經(jīng)常會(huì)看到P問題，NP問題這種說法，但是一直難以理解。這次讀到了這篇文章，一下子清晰了起來。

你會(huì)經(jīng)常看到網(wǎng)上出現(xiàn)“這怎么做，這不是NP問題嗎”、“這個(gè)只有搜了，這已經(jīng)被證明是NP問題了”之類的話。你要知道，大多數(shù)人此時(shí)所說的NP問題其實(shí)都是指的NPC問題。他們沒有搞清楚NP問題和NPC問題的概念。NP問題并不是那種“只有搜才行”的問題，NPC問題才是。好，行了，基本上這個(gè)誤解已經(jīng)被澄清了。下面的內(nèi)容都是在講什么是P問題，什么是NP問題，什么是NPC問題，你如果不是很感興趣就可以不看了。接下來你可以看到，把NP問題當(dāng)成是 NPC問題是一個(gè)多大的錯(cuò)誤。

還是先用幾句話簡(jiǎn)單說明一下時(shí)間復(fù)雜度。時(shí)間復(fù)雜度并不是表示一個(gè)程序解決問題需要花多少時(shí)間，而是當(dāng)問題規(guī)模擴(kuò)大后，程序需要的時(shí)間長(zhǎng)度增長(zhǎng)得有多快。也就是說，對(duì)于高速處理數(shù)據(jù)的計(jì)算機(jī)來說，處理某一個(gè)特定數(shù)據(jù)的效率不能衡量一個(gè)程序的好壞，而應(yīng)該看當(dāng)這個(gè)數(shù)據(jù)的規(guī)模變大到數(shù)百倍后，程序運(yùn)行時(shí)間是否還是一樣，或者也跟著慢了數(shù)百倍，或者變慢了數(shù)萬倍。不管數(shù)據(jù)有多大，程序處理花的時(shí)間始終是那么多的，我們就說這個(gè)程序很好，具有O(1)的時(shí)間復(fù)雜度，也稱常數(shù)級(jí)復(fù)雜度；數(shù)據(jù)規(guī)模變得有多大，花的時(shí)間也跟著變得有多長(zhǎng)，這個(gè)程序的時(shí)間復(fù)雜度就是O(n)，比如找n個(gè)數(shù)中的最大值；而像冒泡排序、插入排序等，數(shù)據(jù)擴(kuò)大2倍，時(shí)間變慢4倍的，屬于O(n^{2)的復(fù)雜度。還有一些窮舉類的算法，所需時(shí)間長(zhǎng)度成幾何階數(shù)上漲，這就是O(a}n)的指數(shù)級(jí)復(fù)雜度，甚至O(n!)的階乘級(jí)復(fù)雜度。不會(huì)存在O(2*n^2)的復(fù)雜度，因?yàn)榍懊娴哪莻€(gè)“2”是系數(shù)，根本不會(huì)影響到整個(gè)程序的時(shí)間增長(zhǎng)。同樣地，O (n³⁺ⁿ2)的復(fù)雜度也就是O(n^{3)的復(fù)雜度。因此，我們會(huì)說，一個(gè)O(0.01*n}3)的程序的效率比O(100*n^{2)的效率低，盡管在n很小的時(shí)候，前者優(yōu)于后者，但后者時(shí)間隨數(shù)據(jù)規(guī)模增長(zhǎng)得慢，最終O(n}3)的復(fù)雜度將遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過O(n^{2)。我們也說，O(n}100)的復(fù)雜度小于O(1.01^n)的復(fù)雜度。

容易看出，前面的幾類復(fù)雜度被分為兩種級(jí)別，其中后者的復(fù)雜度無論如何都遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于前者：一種是O(1),O(log(n)),O(n^{a)等，我們把它叫做多項(xiàng)式級(jí)的復(fù)雜度，因?yàn)樗囊?guī)模n出現(xiàn)在底數(shù)的位置；另一種是O(a}n)和O(n!)型復(fù)雜度，它是非多項(xiàng)式級(jí)的，其復(fù)雜度計(jì)算機(jī)往往不能承受。當(dāng)我們?cè)诮鉀Q一個(gè)問題時(shí)，我們選擇的算法通常都需要是多項(xiàng)式級(jí)的復(fù)雜度，非多項(xiàng)式級(jí)的復(fù)雜度需要的時(shí)間太多，往往會(huì)超時(shí)，除非是數(shù)據(jù)規(guī)模非常小。

