前言

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• 每日一題：LeetCode：334.遞增的三元子序列

  • 時(shí)間：2022-01-12
  • 力扣難度：Medium
  • 個(gè)人難度：Medium
  • 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：數(shù)組、LIS最長遞增子序列
  • 算法：動態(tài)規(guī)劃、貪心、二分查找

LeetCode每日一題.jpg

2022-01-12：LeetCode：334.遞增的三元子序列

1. 題目描述

• 題目：原題鏈接

  • 給你一個(gè)整數(shù)數(shù)組 nums ，判斷這個(gè)數(shù)組中是否存在長度為 3 的遞增子序列。
  • 如果存在這樣的三元組下標(biāo) (i, j, k) 且滿足 ，使得 ，返回 true ，否則，返回 false。

• 輸入輸出規(guī)范

  • 輸入：整數(shù)數(shù)組nums
  • 輸出：布爾值，表示是否存在遞增三元子序列

• 輸入輸出示例

  • 輸入：nums = [2,1,5,0,4,6]
  • 輸出：true

2. 方法一：動態(tài)規(guī)劃

• 思路：序列DP + 二分優(yōu)化復(fù)雜度

  • 本題是要判斷給定的序列中是否存在長度為3的遞增子序列，即是求序列的最長上升子序列(LIS)的長度是否大于3，類似于LC300最長遞增子序列

  • 一般而言，LIS問題屬于序列DP問題，都可以通過動態(tài)規(guī)劃的思想來解決，其DP三要素也非常明確

    • DP數(shù)組：dp[i]表示以序列中的第 i 個(gè)元素結(jié)尾的最長上升子序列的長度
    • 邊界條件：dp[i]初始化為1
    • 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：if(nums[j] < nums[i]) dp[i] = Max(dp[i], dp[j] + 1) (j < i)

  • 最長上升子序列的長度求解

    • 兩重遍歷，外層dp[i]表示以 i 結(jié)尾的 LIS 的長度，并將最大值記錄到 max 中
    • 內(nèi)層dp[j]是局部結(jié)果，j 的范圍是 [0, i)，也可以是(i, n)，此時(shí)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程需要簡單變一下

    public int getLengthOfLIS(int[] nums) { 
        int n = nums.length;
        int max = 1;
        int[] dp = new int[n];
        Arrays.fill(dp, 1);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j] < nums[i])
                    dp[i] = Math.max(dp[j] + 1, dp[i]);
            }
            max = Math.max(max, dp[i]);
        }
        return max;
    }
    

• 題解：暴力動態(tài)規(guī)劃，遍歷過程中如果長度已經(jīng)大于3直接返回true

  public boolean increasingTriplet(int[] nums) {
      if(nums == null || nums.length < 3) return false;
      int n = nums.length;
      int[] dp = new int[n];
      Arrays.fill(dp, 1);
      for (int i = 0; i < n; i++) {
          for (int j = i + 1; j < n; j++) {
              if (nums[j] > nums[i])
                  dp[j] = Math.max(dp[i] + 1, dp[j]);
          }
          if(dp[i] >= 3) return true;
      }
      return false;
  }
  

• 復(fù)雜度分析：n 是數(shù)組的長度

  • 時(shí)間復(fù)雜度：
  • 空間復(fù)雜度：

3. 方法二：動態(tài)規(guī)劃 + 二分查找

• 思路

  • 方法一是LIS問題的常見思路，但是時(shí)間復(fù)雜度高，會發(fā)生TLE超時(shí)問題，此時(shí)要思考如何進(jìn)行優(yōu)化
  • LIS問題的最優(yōu)解：動態(tài)規(guī)劃 & 二分
    • 首先分析如何確保LIS最長，通過貪心的思想可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每次向LIS末尾添加的元素是剩余元素中盡可能小的元素時(shí)，LIS的增長速率就相對更低
    • 舉例說明下，假設(shè)LIS的末尾添加了元素A(A > B)，那么后續(xù)向LIS添加的元素一定大于A，即也會大于B，此時(shí)相當(dāng)于B被遺漏了，LIS不是最長的，所以要添加盡可能小的元素
  • DP數(shù)組
    • dp[i]表示指定的序列中，長度為 i 的最長上升子序列的最小結(jié)尾元素
    • DP數(shù)組是單調(diào)上升的，可以通過二分的方式查找該數(shù)組中的值
  • 邊界條件：dp[0] = nums[0]，注意DP數(shù)組的個(gè)數(shù)是 n - 1 還是 n 個(gè)
  • 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程
    • 遍歷序列時(shí)，如果當(dāng)前元素大于dp[i]，將其添加到DP數(shù)組末尾dp[i+1]
    • 如果當(dāng)前元素小于等于dp[i]，通過二分的方式查找當(dāng)前元素應(yīng)該放到的DP數(shù)組中的位置dp[i - 1] < nums[i] < dp[i]，并更新

• 圖解

  
  
