG\frac{\mathbf{s}_i}{s_i^3}$

我們得到了二體開(kāi)普勒問(wèn)題的運(yùn)動(dòng)方程。

由于 $\mathbf{G} = \mathbf{0}$ ，有 $G\left(\frac{\mathbf{s}_1}{s_1^3} + \frac{\mathbf{s}_2}{s_2^3} + \frac{\mathbf{s}_3}{s_3^3}\right) = \mathbf{0}$ ，

三個(gè)質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位矢必然構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，三個(gè)質(zhì)點(diǎn)將位于等邊三角形的頂點(diǎn)，繞著同一個(gè)焦點(diǎn)分別在三個(gè)共平面的橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)。在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，如果方程始終保持著去耦狀態(tài)，相對(duì)矢量也將始終保持等邊三角形的關(guān)系，盡管三角形的大小的方向可能會(huì)隨時(shí)變化。

質(zhì)量

m_1 < m_2 < m_3

的拉格朗日橢圓解。可見(jiàn)，無(wú)論是在近心位形還是遠(yuǎn)心位形，三點(diǎn)始終可以形成一個(gè)等邊三角形。

$\bullet$ 三體問(wèn)題的各種漸近解也已被前人找出。比如，當(dāng)三個(gè)質(zhì)點(diǎn)的能量均為正數(shù)時(shí)，它們將遠(yuǎn)離彼此；或者其中一個(gè)帶著最大能量逃逸，另外兩個(gè)以橢圓軌道繞轉(zhuǎn)共同的質(zhì)心。如果三質(zhì)點(diǎn)的能量都為負(fù)數(shù)，第一種情況是上面提到的三體封閉軌道，第二種則是一個(gè)逃逸，另外兩個(gè)呈封閉軌道的情況。

$\bullet$ 在限制性三體問(wèn)題(restricted three-body problem)中，通常有兩個(gè)質(zhì)量較大，相互約束的質(zhì)點(diǎn)；第三個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量則較小，對(duì)前兩者運(yùn)動(dòng)的微擾可以因此忽略。比如地-月-衛(wèi)星系，或者日-地-月系。對(duì)于前者，地球與月亮沿著各自未被微擾的軌道運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星則通過(guò)平方反比力與二者產(chǎn)生相互作用。

限制性三體問(wèn)題的一個(gè)最復(fù)雜的因素則是其引力勢(shì)在地-月系附近的分布。由于萬(wàn)有引力與距離呈反比，與質(zhì)量呈正比，所以在靠近地球附近，合力應(yīng)該指向地球；而在靠近月球附近，合力應(yīng)該指向月球。

考慮一個(gè)質(zhì)心系的二體系統(tǒng)（為了方便，僅僅考慮圓軌道）。現(xiàn)在我們需要將第三個(gè)檢驗(yàn)質(zhì)量放入系統(tǒng)的某個(gè)位置形成三體系統(tǒng)，使其能在前兩者的萬(wàn)有引力影響下，依然保持靜止。

在質(zhì)心系，檢驗(yàn)質(zhì)量的拉格朗日函數(shù)很好得到：

$\mathscr{L} = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2) - V(r,\theta,t)$

由于兩個(gè)較大質(zhì)量的存在，其中的勢(shì)函數(shù)必然顯含時(shí)間。

對(duì)于由兩個(gè)較大質(zhì)量組成的二體系統(tǒng)，因?yàn)槭菆A軌道，它們之間的徑矢 $\mathbf{r}$ 會(huì)始終具有同樣的長(zhǎng)度，方向按一個(gè)恒定的角頻率 $\omega$ 時(shí)刻改變著。如果我們選擇一個(gè)具有相同角頻率 $\omega$ 的旋轉(zhuǎn)參考系 $S^{\prime}$ ，慣性系 $S$ 與旋轉(zhuǎn)參考系 $S^{\prime}$ 之間的坐標(biāo)變換為：

$\theta^{\prime} = \theta + \omega t$

使用柱坐標(biāo) $(\rho,\theta,z)$ 在 $S^{\prime}$ 下系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)可以寫(xiě)為：

$\mathscr{L} = \frac{1}{2}m(\dot{\rho}^2 + \rho^2(\dot{\theta}^{\prime}- \omega)^2 + \dot{z}^2) - V^{\prime}(\rho,\theta,z)$

或者，將平方項(xiàng)展開(kāi)：

$\mathscr{L} = \frac{1}{2}m(\dot{\rho}^2 + \rho^2\dot{\theta}^{\prime2} + \dot{z}^2) - \left(m\omega \rho^2 \dot{\theta}^{\prime} - \frac{1}{2}m\rho^2\omega^2 + V^{\prime}(\rho,\theta,z)\right)$

第四和第五項(xiàng)分別是科里奧利效應(yīng)和離心效應(yīng)。

接下來(lái)要做的就是寫(xiě)出三體的拉格朗日方程，然后尋找使得 $\dot{\rho} = \dot{z} = \dot{\theta} = 0$ 的點(diǎn)。這樣的點(diǎn)一共有五個(gè)。歐拉于1767年計(jì)算出前三個(gè)，拉格朗日又于1772年證明出剩下兩個(gè)，我們把這些點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為拉格朗日點(diǎn)(Lagrange points)。

圖一：拉格朗日點(diǎn)以及質(zhì)點(diǎn)周?chē)鷦?shì)函數(shù)的分布情況

圖二：五個(gè)拉格朗日點(diǎn)

圖一，位于質(zhì)點(diǎn)的連線(xiàn)上的點(diǎn) $L_2$ 處受到來(lái)自雙方的引力剛好等大反向，它是勢(shì)函數(shù)在連線(xiàn)方向的一個(gè)局部最小點(diǎn)（實(shí)際是一個(gè)鞍點(diǎn)）。 $L_1$ 和 $L_3$ 則是檢測(cè)質(zhì)量單獨(dú)繞轉(zhuǎn)地球或者月球和同時(shí)繞轉(zhuǎn)二者的軌道過(guò)渡點(diǎn)，它們也是鞍點(diǎn)。

位于兩側(cè)并與其他拉格朗日點(diǎn)不共線(xiàn)的是點(diǎn) $L_4$ 和 $L_5$ ，由于它們位于以?xún)少|(zhì)點(diǎn)連線(xiàn)為底的等邊三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)，所以有時(shí)又被稱(chēng)為“三角拉格朗日點(diǎn)”。它們是勢(shì)函數(shù)的局部最小點(diǎn)，位于這兩點(diǎn)附近的檢驗(yàn)質(zhì)量會(huì)受到指向這兩點(diǎn)的吸引力，從而始終保持封閉的橢圓軌道。

這些點(diǎn)的穩(wěn)定性則可用攝動(dòng)法來(lái)檢驗(yàn)。其中只有位于兩側(cè)的非共線(xiàn)點(diǎn) $L_4$ 和 $L_5$ 是穩(wěn)定的。

（更多關(guān)于這五個(gè)拉格朗日點(diǎn)的介紹可以在百科上找到，我就不再贅述了。）

最后編輯于：2020.02.04 22:10:52

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