自然地，人們會(huì)想到一個(gè)問題：會(huì)不會(huì)所有的問題都可以找到復(fù)雜度為多項(xiàng)式級(jí)的算法呢？很遺憾，答案是否定的。有些問題甚至根本不可能找到一個(gè)正確的算法來，這稱之為“不可解問題”(Undecidable Decision Problem)。The Halting Problem就是一個(gè)著名的不可解問題，在我的Blog上有過專門的介紹和證明。再比如，輸出從1到n這n個(gè)數(shù)的全排列。不管你用什么方法，你的復(fù)雜度都是階乘級(jí)，因?yàn)槟憧偟糜秒A乘級(jí)的時(shí)間打印出結(jié)果來。有人說，這樣的“問題”不是一個(gè)“正規(guī)”的問題，正規(guī)的問題是讓程序解決一個(gè)問題，輸出一個(gè)“YES”或“NO”（這被稱為判定性問題），或者一個(gè)什么什么的最優(yōu)值（這被稱為最優(yōu)化問題）。那么，根據(jù)這個(gè)定義，我也能舉出一個(gè)不大可能會(huì)有多項(xiàng)式級(jí)算法的問題來：Hamilton回路。問題是這樣的：給你一個(gè)圖，問你能否找到一條經(jīng)過每個(gè)頂點(diǎn)一次且恰好一次（不遺漏也不重復(fù)）最后又走回來的路（滿足這個(gè)條件的路徑叫做Hamilton回路）。這個(gè)問題現(xiàn)在還沒有找到多項(xiàng)式級(jí)的算法。事實(shí)上，這個(gè)問題就是我們后面要說的NPC問題。

下面引入P類問題的概念：如果一個(gè)問題可以找到一個(gè)能在多項(xiàng)式的時(shí)間里解決它的算法，那么這個(gè)問題就屬于P問題。P是英文單詞多項(xiàng)式的第一個(gè)字母。哪些問題是P類問題呢？通常NOI和NOIP不會(huì)出不屬于P類問題的題目。我們常見到的一些信息奧賽的題目都是P問題。道理很簡(jiǎn)單，一個(gè)用窮舉換來的非多項(xiàng)式級(jí)時(shí)間的超時(shí)程序不會(huì)涵蓋任何有價(jià)值的算法。 接下來引入NP問題的概念。這個(gè)就有點(diǎn)難理解了，或者說容易理解錯(cuò)誤。在這里強(qiáng)調(diào)（回到我竭力想澄清的誤區(qū)上），NP問題不是非P類問題。NP問題是指可以在多項(xiàng)式的時(shí)間里驗(yàn)證一個(gè)解的問題。NP問題的另一個(gè)定義是，可以在多項(xiàng)式的時(shí)間里猜出一個(gè)解的問題。比方說，我RP很好，在程序中需要枚舉時(shí)，我可以一猜一個(gè)準(zhǔn)。現(xiàn)在某人拿到了一個(gè)求最短路徑的問題，問從起點(diǎn)到終點(diǎn)是否有一條小于100個(gè)單位長(zhǎng)度的路線。它根據(jù)數(shù)據(jù)畫好了圖，但怎么也算不出來，于是來問我：你看怎么選條路走得最少？我說，我RP很好，肯定能隨便給你指條很短的路出來。然后我就胡亂畫了幾條線，說就這條吧。那人按我指的這條把權(quán)值加起來一看，嘿，神了，路徑長(zhǎng)度98，比100小。于是答案出來了，存在比100小的路徑。別人會(huì)問他這題怎么做出來的，他就可以說，因?yàn)槲艺业搅艘粋€(gè)比100 小的解。在這個(gè)題中，找一個(gè)解很困難，但驗(yàn)證一個(gè)解很容易。驗(yàn)證一個(gè)解只需要O(n)的時(shí)間復(fù)雜度，也就是說我可以花O(n)的時(shí)間把我猜的路徑的長(zhǎng)度加出來。那么，只要我RP好，猜得準(zhǔn)，我一定能在多項(xiàng)式的時(shí)間里解決這個(gè)問題。我猜到的方案總是最優(yōu)的，不滿足題意的方案也不會(huì)來騙我去選它。這就是NP問題。當(dāng)然有不是NP問題的問題，即你猜到了解但是沒用，因?yàn)槟悴荒茉诙囗?xiàng)式的時(shí)間里去驗(yàn)證它。下面我要舉的例子是一個(gè)經(jīng)典的例子，它指出了一個(gè)目前還沒有辦法在多項(xiàng)式的時(shí)間里驗(yàn)證一個(gè)解的問題。很顯然，前面所說的Hamilton回路是NP問題，因?yàn)轵?yàn)證一條路是否恰好經(jīng)過了每一個(gè)頂點(diǎn)非常容易。但我要把問題換成這樣：試問一個(gè)圖中是否不存在Hamilton回路。這樣問題就沒法在多項(xiàng)式的時(shí)間里進(jìn)行驗(yàn)證了，因?yàn)槌悄阍囘^所有的路，否則你不敢斷定它“沒有Hamilton回路”。 之所以要定義NP問題，是因?yàn)橥ǔＶ挥蠳P問題才可能找到多項(xiàng)式的算法。我們不會(huì)指望一個(gè)連多項(xiàng)式地驗(yàn)證一個(gè)解都不行的問題存在一個(gè)解決它的多項(xiàng)式級(jí)的算法。相信讀者很快明白，信息學(xué)中的號(hào)稱最困難的問題——“NP問題”，實(shí)際上是在探討NP問題與P類問題的關(guān)系。