  LC334遞增三元子序列-LIS最長遞增子序列問題：動態(tài)規(guī)劃&二分.png

• 題解：通過二分優(yōu)化動態(tài)規(guī)劃

  // 方法二：LIS最優(yōu)解：動態(tài)規(guī)劃（貪心） + 二分
  public boolean increasingTriplet2(int[] nums) {
      if (nums == null || nums.length < 3) return false;
      int n = nums.length;
      int[] dp = new int[n];
      dp[0] = nums[0];
      int len = 1;
      for (int i = 1; i < n; i++) {
          int num = nums[i];
          if (num > dp[len - 1]) {
              dp[len++] = num;
              if (len >= 3) return true;
              continue;
          }
          int left = 0, right = len - 1;
          while (left < right) {
              int mid = (right - left) / 2 + left;
              if (dp[mid] >= num) {
                  right = mid;
              } else {
                  left = mid + 1;
              }
          }
          dp[right] = num;
          if (len >= 3) return true;
      }
      return false;
  }
  

• 復(fù)雜度分析：n 是數(shù)組的長度

  • 時(shí)間復(fù)雜度：，遍歷一次，內(nèi)部嵌套二分查找，整體
  • 空間復(fù)雜度：

4. 方法二優(yōu)化：狀態(tài)壓縮

• 思路

  • 首先總結(jié)下方法二的核心思想
    • 根據(jù)貪心的思想，維護(hù)一個(gè)動態(tài)規(guī)劃DP數(shù)組來表示各個(gè)長度的LIS的末尾元素
    • 遍歷序列的過程中，將大于末尾的元素直接添加，小于的二分查找并更新到DP數(shù)組中
  • 雖然這已經(jīng)是LIS類型題目的最優(yōu)解法了，但是本題有一個(gè)特殊之處，那就是并不是求解LIS最大長度，而是只需要判斷該長度是否大于等于3即可
  • 因此，本題無需求解LIS最大長度，也不需要維護(hù)長度為 n 的DP數(shù)組，而僅需要維護(hù)兩個(gè)變量：最小值、次小值即可
  • 通過這種狀態(tài)壓縮的方式，不僅使得空間優(yōu)化到常量空間，同時(shí)也無需進(jìn)行二分查找，只需要判斷序列中是否有大于這兩個(gè)值的元素，時(shí)間優(yōu)化到

• 題解：狀態(tài)壓縮優(yōu)化

  public boolean increasingTriplet(int[] nums) {
      if (nums == null || nums.length < 3) return false;
      int min = Integer.MAX_VALUE;
      int secondMin = Integer.MAX_VALUE;
      for (int num : nums) {
          if (num <= min) min = num;
          else if (num <= secondMin) secondMin = num;
          else return true;
      }
      return false;
  }
  

• 復(fù)雜度分析：n 是數(shù)組的長度

  • 時(shí)間復(fù)雜度：
  • 空間復(fù)雜度：

5. 方法三：動態(tài)規(guī)劃存儲左右側(cè)最小最大值

• 思路

  • 此外，這里再介紹一種與LIS無關(guān)的方法，因?yàn)楸绢}要求的是判斷是否有遞增三元子序列，所以可以使用類似LC42接雨水的解題方法
  • 具體而言，由于要找遞增三元組，就可以等價(jià)于在序列中尋找一個(gè)元素，該元素左側(cè)存在一個(gè)小于它的值，右側(cè)存在一個(gè)大于它的值
  • 與接雨水一題不同的是，本題需要維護(hù)的左側(cè)最小值和右側(cè)最大值是數(shù)組，而不像接雨水中是單個(gè)數(shù)值
  • 因此，維護(hù)兩個(gè)DP數(shù)組，分別存放左側(cè)的最小值和右側(cè)的最大值，left[i] 表示序列 [0, i) 中的最小值，right[i] 表示 (i, n)中的最大值
  • 遍歷一次序列，計(jì)算出兩個(gè)數(shù)組的每一個(gè)元素，如果兩者滿足left[i - 1] < nums[i] < right[i + 1]，表示找到了滿足的三元組

• 題解：雙向BFS

  // 方法三：另類的動態(tài)規(guī)劃
  public boolean increasingTriplet(int[] nums) {
      if (nums == null || nums.length < 3) return false;
      int n = nums.length;
      // 左側(cè)的最小值數(shù)組
      int[] leftMin = new int[n];
      leftMin[0] = nums[0];
      for (int i = 1; i < n; i++) {
          leftMin[i] = Math.min(leftMin[i - 1], nums[i]);
      }
      // 右側(cè)的最大值數(shù)組
      int[] rightMax = new int[n];
      rightMax[n - 1] = nums[n - 1];
      for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
          rightMax[i] = Math.max(rightMax[i + 1], nums[i]);
      }
      // 尋找遞增三元子序列
      for (int i = 1; i < n - 1; i++) {
          if (leftMin[i - 1] < nums[i] && rightMax[i + 1] > nums[i]) return true;
      }
      return false;
  }
  

• 復(fù)雜度分析：n 是數(shù)組的長度

  • 時(shí)間復(fù)雜度：
  • 空間復(fù)雜度：

最后

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