隨機變量概述

隨機變量與事件

隨機變量的本質是一種函數（映射關系），在古典概率模型中，“事件和事件的概率”是核心概念；但是在現代概率論中，“隨機變量及其取值規律”是核心概念。

隨機變量的分類

隨機變量從其可能取的值全體的性質可以分為兩大類：離散型隨機變量和連續型隨機變量。

離散型隨機變量

離散型隨機變量的取值在整個實數軸上是間隔的，要么只有有限個取值，要么是無限可數的。

離散型隨機變量的概率質量分布函數

常見的離散型隨機變量包括以下幾種：

• 0-1分布（也叫兩點分布或伯努利分布，bernouli distribution）
  又叫做0-1分布，指一次隨機試驗，結果只有兩種。也就是一個隨機變量的取值只有0和1。
  最簡單的例子就是，拋一次硬幣，預測結果為正還是反。

• 二項分布(binomial distrubution)
  表示n次伯努利實驗的結果。
  例子就是，求多次拋硬幣，預測結果為正面的次數。

P(X=0) =  1/32
P(X=1) =  5/32
P(X=2) = 10/32 = 5/16
P(X=3) = 10/32 = 5/16
P(X=4) =  5/32
P(X=5) =  1/32

這是隨機變量X 表示五次拋硬幣出現的正面的次數；

二項分布的期望值公式：E(X) = np

二項分布的期望值

二項分布概率質量函數

• 幾何分布

  
  
  幾何分布概率質量函數

• 泊松分布
  泊松分布就是描述某段時間內，事件具體的發生概率。
  日常生活中，大量事件是有固定頻率的。

某醫院平均每小時出生3個嬰兒
某公司平均每10分鐘接到1個電話
某超市平均每天銷售4包xx牌奶粉
某網站平均每分鐘有2次訪問

它們的特點就是，我們可以預估這些事件的總數，但是沒法知道具體的發生時間。
泊松分布的圖形大概是下面的樣子。

泊松分布的圖形

poisson分布概率質量函數

泊松分布與二項分布對比

可以看到，在頻率附近，事件的發生概率最高，然后向兩邊對稱下降，即變得越大和越小都不太可能。

• 超幾何分布
  一個袋子中有n個球，其中r個是黑球，n-r是白球，從袋中取出m個球，讓X表示取出球中的黑球的個數，那么X是一個符合超幾何分布(hypergeometric distribution)的隨機變量。

連續型隨機變量

連續型隨機變量的取值要么包括整個實數集(?∞,+∞)，要么在一個區間內連續，總之這類隨機變量的可能取值要比離散型隨機變量的取值多得多，它們的個數是無限不可數的。

連續型隨機變量的概率密度分布函數

常見的連續型隨機變量包括以下幾種：

• 均勻分布

  
  
  均勻分布概率密度函數

• 指數分布
  指數分布是事件的時間間隔的概率。下面這些都屬于指數分布。

嬰兒出生的時間間隔
來電的時間間隔
奶粉銷售的時間間隔
網站訪問的時間間隔

指數分布的公式可以從泊松分布推斷出來。
指數分布的圖形大概是下面的樣子。

指數分布的圖形

指數分布概率密度函數

可以看到，隨著間隔時間變長，事件的發生概率急劇下降，呈指數式衰減。

• 正態分布
  正態分布是比較常見的，最常用的分布就是正態分布（normal distribution），也稱為高斯分布 （Gaussian distribution），譬如學生考試成績的人數分布等。

  
  
  正太分布概率密度函數

隨機變量的基本性質

隨機變量最主要的性質是其所有可能取到的這些值的取值規律，即取到的概率大小。如果我們把一個隨機變量的所有可能的取值的規律都研究透徹了，那么這個隨機變量也就研究透徹了。隨機變量的性質主要有兩類：一類是大而全的性質，這類性質可以詳細描述所有可能取值的概率，例如累積分布函數和概率密度函數；另一類是找到該隨機變量的一些特征或是代表值，例如隨機變量的方差或期望等數字特征。