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復習一下bootstrapping。

統計中我們常常需要做參數估計，具體問題可以描述為：
給定一系列數據 $x_1,x_2,...,x_n \sim i.i.d. F(x|\theta)$ ，假設它們是從分布 $F$ 中采樣得到的，參數估計就是希望估計分布 $F$ 中的 $\theta$ 。

bootstrapping算法的目的就是為了估計 $\theta$ 從而得到 $F$ 的分布的預測。具體地，它的思想對已有的觀測值 $x_1,x_2,...,x_n$ 進行多次重復的抽樣，每次抽樣都可以得到一個預測的經驗分布函數，根據這些不同抽樣得到的經驗分布函數，可以得到一個更好的關于統計量分布的估計。

打個比方，如果現在有N個學生的身高數據，需要估計的統計量是學生的平均身高。bootstraping的方法可以替我們確定身高平均值的置信區間。步驟大致如下：

從N個數據中隨機抽取N個數據（有放回）構成一個樣本
計算每個樣本的均值
重復步驟1，2知道計算足夠多的次數（如100次）

根據這些步驟得到的100次結果，我們可以得出95%的置信區間，即覆蓋了95%的樣本均值的區間。換言之，超出這個范圍的身高均值，出現的次數都小于5%，也可以說它的p值<0.05。

以上所說的可以理解為bootstrapping百分位法，它假設樣本均值與總體均值的分布大致相似，但這個假設在現實中很難保證成立。一個更好的方法是bootstrapping經驗法。具體的核心思想可以概括為：

計算總體均值 $\mu$ 的置信區間的本質是回答這樣一個問題：樣本均值 $\bar{x}$ 的分布是如何圍繞總體均值 $\mu$ 變化的。換言之，我們想知道殘差 $\delta=\mu-\bar{x}$ 的分布。 $\delta$ 就是當我們使用 $\bar{x}$ 來估計 $\mu$ 的誤差。雖然我們不知道 $\delta$ 的分布，但是它可以由 $\bar{x}^{*}$ 如何圍繞 $\bar{x}$ 變化（即 $\delta^{*}$ 的分布）來近似。這里 $\delta^{*}$ 是利用 Bootstrap 樣本計算的均值與原始樣本均值之間的差：
$\delta^{*} = \bar{x}^{*} - \bar{x}$ 。