Dynamic Programming(動態規劃)

Introduction

作為科班出身的程序員,算法還是得懂一點點的。------佚名(我)。
動態規劃是一個看起來很高大上的名字,讓人一聽就很想知道這到底是個啥,所以我常常需要跟身邊好奇的朋友們解釋一下。成功的讓朋友們理解了動態規劃的基本思想后,我決定寫一篇博客來幫助更多好奇的人??。
動態規劃既是一種數學優化方法,也是一種計算機編程方法, 該方法由理查德·貝爾曼于20世紀50年代開發,并已在航空航天工程和經濟學等多個領域得到應用。
本文將以計算斐波那契數和爬樓梯問題為例,描述記憶化搜索及動態規劃的基本思想,使讀者對動態規劃有一個基本的理解。

Top-down Approach

斐波那契數列是一個人稱“兔子數列”的數列,形如1,1,2,3,5,......從數列的第n(n >= 3)個數開始,第n個數的值為第n-1和第n-2個數的和。由于斐波那契數列非常的簡單直觀,它常被用作講解記憶化搜索思想的例子。
在一個斐波那契額數列中,給定任意索引n, 如何求該位置的斐波那契數呢?最簡單的方法,用遞歸:

 private static int fibonacci(int n) {
        if (n == 1 || n == 2) {
            return 1;
        } else {
            return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
        }
    }

這個算法的時間復雜度是怎么樣的呢,直觀的來看可能看不出來,如果將遞歸調用使用樹來進行表示的話:


使用遞歸計算斐波那契數的遞歸樹

可以發現一共進行了n層的調用,每往下走一層,節點數翻一倍(當然這棵二叉樹不是滿的,不論是國內定義的還是國外定義的滿),這表示這個算法的時間復雜度達到了指數級別。
仔細觀察遞歸樹我們可以發現,這棵樹中有很多重復的節點,或許我們可以使用緩存來減少遞歸調用,比如,使用某種數據結構記錄n-2的值:

public class Main {
    private static int[] memoryTable;
    public static void main(String[] args) {
        int n = 0;
        memoryTable = new int[n + 1];
        if (n >= 1) memoryTable[1] = 1;
        if (n >= 2) memoryTable[2] = 1;
        System.out.println("n's Fibonacci: " + fibonacci(n));
    }

    private static int fibonacci(int n) {
        if (n <= 0) {
            return -1;
        }
        if (memoryTable[n] == 0) {
            memoryTable[n] = fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
        }
        return memoryTable[n];
    }
}

那么,根節點的右邊那個子樹就可以直接被省略掉,遞歸樹就變成了這樣:


優化之后的遞歸樹

使用一個大小為n + 1的數組來緩存計算過了的值犧牲了O(n)的空間(通常來說完全可以接受),算法被優化到了線性時間復雜度。這種存儲已計算值的方法被稱為“ memoization”。在Top-down approach里我們自頂向下的將一個問題分解成子問題并逐個求解,通過記錄子問題的解來進行優化。

Bottom-up Approach

給定一個樓梯,你可以一次爬一階或者一次爬兩階,但是每一次離開第n階的時候需要花費cost[n]的體力,求如何花費最少的體力爬到頂,你可以從第一階或者第二階開始網上爬。比如[30, 20, 60]?;ㄙM體力最少的方式就是從第二階往上爬一步,共耗費20體力。通過舉例分析我們可以發現這個問題有這樣的幾個特性:
1.該問題最終的最優解可以通過結合子問題的最優解來得到。在第n階的時候,我們只能從第n - 1階和第n - 2階爬上來,所以我們只需要遞歸的求解爬到第n - 1階和第n - 2階最少需要多少步,然后取其中小的那一個就能得到爬到第n階最少需要多少步。
2.嘗試遞歸的求解的時候會發現我們會不斷的計算重復的子問題。從1我們可以看出來這個問題的遞歸樹和求斐波那契數的問題的遞歸樹是一樣的,所以我們可以跟之前一樣通過用一個數組來存儲已經計算過的值來進行優化。
這個問題的第一個特性叫做“Optimal substructure”,第二個特性叫做“Overlapping sub-problems”。同時具有這兩個特性的問題才可能能夠通過動態規劃來進行求解。
通過以上分析,我們可以得出一個求解這個問題的規律:

狀態轉移方程

這個規律又叫狀態轉移方程,其中dp代表離開某一階需要消耗的體力。
有了狀態轉移方程之后,我們其實可以不用寫遞歸,直接用遞推的方式從第一步推到第n步就可以得到結果:

 public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        int[] dp = new int[cost.length];
        for (int i = 0; i < cost.length; i++) {
            if (i == 0 || i == 1)  dp[i] = cost[i];
            else                   dp[i] = cost[i] + Math.min(dp[i - 1], dp[i - 2]);
        }
        return Math.min(dp[dp.length - 1], dp[dp.length - 2]);
  }

這種根據狀態轉移方程從最小的子問題開始一步一步推出最終結果的方式叫做Bottom-up Approach。
觀察代碼我們發現每一次我們在計算一個新的狀態的時候都只用前面兩個狀態,所以我們其實可以不用數組,直接用兩個變量記錄前兩個狀態的值就行了:

 public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        int b = cost[1], c = cost[0];
        for (int i = 2, a; i < cost.length; ++i, c=b, b = a) a = cost[i] + Math.min(b, c);
        return Math.min(b, c);
  }

