內容概述
本節首先引入了線性方程以及線性方程組的概念，通過解一個線性方程組，指出了線性方程組解的幾個一般情況（無解，有唯一解，有無窮多解）；接著，引入了矩陣的概念，指出可以利用矩陣來表示線性方程組的系數和方程等號右邊的常數。最后，講解了一種解線性方程組的方法（高斯消元法），并論述了線性方程組的解的情況（存在性和唯一性）。
概念梳理
線性方程
包含變量,
,
,
的線性方程是形如
的方程，其中與系數
,
,
,
是實數或復數，通常是已知數。
注意，這里的線性，指的是變量的次數，也就是的次數。與系數和方程右邊的數無關。
線性方程組
線性方程組是由一個或幾個包含相同變量,
,
,
的線性方程組成的，例如：
線性方程組的解和解集
線性方程組的解是一組數，用這組數分別代替
時所有方程的兩邊相等。
方程組所有可能的解的集合稱為線性方程組的解集。若兩個線性方程組有相同的解集，則這兩個線性方程組稱為等價的。
以有兩個變量的線性方程組為例，從解析幾何的角度考慮，兩個方程可以分別看作兩條直線，它們之間可能有唯一一個交點，也可能平行或者重合，由此引出線性方程組解的幾個情況：
- 無解
- 有唯一解
- 有無窮多解
如果一個線性方程組有一個解或無窮多個解，那么稱這個線性方程組是相容的；
如果一個線性方程組無解，那么稱這個線性方程組是不相容的。
矩陣
一個線性方程組包含的主要信息可以用一個稱為矩陣的緊湊的矩形陣列表示。給出如下方程組：
那么矩陣
稱為該方程組的系數矩陣。
而
稱為該方程組的增廣矩陣。
解線性方程組
解線性方程組的基本思路是把方程組用一個更容易解的等價方程組（即有相同解集的方程組）代替。
用來化簡線性方程組的三種基本變換是：
- 把某個方程換成它與另一方程的倍數的和；
- 交換兩個方程的位置；
- 把某一方程的所有項乘以一個非零常數。
例如，有如下方程：
通過上述的三種變換，可以化簡成如下形式：
從而解出方程。
上述三種基本變換對應于增廣矩陣的下列變換：
- （倍加變換）把某一行換成它本身與另一行的倍數的和。
- （對換變換）把兩行兌換。
- （倍乘變換）把某一行的所有元素乘以同一個非零數。
我們稱兩個矩陣為行等價的，若其中一個矩陣可以經一系列初等行變換成為另一個矩陣。行變換是可逆的。
并且，
若兩個線性方程組的增廣矩陣是行等價的，則它們具有相同的解集。
存在與唯一性問題
線性方程組的兩個基本問題：
- 方程組是否相容，即它是否至少有一個解？
- 若它有解，它是否只有一個解，即解是否唯一?
例：確定下列方程組是否相容：
其增廣矩陣可按上述方法化簡為：
顯然，如果寫成方程組的形式，第三個方程不可能成立，所以這個方程組無解，也就是說，這個方程組是不相容的。從幾何的角度來看，是因為沒有同時落在三個平面上的點。
總結
本節首先描述了線性代數研究的基本問題：解線性方程/線性方程組，由此引入了矩陣的概念，介紹了一種解線性方程組的基本方法，并討論了線性方程組解的幾種情況。
