乘法和逆矩陣
矩陣乘法的四種表示方法
\begin{bmatrix}A_{1, 1}&A_{1, 2}&A_{1, 3}&A_{1, 4}\\A_{2, 1}&A_{2, 2}&A_{2, 3} &A_{2, 4}\\A_{3, 1}&A_{3, 2}&A_{3, 3}&A_{3, 4}\\A_{4, 1}&A_{4, 2} &A_{4, 3}&A_{4, 4} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}B_{1, 1}&B_{1, 2}&B_{1, 3}&B_{1, 4}\\B_{2, 1}&B_{2, 2}&B_{2, 3} &B_{2, 4}\\B_{3, 1}&B_{3, 2}&B_{3, 3}&B_{3, 4}\\B_{4, 1}&B_{4, 2} &B_{4, 3} &B_{4, 4} \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}C_{1, 1}&C_{1, 2}&C_{1, 3}&C_{1, 4}\\C_{2, 1}&C_{2, 2}&C_{2, 3} &C_{2, 4}\\C_{3, 1}&C_{3, 2}&C_{3, 3}&C_{3, 4}\\C_{4, 1}&C_{4, 2} &C_{4, 3} &C_{4, 4}\end{bmatrix}
A * B = C
1.常規(guī)方法
- 用A的每一行乘以B的每一列
C_{3, 4} = A_{3, 1} * B_{1, 3} + A_{3, 2} * B_{2, 4} +... + A_{3, k} * B_{k, 4} = \sum_{i=1}^{n} A_{3, i} * B_{i, 4}
2. 列方法
- n行p列的矩陣B(n*p)可以考慮成p個單獨的列向量，A * B 轉(zhuǎn)化為 矩陣A乘以矩陣B的每一列之和
- C中的每一列，是A中各列乘以一個列向量，等價于A的各列的線性組合，而B中的數(shù)字則表明了這是一個怎樣的線性組合
\begin{bmatrix}A_{1, 1}&A_{1, 2}&A_{1, 3}&A_{1, 4}\\A_{2, 1}&A_{2, 2}&A_{2, 3} &A_{2, 4}\\A_{3, 1}&A_{3, 2}&A_{3, 3}&A_{3, 4}\\A_{4, 1}&A_{4, 2} &A_{4, 3}&A_{4, 4} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}B_{1, 1}&B_{1, 2}&B_{1, 3}&B_{1, 4}\\B_{2, 1}&B_{2, 2}&B_{2, 3} &B_{2, 4}\\B_{3, 1}&B_{3, 2}&B_{3, 3}&B_{3, 4}\\B_{4, 1}&B_{4, 2} &B_{4, 3} &B_{4, 4} \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
A
\begin{bmatrix}B_{1, 1} \\B_{2, 1}\\B_{3, 1}\\B_{4, 1}\end{bmatrix},
A
\begin{bmatrix}B_{1, 2}\\B_{2, 2}\\B_{3, 2}\\B_{4, 2} \end{bmatrix},
A
\begin{bmatrix}B_{1, 3}\\B_{2, 3}\\B_{3, 3}\\B_{4, 3}\end{bmatrix},
A
\begin{bmatrix}B_{1, 4}\\B_{2, 4}\\B_{3, 4}\\B_{4, 4}\end{bmatrix}
\end{bmatrix}
3. 行方法
- C中的每一行，對應(yīng)的是A乘以B中的每一行，等價于B中每一行的線性組合
\begin{bmatrix}A_{1, 1}&A_{1, 2}&A_{1, 3}&A_{1, 4}\\A_{2, 1}&A_{2, 2}&A_{2, 3} &A_{2, 4}\\A_{3, 1}&A_{3, 2}&A_{3, 3}&A_{3, 4}\\A_{4, 1}&A_{4, 2} &A_{4, 3}&A_{4, 4} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}B_{1, 1}&B_{1, 2}&B_{1, 3}&B_{1, 4}\\B_{2, 1}&B_{2, 2}&B_{2, 3} &B_{2, 4}\\B_{3, 1}&B_{3, 2}&B_{3, 3}&B_{3, 4}\\B_{4, 1}&B_{4, 2} &B_{4, 3} &B_{4, 4} \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\begin{bmatrix}A_{1, 1}&A_{1, 2}&A_{1, 3}&A_{1, 4}
\end{bmatrix} B\\
\begin{bmatrix}A_{2, 1}&A_{2, 2}&A_{2, 3} &A_{2, 4}
\end{bmatrix} B
\\\begin{bmatrix}A_{3, 1}&A_{3, 2}&A_{3, 3}&A_{3, 4}
\end{bmatrix} B