很顯然，所有的P類問題都是NP問題。也就是說，能多項(xiàng)式地解決一個(gè)問題，必然能多項(xiàng)式地驗(yàn)證一個(gè)問題的解——既然正解都出來了，驗(yàn)證任意給定的解也只需要比較一下就可以了。關(guān)鍵是，人們想知道，是否所有的NP問題都是P類問題。我們可以再用集合的觀點(diǎn)來說明。如果把所有P類問題歸為一個(gè)集合P中，把所有 NP問題劃進(jìn)另一個(gè)集合NP中，那么，顯然有P屬于NP。現(xiàn)在，所有對(duì)NP問題的研究都集中在一個(gè)問題上，即究竟是否有P=NP？通常所謂的“NP問題”，其實(shí)就一句話：證明或推翻P=NP。 NP問題一直都是信息學(xué)的巔峰。巔峰，意即很引人注目但難以解決。在信息學(xué)研究中，這是一個(gè)耗費(fèi)了很多時(shí)間和精力也沒有解決的終極問題，好比物理學(xué)中的大統(tǒng)一和數(shù)學(xué)中的歌德巴赫猜想等。 目前為止這個(gè)問題還“啃不動(dòng)”。但是，一個(gè)總的趨勢(shì)、一個(gè)大方向是有的。人們普遍認(rèn)為，P=NP不成立，也就是說，多數(shù)人相信，存在至少一個(gè)不可能有多項(xiàng)式級(jí)復(fù)雜度的算法的NP問題。人們?nèi)绱藞?jiān)信P≠NP是有原因的，就是在研究NP問題的過程中找出了一類非常特殊的NP問題叫做NP-完全問題，也即所謂的 NPC問題。C是英文單詞“完全”的第一個(gè)字母。正是NPC問題的存在，使人們相信P≠NP。下文將花大量篇幅介紹NPC問題，你從中可以體會(huì)到NPC問題使P=NP變得多么不可思議。

