轉自：# The VC Dimension
前幾節課著重介紹了機器能夠學習的條件并做了詳細的推導和解釋。機器能夠學習必須滿足兩個條件：
- 假設空間H的Size M是有限的，即當N足夠大的時候，那么對于假設空間中任意一個假設g，Eout≈Ein。
- 利用算法A從假設空間H中，挑選一個g，使Ein(g)≈0，則Eout≈0 。
這兩個條件，正好對應著test和trian兩個過程。train的目的是使損失期望Ein(g)≈0；test的目的是使將算法用到新的樣本時的損失期望也盡可能小，即Eout≈0。
正因為如此，上次課引入了break point，并推導出只要break point存在，則M有上界，一定存在Eout≈Ein。
本次筆記主要介紹VC Dimension的概念。同時也是總結VC Dimension與Ein(g)≈0，Eout≈0，Model Complexity Penalty（下面會講到）的關系。
一、Definition of VC Dimension
首先，我們知道如果一個假設空間H有break point k，那么它的成長函數是有界的，它的上界稱為Bound function。根據數學歸納法，Bound function也是有界的，且上界為Nk?1。從下面的表格可以看出，N(k?1)比B(N,k)松弛很多。
則根據上一節課的推導，VC bound就可以轉換為：
這樣，不等式只與k和N相關了，一般情況下樣本N足夠大，所以我們只考慮k值。有如下結論：
若假設空間H有break point k，且N足夠大，則根據VC bound理論，算法有良好的泛化能力
在假設空間中選擇一個矩g，使Ein≈0，則其在全集數據中的錯誤率會較低
下面介紹一個新的名詞：VC Dimension。VC Dimension就是某假設集H能夠shatter的最多inputs的個數，即最大完全正確的分類能力。（注意，只要存在一種分布的inputs能夠正確分類也滿足）。
shatter的英文意思是“粉碎”，也就是說對于inputs的所有情況都能列舉出來。例如對N個輸入，如果能夠將2N種情況都列出來，則稱該N個輸入能夠被假設集H shatter。
根據之前break point的定義：假設集不能被shatter任何分布類型的inputs的最少個數。則VC Dimension等于break point的個數減一。
現在，我們回顧一下之前介紹的四種例子，它們對應的VC Dimension是多少：
用dvc代替k，那么VC bound的問題也就轉換為與dvc和N相關了。同時，如果一個假設集H的dvc確定了，則就能滿足機器能夠學習的第一個條件Eout≈Ein，與算法、樣本數據分布和目標函數都沒有關系。
二、VC Dimension of Perceptrons
回顧一下我們之前介紹的2D下的PLA算法，已知Perceptrons的k=4，即dvc=3。根據VC Bound理論，當N足夠大的時候，Eout(g)≈Ein(g)。如果找到一個g，使Ein(g)≈0，那么就能證明PLA是可以學習的。
這是在2D情況下，那如果是多維的Perceptron，它對應的dvc又等于多少呢？
已知在1D Perceptron，dvc=2，在2D Perceptrons，dvc=3，那么我們有如下假設：dvc=d+1，其中d為維數。
要證明的話，只需分兩步證明：
- dvc≥d+1
- dvc≤d+1
首先證明第一個不等式：dvc≥d+1。
在d維里，我們只要找到某一類的d+1個inputs可以被shatter的話，那么必然得到dvc≥d+1。所以，我們有意構造一個d維的矩陣X能夠被shatter就行。X是d維的，有d+1個inputs，每個inputs加上第零個維度的常數項1，得到X的矩陣：
矩陣中，每一行代表一個inputs，每個inputs是d+1維的，共有d+1個inputs。這里構造的X很明顯是可逆的。shatter的本質是假設空間H對X的所有情況的判斷都是對的，即總能找到權重W，滿足X?W=y，W=X?1?y。由于這里我們構造的矩陣X的逆矩陣存在，那么d維的所有inputs都能被shatter，也就證明了第一個不等式。
然后證明第二個不等式：dvc≤d+1。
在d維里，如果對于任何的d+2個inputs，一定不能被shatter，則不等式成立。我們構造一個任意的矩陣X，其包含d+2個inputs，該矩陣有d+1列，d+2行。這d+2個向量的某一列一定可以被另外d+1個向量線性表示，例如對于向量Xd+2，可表示為：
Xd+2=a1?X1+a2?X2+?+ad+1?Xd+1
其中，假設a1>0，a2,?,ad+1<0.