我們發現Bottom-up Approach比Top-down Approach更進一步,把空間復雜度從O(n)優化到了O(1)。

Conclusion and Prospect

本文通過兩個例子對動態規劃的思想進行了一個基本描述,重點描述了實現動態規劃的Top-down Approach和Bottom-up Approach,針對具體問題進行了算法的時間復雜度和空間復雜度分析。本文還講解了適合使用動態規劃進行解法優化的問題的特性。
動態規劃的應用非常廣泛,而且具體問題可能會比較復雜,希望熟練掌握的同學可以去各大OJ找題自虐一下??。懶得找的同學可以直接試一下這道谷歌的面試題

References

[1] Dynamic programming的維基百科
[2]Min Cost Climbing Stairs

Acknowledgments

感謝那些在看到我讀算法書的時候跑過來問我你懂動態規劃嗎或者是在聽說動態規劃后忍不住要刨根問底的好奇寶寶們,是你們引發了我的思考。

?著作權歸作者所有,轉載或內容合作請聯系作者
平臺聲明:文章內容(如有圖片或視頻亦包括在內)由作者上傳并發布,文章內容僅代表作者本人觀點,簡書系信息發布平臺,僅提供信息存儲服務。
  • 序言:七十年代末,一起剝皮案震驚了整個濱河市,隨后出現的幾起案子,更是在濱河造成了極大的恐慌,老刑警劉巖,帶你破解...
    沈念sama閱讀 229,406評論 6 538
  • 序言:濱河連續發生了三起死亡事件,死亡現場離奇詭異,居然都是意外死亡,警方通過查閱死者的電腦和手機,發現死者居然都...
    沈念sama閱讀 99,034評論 3 423
  • 文/潘曉璐 我一進店門,熙熙樓的掌柜王于貴愁眉苦臉地迎上來,“玉大人,你說我怎么就攤上這事?!?“怎么了?”我有些...
    開封第一講書人閱讀 177,413評論 0 382
  • 文/不壞的土叔 我叫張陵,是天一觀的道長。 經常有香客問我,道長,這世上最難降的妖魔是什么? 我笑而不...
    開封第一講書人閱讀 63,449評論 1 316
  • 正文 為了忘掉前任,我火速辦了婚禮,結果婚禮上,老公的妹妹穿的比我還像新娘。我一直安慰自己,他們只是感情好,可當我...
    茶點故事閱讀 72,165評論 6 410
  • 文/花漫 我一把揭開白布。 她就那樣靜靜地躺著,像睡著了一般。 火紅的嫁衣襯著肌膚如雪。 梳的紋絲不亂的頭發上,一...
    開封第一講書人閱讀 55,559評論 1 325
  • 那天,我揣著相機與錄音,去河邊找鬼。 笑死,一個胖子當著我的面吹牛,可吹牛的內容都是我干的。 我是一名探鬼主播,決...
    沈念sama閱讀 43,606評論 3 444
  • 文/蒼蘭香墨 我猛地睜開眼,長吁一口氣:“原來是場噩夢啊……” “哼!你這毒婦竟也來了?” 一聲冷哼從身側響起,我...
    開封第一講書人閱讀 42,781評論 0 289
  • 序言:老撾萬榮一對情侶失蹤,失蹤者是張志新(化名)和其女友劉穎,沒想到半個月后,有當地人在樹林里發現了一具尸體,經...
    沈念sama閱讀 49,327評論 1 335
  • 正文 獨居荒郊野嶺守林人離奇死亡,尸身上長有42處帶血的膿包…… 初始之章·張勛 以下內容為張勛視角 年9月15日...
    茶點故事閱讀 41,084評論 3 356
  • 正文 我和宋清朗相戀三年,在試婚紗的時候發現自己被綠了。 大學時的朋友給我發了我未婚夫和他白月光在一起吃飯的照片。...
    茶點故事閱讀 43,278評論 1 371
  • 序言:一個原本活蹦亂跳的男人離奇死亡,死狀恐怖,靈堂內的尸體忽然破棺而出,到底是詐尸還是另有隱情,我是刑警寧澤,帶...
    沈念sama閱讀 38,849評論 5 362
  • 正文 年R本政府宣布,位于F島的核電站,受9級特大地震影響,放射性物質發生泄漏。R本人自食惡果不足惜,卻給世界環境...
    茶點故事閱讀 44,495評論 3 348
  • 文/蒙蒙 一、第九天 我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望。 院中可真熱鬧,春花似錦、人聲如沸。這莊子的主人今日做“春日...
    開封第一講書人閱讀 34,927評論 0 28
  • 文/蒼蘭香墨 我抬頭看了看天上的太陽。三九已至,卻和暖如春,著一層夾襖步出監牢的瞬間,已是汗流浹背。 一陣腳步聲響...
    開封第一講書人閱讀 36,172評論 1 291
  • 我被黑心中介騙來泰國打工, 沒想到剛下飛機就差點兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留,地道東北人。 一個月前我還...
    沈念sama閱讀 52,010評論 3 396
  • 正文 我出身青樓,卻偏偏與公主長得像,于是被迫代替她去往敵國和親。 傳聞我的和親對象是個殘疾皇子,可洞房花燭夜當晚...
    茶點故事閱讀 48,241評論 2 375

推薦閱讀更多精彩內容