為了說明NPC問題，我們先引入一個(gè)概念——約化(Reducibility，有的資料上叫“歸約”)。 簡(jiǎn)單地說，一個(gè)問題A可以約化為問題B的含義即是，可以用問題B的解法解決問題A，或者說，問題A可以“變成”問題B。《算法導(dǎo)論》上舉了這么一個(gè)例子。比如說，現(xiàn)在有兩個(gè)問題：求解一個(gè)一元一次方程和求解一個(gè)一元二次方程。那么我們說，前者可以約化為后者，意即知道如何解一個(gè)一元二次方程那么一定能解出一元一次方程。我們可以寫出兩個(gè)程序分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)問題，那么我們能找到一個(gè)“規(guī)則”，按照這個(gè)規(guī)則把解一元一次方程程序的輸入數(shù)據(jù)變一下，用在解一元二次方程的程序上，兩個(gè)程序總能得到一樣的結(jié)果。這個(gè)規(guī)則即是：兩個(gè)方程的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)不變，一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為0。按照這個(gè)規(guī)則把前一個(gè)問題轉(zhuǎn)換成后一個(gè)問題，兩個(gè)問題就等價(jià)了。同樣地，我們可以說，Hamilton回路可以約化為TSP問題(Travelling Salesman Problem，旅行商問題)：在Hamilton回路問題中，兩點(diǎn)相連即這兩點(diǎn)距離為0，兩點(diǎn)不直接相連則令其距離為1，于是問題轉(zhuǎn)化為在TSP問題中，是否存在一條長(zhǎng)為0的路徑。Hamilton回路存在當(dāng)且僅當(dāng)TSP問題中存在長(zhǎng)為0的回路。 “問題A可約化為問題B”有一個(gè)重要的直觀意義：B的時(shí)間復(fù)雜度高于或者等于A的時(shí)間復(fù)雜度。也就是說，問題A不比問題B難。這很容易理解。既然問題A能用問題B來解決，倘若B的時(shí)間復(fù)雜度比A的時(shí)間復(fù)雜度還低了，那A的算法就可以改進(jìn)為B的算法，兩者的時(shí)間復(fù)雜度還是相同。正如解一元二次方程比解一元一次方程難，因?yàn)榻鉀Q前者的方法可以用來解決后者。 很顯然，約化具有一項(xiàng)重要的性質(zhì)：約化具有傳遞性。如果問題A可約化為問題B，問題B可約化為問題C，則問題A一定可約化為問題C。這個(gè)道理非常簡(jiǎn)單，就不必闡述了。 現(xiàn)在再來說一下約化的標(biāo)準(zhǔn)概念就不難理解了：如果能找到這樣一個(gè)變化法則，對(duì)任意一個(gè)程序A的輸入，都能按這個(gè)法則變換成程序B的輸入，使兩程序的輸出相同，那么我們說，問題A可約化為問題B。 當(dāng)然，我們所說的“可約化”是指的可“多項(xiàng)式地”約化(Polynomial-time Reducible)，即變換輸入的方法是能在多項(xiàng)式的時(shí)間里完成的。約化的過程只有用多項(xiàng)式的時(shí)間完成才有意義。

好了，從約化的定義中我們看到，一個(gè)問題約化為另一個(gè)問題，時(shí)間復(fù)雜度增加了，問題的應(yīng)用范圍也增大了。通過對(duì)某些問題的不斷約化，我們能夠不斷尋找復(fù)雜度更高，但應(yīng)用范圍更廣的算法來代替復(fù)雜度雖然低，但只能用于很小的一類問題的算法。再回想前面講的P和NP問題，聯(lián)想起約化的傳遞性，自然地，我們會(huì)想問，如果不斷地約化上去，不斷找到能“通吃”若干小NP問題的一個(gè)稍復(fù)雜的大NP問題，那么最后是否有可能找到一個(gè)時(shí)間復(fù)雜度最高，并且能“通吃”所有的 NP問題的這樣一個(gè)超級(jí)NP問題？答案居然是肯定的。也就是說，存在這樣一個(gè)NP問題，所有的NP問題都可以約化成它。換句話說，只要解決了這個(gè)問題，那么所有的NP問題都解決了。這種問題的存在難以置信，并且更加不可思議的是，這種問題不只一個(gè)，它有很多個(gè)，它是一類問題。這一類問題就是傳說中的NPC 問題，也就是NP-完全問題。NPC問題的出現(xiàn)使整個(gè)NP問題的研究得到了飛躍式的發(fā)展。我們有理由相信，NPC問題是最復(fù)雜的問題。再次回到全文開頭，我們可以看到，人們想表達(dá)一個(gè)問題不存在多項(xiàng)式的高效算法時(shí)應(yīng)該說它“屬于NPC問題”。此時(shí)，我的目的終于達(dá)到了，我已經(jīng)把NP問題和NPC問題區(qū)別開了。到此為止，本文已經(jīng)寫了近5000字了，我佩服你還能看到這里來，同時(shí)也佩服一下自己能寫到這里來。