那么如果X1是正類，X2,?,Xd+1均為負類，則存在W，得到如下表達式：
Xd+2?W=a1?X1?W+a2?X2?W+?+ad+1?Xd+1?W>0
因為其中藍色項大于0，代表正類；紅色項小于0，代表負類。所有對于這種情況，Xd+2一定是正類，無法得到負類的情況。也就是說，d+2個inputs無法被shatter。證明完畢！
綜上證明可得dvc=d+1。
三、Physical Intuition VC Dimension
上節公式中W又名features，即自由度。自由度是可以任意調節的，如同上圖中的旋鈕一樣，可以調節。VC Dimension代表了假設空間的分類能力，即反映了H的自由度，產生dichotomy的數量，也就等于features的個數，但也不是絕對的。
例如，對2D Perceptrons，線性分類，dvc=3，則W={w0,w1,w2}，也就是說只要3個features就可以進行學習，自由度為3。
介紹到這，我們發現M與dvc是成正比的，從而得到如下結論：
四、Interpreting VC Dimension
下面，我們將更深入地探討VC Dimension的意義。首先，把VC Bound重新寫到這里：
根據之前的泛化不等式，如果|Ein?Eout|>?，即出現bad壞的情況的概率最大不超過δ。那么反過來，對于good好的情況發生的概率最小為1?δ，則對上述不等式進行重新推導：
?表現了假設空間H的泛化能力，?越小，泛化能力越大。
至此，已經推導出泛化誤差Eout的邊界，因為我們更關心其上界（Eout可能的最大值），即：
上述不等式的右邊第二項稱為模型復雜度，其模型復雜度與樣本數量N、假設空間H(dvc)、?有關。Eout由Ein共同決定。下面繪出Eout、model complexity、Ein隨dvc變化的關系：
通過該圖可以得出如下結論：
dvc越大，Ein****越小，Ω* 越大（復雜）。
dvc越小，Ein****越大，Ω* 越小（簡單）。
隨著dvc增大，Eout會先減小再增大。
所以，為了得到最小的Eout，不能一味地增大dvc以減小Ein，因為Ein太小的時候，模型復雜度會增加，造成Eout變大。也就是說，選擇合適的dvc，選擇的features個數要合適。
下面介紹一個概念：樣本復雜度（Sample Complexity）。如果選定dvc，樣本數據D選擇多少合適呢？通過下面一個例子可以幫助我們理解：
通過計算得到N=29300，剛好滿足δ=0.1的條件。N大約是dvc的10000倍。這個數值太大了，實際中往往不需要這么多的樣本數量，大概只需要dvc的10倍就夠了。N的理論值之所以這么大是因為VC Bound 過于寬松了，我們得到的是一個比實際大得多的上界。
值得一提的是，VC Bound是比較寬松的，而如何收緊它卻不是那么容易，這也是機器學習的一大難題。但是，令人欣慰的一點是，VC Bound基本上對所有模型的寬松程度是基本一致的，所以，不同模型之間還是可以橫向比較。從而，VC Bound寬松對機器學習的可行性還是沒有太大影響。
五、總結
本節課主要介紹了VC Dimension的概念就是最大的non-break point。然后，我們得到了Perceptrons在d維度下的VC Dimension是d+1。接著，我們在物理意義上，將dvc與自由度聯系起來。最終得出結論dvc不能過大也不能過小。選取合適的值，才能讓Eout足夠小，使假設空間H具有良好的泛化能力。