\\\begin{bmatrix}A_{4, 1}&A_{4, 2} &A_{4, 3}&A_{4, 4}
\end{bmatrix} B
\end{bmatrix}
從方法2和3中可以看出 ，C中各行是B中各行的線性組合，C中各列是A中各列的線性組合
4. 列乘以行
- 使用矩陣A的列向量乘以矩陣B的行向量，得到各個矩陣相加，即為C
- 例子：
\begin{bmatrix} 2 & 7 \\ 3 & 8 \\ 4 & 9
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 6 \\0 & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 2\\ 3 \\ 4
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 6
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix} 7 \\ 8 \\ 9
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 2 & 12 \\ 3 & 18 \\ 4 & 24
\end{bmatrix}
- 最終得到的結(jié)果每一列都和
同向。\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}
即列向量都在(2, 3, 4)這個方向上，列空間是一條直線。
同理結(jié)果的每一行都在(1, 6) 這個方向上，行空間也是一條直線
逆矩陣
定義：
- 對于一個矩陣A，如果A可逆，則有
A A^{-1}=I=A^{-1}A
I是單位矩陣
- 一個沒有逆的矩陣：
\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6
\end{bmatrix}
為什么沒有逆矩陣？
假設(shè)A乘以某個矩陣，那么結(jié)果中的各列都是A中相應(yīng)列的倍數(shù)，而這不可能是單位矩陣。換種說法就是：A中的各個向量都在同一條直線上，我們無法找到對應(yīng)的線性組合使它成為一個單位矩陣
結(jié)論：如果存在非零向量x，使得 Ax=0 ，那么矩陣A就不可逆
如果 Ax=0 ,假設(shè)A的逆存在，那么兩邊同時乘以A的逆，約去單位向量I
A^{-1}Ax=A^{-1}0 ==> x=0
而x不可能為0，與條件矛盾
逆矩陣的求解方法
- 求逆矩陣的過程就是解方程組的過程
- 例如， 求下面這個矩陣的逆矩陣：
\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 7 \end{bmatrix}
- 即
\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 7 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}
=
I
=
\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}
- 我們首先從列向量的角度來看，得到了兩個方程
\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 7 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 7 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
求解這個方程，得到a,b,c,d的值，就能得到逆矩陣了
高斯-若爾當(dāng)方法
還是上面的例子，我們通過列向量的角度得到兩個方程
\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 7 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 7 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
在這里我我們使用增廣矩陣將他們聯(lián)系起來
[圖片上傳失敗...(image-3fe5b7-1550418524191)]
- 在上面的求解過程中，我們對
$\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 7 \end{bmatrix}$
進行了消元變換使得它變成了一個單位矩陣I，相當(dāng)于左乘了一大堆消元矩陣，我們將這些矩陣記作E，那么$E\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 7 \end{bmatrix} = I $, 所以E肯定是逆矩陣$A^{-1}$,虛線右邊，單位矩陣$\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$與$\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 7 \end{bmatrix}$經(jīng)歷了同樣的消元過程，最后的結(jié)果是$EI=IA^{-1}$，那么虛線右側(cè)的矩陣就是$A^{-1}$了
