剛體運動學（7）：矢量的變化率

從剛體的廣義運動到正交變換，我們對轉動變換的認識也逐漸從對剛體的研究推廣到了一般的矢量。

\mathrm{\mathbf{I.}}對時變化率與瞬時角速度

\mathbf{\bullet}當一個物體隨時間運動時，它的位矢通常也會改變，并且從之前的文章我們已經了解到，矢量的變化是與它所處參考系息息相關的。

對于一個廣義矢量\mathbf{G}，在局部參考系下經過時間dt后的變化很顯然與在全局參考系下經過相同時間的變化不同。

通常，位于這兩個不同參考系下的觀測者測量的變化具有如下關系：

(d\mathbf{G})_{s} = (d\mathbf{G})_b + (d\mathbf{G})_r\\

即，矢量在全局參考系的變化量（用下角標s表示）等于矢量在局部參考系的變化量（用下角標b表示）加上矢量因為轉動造成的變化量（用下角標r表示）。

\bullet對于一個處于相對局部參考系靜止的參考系中的觀測者而言，(d\mathbf{G})_b = 0

所以

(d\mathbf{G})_{s} = (d\mathbf{G})_r\\

若矢量與物體一起繞轉軸逆時針旋轉（主動變換），

(d\mathbf{G})_{s} = (d\mathbf{G})_r = d\mathbf{\Omega} \times \mathbf{G}\\

所以在一般情況下，對于任意矢量，有

(d\mathbf{G})_{s} = (d\mathbf{G})_b + d\mathbf{\Omega} \times \mathbf{G}\\

經過時間dt的變化率

\left(\frac{d\mathbf{G}} {dt}\right)_s = \left(\frac{d\mathbf{G}} {dt}\right)_b + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{G}\\

其中\boldsymbol{\omega}\; dt \equiv d\mathbf{\Omega}，\boldsymbol{\omega} 是瞬時角速度，它平行于物體從時間t到dt瞬時微小轉動的轉軸。

\bullet因為矢量\mathbf{G}具有一般性，可將其從上述等式中去除，表示為算符方程的形式

\boxed{\left(\fracv6hgjpn {dt}\right)_s = \left(\fraccn846gl {dt}\right)_b + \boldsymbol{\omega} \times} \\

我們得到了一個矢量的對時變化率在全局慣性系s與旋轉參考系b（局部參考系）之間的變換法則。

\mathrm{\mathbf{I\!I.}}用歐拉角表示角速度矢量

\bullet廣義微小旋轉下的瞬時角速度可以分解為三個矢量：\begin{cases}\omega_{\phi} = \dot{\phi}\\\omega_{\theta} = \dot{\theta}\\\omega_{\psi} = \dot{\psi}\end{cases}

\boldsymbol{\omega}_{\psi}沿局部參考系z^{\prime}軸的方向，使用正交變換矩陣，可以得到三者沿對應軸的分量。

已知

\rm{R}(\phi,\theta,\psi) = \begin{bmatrix}\cos\psi\cos\phi - \cos\theta\sin\phi\sin\psi & \cos\psi\sin\phi + \cos\theta\cos\phi\sin\psi & \sin\psi\sin\theta\\-\sin\psi\cos\phi - \cos\theta\sin\phi\cos\psi & -\sin\psi\sin\phi + \cos\theta\cos\phi\cos\psi & \cos\psi\sin\theta\\\sin\theta\sin\phi & -\sin\theta\cos\phi & \cos\theta \end{bmatrix}\\

根據x-順規，在局部坐標系下：

（1）矢量\boldsymbol{\omega}_{\phi}沿全局參考系z-軸方向

\begin{align*}\boldsymbol{\omega}_{\phi}^{\prime} &= \rm{R}\boldsymbol{\omega}_{\phi}\\\begin{pmatrix}\omega_{\phi x^{\prime}}\\\omega_{\phi y^{\prime}}\\\omega_{\phi z^{\prime}}\end{pmatrix}&= \rm{R}\begin{pmatrix}0\\0\\\dot{\phi}\end{pmatrix} \end{align*}\\

\begin{align*} \omega_{\phi x^{\prime}} &= \dot{\phi}\sin\theta\sin\psi\\\omega_{\phi y^{\prime}} &= \dot{\phi}\sin\theta\cos\psi\\\omega_{\phi z^{\prime}} &= \dot{\phi}\cos\theta\end{align*}\\

（2）\boldsymbol{\omega}_{\theta}沿交點線方向

\mathbf{x}^{\prime} = \begin{bmatrix}\cos\psi & \sin\psi & 0\\-\sin\psi & \cos\psi& 0\\ 0&0&1\end{bmatrix}\\

\begin{align*}\boldsymbol{\omega}_{\theta}^{\prime} &= \rm{x}^{\prime} \boldsymbol{\omega}_{\theta}\\\boldsymbol{\omega}_{\theta}^{\prime} &= \rm{x}^{\prime}\begin{pmatrix}\dot{\theta} \\ 0\\0\end{pmatrix} \end{align*}\\

\begin{align*}\omega_{\theta x^{\prime}} &= \dot{\theta}\cos\psi\\\omega_{\theta y^{\prime}} &= -\dot{\theta}\sin\psi\\\omega _{\theta z^{\prime}} &= 0\end{align*}\\

（3）\boldsymbol{\omega}_{\psi}沿局部參考系z^{\prime}軸方向，不需要再次進行正交變換

\begin{align*}\omega_{\psi x^{\prime}} &= 0\\\omega_{\psi y^{\prime}} &= 0\\\omega_{\psi z^{\prime}} &= \dot{\psi}\end{align*}\\

\boxed{\boldsymbol{\omega}_{\psi} = \dot{\psi}\mathbf{k}^{\prime}}\\

于是

\begin{align*}\boldsymbol{\omega} &= \boldsymbol{\omega}_{\phi} + \boldsymbol{\omega}_{\theta} + \boldsymbol{\omega}_{\psi}\\&= (\dot{\phi}\sin\theta\sin\psi + \dot{\theta}\cos\psi)\mathbf{i}^{\prime} + (\dot{\phi}\sin\theta\cos\psi - \dot{\theta}\sin\psi)\mathbf{j}^{\prime} + (\dot{\phi}\cos\theta + \dot{\psi})\mathbf{k}^{\prime}\end{align*}\\

\begin{align*}\omega_{x^{\prime}} &= \dot{\phi}\sin\theta\sin\psi + \dot{\theta}\cos\psi\\\omega_{y^{\prime}} &= \dot{\phi}\sin\theta\cos\psi - \dot{\theta}\sin\psi\\\omega_{z^{\prime}} &= \dot{\phi}\cos\theta + \dot{\psi}\end{align*}\\

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