NPC問題的定義非常簡(jiǎn)單。同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件的問題就是NPC問題。首先，它得是一個(gè)NP問題；然后，所有的NP問題都可以約化到它。證明一個(gè)問題是 NPC問題也很簡(jiǎn)單。先證明它至少是一個(gè)NP問題，再證明其中一個(gè)已知的NPC問題能約化到它（由約化的傳遞性，則NPC問題定義的第二條也得以滿足；至于第一個(gè)NPC問題是怎么來的，下文將介紹），這樣就可以說它是NPC問題了。 既然所有的NP問題都能約化成NPC問題，那么只要任意一個(gè)NPC問題找到了一個(gè)多項(xiàng)式的算法，那么所有的NP問題都能用這個(gè)算法解決了，NP也就等于P 了。因此，給NPC找一個(gè)多項(xiàng)式算法太不可思議了。因此，前文才說，“正是NPC問題的存在，使人們相信P≠NP”。我們可以就此直觀地理解，NPC問題目前沒有多項(xiàng)式的有效算法，只能用指數(shù)級(jí)甚至階乘級(jí)復(fù)雜度的搜索。

順便講一下NP-Hard問題。NP-Hard問題是這樣一種問題，它滿足NPC問題定義的第二條但不一定要滿足第一條（就是說，NP-Hard問題要比 NPC問題的范圍廣）。NP-Hard問題同樣難以找到多項(xiàng)式的算法，但它不列入我們的研究范圍，因?yàn)樗灰欢ㄊ荖P問題。即使NPC問題發(fā)現(xiàn)了多項(xiàng)式級(jí)的算法，NP-Hard問題有可能仍然無法得到多項(xiàng)式級(jí)的算法。事實(shí)上，由于NP-Hard放寬了限定條件，它將有可能比所有的NPC問題的時(shí)間復(fù)雜度更高從而更難以解決。

不要以為NPC問題是一紙空談。NPC問題是存在的。確實(shí)有這么一個(gè)非常具體的問題屬于NPC問題。下文即將介紹它。 下文即將介紹邏輯電路問題。這是第一個(gè)NPC問題。其它的NPC問題都是由這個(gè)問題約化而來的。因此，邏輯電路問題是NPC類問題的“鼻祖”。 邏輯電路問題是指的這樣一個(gè)問題：給定一個(gè)邏輯電路，問是否存在一種輸入使輸出為True。 什么叫做邏輯電路呢？一個(gè)邏輯電路由若干個(gè)輸入，一個(gè)輸出，若干“邏輯門”和密密麻麻的線組成。看下面一例，不需要解釋你馬上就明白了。

回到上文，給定一個(gè)邏輯電路，問是否存在一種輸入使輸出為True，這即邏輯電路問題。 邏輯電路問題屬于NPC問題。這是有嚴(yán)格證明的。它顯然屬于NP問題，并且可以直接證明所有的NP問題都可以約化到它（不要以為NP問題有無窮多個(gè)將給證明造成不可逾越的困難）。證明過程相當(dāng)復(fù)雜，其大概意思是說任意一個(gè)NP問題的輸入和輸出都可以轉(zhuǎn)換成邏輯電路的輸入和輸出（想想計(jì)算機(jī)內(nèi)部也不過是一些 0和1的運(yùn)算），因此對(duì)于一個(gè)NP問題來說，問題轉(zhuǎn)化為了求出滿足結(jié)果為True的一個(gè)輸入（即一個(gè)可行解）。

有了第一個(gè)NPC問題后，一大堆NPC問題就出現(xiàn)了，因?yàn)樵僮C明一個(gè)新的NPC問題只需要將一個(gè)已知的NPC問題約化到它就行了。后來，Hamilton 回路成了NPC問題，TSP問題也成了NPC問題。現(xiàn)在被證明是NPC問題的有很多，任何一個(gè)找到了多項(xiàng)式算法的話所有的NP問題都可以完美解決了。因此說，正是因?yàn)镹PC問題的存在，P=NP變得難以置信。P=NP問題還有許多有趣的東西，有待大家自己進(jìn)一步的挖掘。攀登這個(gè)信息學(xué)的巔峰是我們這一代的終極目標(biāo)。現(xiàn)在我們需要做的，至少是不要把概念弄混淆了。