圖論基礎可參考上一篇《圖的基本知識總結》
特殊圖
可看JosonLe’ notes排版更好
- <a href='#1'>歐拉圖
- <a href='#2'>哈密爾頓圖
- <a href='#3'>二部圖（二分圖）
- <a href='#4'>平面圖
- <a href='#5'>多邊形圖、對偶圖</a>
可參考文章:
歐拉圖
先定義一下歐拉路徑(有稱歐拉鏈)和歐拉閉路（有稱歐拉圈）：
1. 歐拉路徑，包含圖G中所有邊的簡單開路徑。通俗的說,把所有的邊遍歷且僅遍歷一次的通路，不會回到出發點。
2. 歐拉閉路，包含所有邊的簡單閉路徑(簡單回路)。同上含所有邊、不經過重復邊、但回到出發點
歐拉閉路
歐拉路徑
- 規定平凡圖是歐拉圖
- 含有歐拉路徑的圖叫做半歐拉圖
- 若G是==連通無向圖==，則
- 每個節點都是偶結點，則G是歐拉圖
- 由1)，當且僅當G有歐拉閉路，則G是歐拉圖
- 由1)、2)當且僅當G僅有兩個奇結點V1、V2，則存在由V1到V2的歐拉路徑。（形象的看，V1到V2再加上一條邊就能由歐拉路徑構成了歐拉回路，奇結點也變成偶了）
- 若G是==連通有向圖==，則
- 每個節點入度等于出度，則G是歐拉有向圖
- 若G是弱連通有向圖，當且僅當G有歐拉閉路，則G是歐拉有向圖
- 類似無向圖，當且僅當弱聯通有相同G有兩個節點V1、V2，有
$d_{G}^{+}(V1)=d_{G}^{-}(V1)+1 , d_{G}^{-}(V2)=d_{G}^{+}(V2)+1$,除此之外的結點入度等于出度，則由V1到V2存在一條歐拉路徑(+是出度-是入度)
如上公式，簡書不支持插入公式
若G1、G2是歐拉圖且可運算，則G1同或G2也是歐拉圖（用處不大
一筆畫問題：歐拉路徑或歐拉圖就能一筆畫完。
圖(b)歐拉有向圖，圖(c)歐拉路徑
哈密爾頓圖
具有哈密爾頓回路的圖叫做哈密爾頓圖，==哈密爾頓回路==：經過所有頂點且僅經過一次的回路，只談無向圖，有向圖沒意義
同理可得哈密爾頓路徑，同上只是不回到出發點
如圖
完全圖必定是哈密爾頓圖
-
充分條件：
-
無向簡單圖G，n個結點，每一對結點度數之和大于等于n-1，則G中含有一條哈密爾頓路；若每一對不相鄰結點度數之和大于等于n，則G是一個哈密爾頓圖
哈密爾頓圖，但不滿足如上充分條件
-
-
必要條件：---------->用來判斷某些圖是否是哈密爾頓圖
- 哈密爾頓圖G的結點集V（G）任一非空子集s，都有
$w(G-s)\leqslant \left | s \right |$,$w(G-s)$指G刪去s中的點后，圖的連通分支數，|s|是點集s頂點的個數
如上公式
- 哈密爾頓圖G的結點集V（G）任一非空子集s，都有
由必要條件可知，哈密爾頓圖不含割點
二部圖
無向圖G點集V可劃分為{V1，V2}，使得V1中每個節點都不與V2中結點相鄰，則稱G為二部圖
可知二部圖：
- 沒有回路
-
或回路長度為偶數
如圖，右圖是左圖另一形式
完全二部圖：V1,V2是簡單二部圖G的互補結點子集，V1中每個點與V2中每個點相鄰。可以記作$K_{m,n}$,邊數m*n，上圖也是完全二部圖，$K_{3,3}$
如上公式
二部圖匹配問題
- 匹配
- 極大匹配
- 最大匹配:包含邊數最多的那個匹配就是圖G的最大匹配
求二部圖的最大匹配可以使用最大流（maximal flow）或匈牙利算法（Hungarian algorithm）
- 匹配數：最大匹配包含的邊數
- 最大匹配一定是極大匹配，但極大匹配不一定是最大匹配
- 無向圖中可以有多個極大匹配和最大匹配
- 完美匹配:如果一個最大匹配中所有的點都有邊與之相連，沒有未覆蓋點，則這個最大匹配就是完美匹配。
未覆蓋點的定義是：圖G的一個頂點Vi，如果Vi不與任何一條屬于匹配M的邊相連，則成Vi是一個未覆蓋點
太晚了，可以看我的筆記（開頭連接），不想寫了。。。
