今天要說的來自我最喜歡的悖論之一，巴拿赫-塔斯基（分球）悖論。

這個悖論是為數(shù)不多的不涉及自指的悖論。什么叫涉及自指的悖論呢？比如說理發(fā)師悖論，那個只給不給自己理發(fā)的人理發(fā)的理發(fā)師給不給自己理發(fā)呢？那個不給自己理發(fā)的概念就是自指的概念；再比如說羅素悖論，那個不包含自己的元素組成的集合是不是集合呢？那個不包含自己的要求就是自指的要求。這些悖論的構造在Lawvere的一篇文章里給出了清晰的框架，就是要否定地自指，熟悉計算機的小朋友此時應該可以想到圖靈機的停機問題，熟悉數(shù)學基礎的小朋友此時應該可以想到哥德爾不完備性定理的證明。

那么不涉及自指的悖論有哪些呢？

我首先能想到的大概就是芝諾悖論了。像是阿基里斯總是跑不過烏龜這種悖論。簡單給不了解芝諾悖論的小朋友解釋一下芝諾是怎么說的，芝諾說呀，阿基里斯跑得再快，如果他和烏龜賽跑，烏龜?shù)钠瘘c比較靠前的話，阿基里斯永遠追不上烏龜。為什么呢？因為，芝諾說，這個阿基里斯怎么追烏龜呢？他得先花一段時間跑到烏龜開始的地方，這個時候烏龜已經(jīng)往前爬了一段距離了，所以阿基里斯又得再花一段時間跑到烏龜爬到的那個地方，可是這個時候烏龜又往前爬了一段了，所以阿基里斯又得花一段時間跑。。。然后芝諾說，阿基里斯就永遠追不上烏龜了。

現(xiàn)在開啟新時代學過微積分的好青年的嘲諷模式：

哈哈哈芝諾大概以為所有級數(shù)都發(fā)散。

嘲諷模式結束。

我們可以看到在這個悖論里面我們沒有遇到任何自指的成分。讓人感到困惑的是無窮小和收斂級數(shù)的概念。簡單的微積分告訴我們，有許多組無窮多個數(shù)加起來可能是有限的，芝諾悖論里阿基里斯追烏龜每一段用的時間就是這樣的一組數(shù)。

我們可以把這類悖論歸類為涉及極限概念的悖論，包括我上一篇寫的實數(shù)的構造，這里讓人覺得不自然的東西歸根結底是對極限這個概念的理解。

那么搞清了自指和極限之后（說實話大概沒有哪個大數(shù)學家敢說自己真正搞清楚了這些看似平凡的概念），我們面臨的悖論還有哪些呢？

我要說體積。

什么是體積？

只有一個容器，一個秤的時候，一灘水的體積怎么測？

小學數(shù)學老師告訴我們，把水倒進容器里，稱一稱，除以密度，就是體積。

就是誰的體積？

是容器里的水的體積還是那一灘水的體積？

那位看官說了，這么問是不是有病？流體力學第一節(jié)課最基本的假設就是水是不可壓縮液體，密度不變，質量又守恒，那沒倒灑的話，那杯子里的水的體積可不就是那一灘水的體積嗎？

我要說了，還真是有病態(tài)的東西在，但是病的主體不在我，在體積這個概念。

什么意思？

我先把這個包袱抖出來--?

因為理想狀態(tài)下我可以把任何一個球切成五份，再僅僅通過轉動和平移，把這五份拼成兩個和原來一樣的球，體積翻倍。這就是巴拿赫塔斯基悖論，這個悖論的核心不在自指也不在極限，在選擇公理。

怎么回事？

諸位拉起小手抱好自己，我們要發(fā)車了。

讓我們來回憶一下我們是怎么學體積這個概念的。

小學的時候數(shù)學老師怎么說的呢？

長乘寬乘高就是長方體的體積。

初中數(shù)學老師怎么說的呢？

三分之四πr的三次方就是球的體積。

高中數(shù)學老師怎么說的呢？

三個向量組成的矩陣的行列式的絕對值就是這三個向量搞成的那個平行六面體的體積。

小學初中高中的數(shù)學老師們不辭辛苦告訴了我們體積這個東西，就應該像一個函數(shù)，給它一個三維的東西（長方體），它給我們一個數(shù)（長乘寬乘高）。

那位說了，既然要講地嚴謹，你要說清楚什么是『三維的東西』吧？

好，我來說說什么是『三維的東西』。三維好說，簡單的線性代數(shù)告訴我們，就是一個向量空間其中有一組基的勢為三，經(jīng)典情況下我們取這個向量空間的底域為實域。

那位說了，人家大學學中國古典文學的沒學過線性代數(shù)，讓我不要在人家面前說黑話。

那我說您高中學過向量吧，一個括號里面仨（實）數(shù)拿逗號隔開算一個點（向量），三維（歐幾里得）空間就是所有這種點組成的集合，然后還可以定義向量的加減法點積什么的。

那什么是『東西』呢？

我說最起碼一個點得算是個東西。比如說我可以問，點（1.5, 2, 3.14）的體積是多少？

長寬高都是零所以體積為零，很好。

我再說，兩個點也得算一個東西。比如說我可以問，兩個點的體積是多少？

兩個長寬高都是零，零加零還是零，很好。

以此類推我還可以問密密麻麻的（連續(xù)多個）點排成的一條線，一個面，和一個長方體的體積。

看起來我可以問任何一個由點組成的集合的體積。

看起來體積是一個輸入三維點集輸出實數(shù)的函數(shù)。

但是要加一些條件。這些條件怎么來的？直覺。

比如說，一個長方體平移之后體積應該不會變，一個長方體旋轉之后體積應該不會變，一個長方體切成兩半再拼起來體積應該不會變，之類的很基礎很基礎的條件。

看起來體積就是一個輸入三維點集輸出實數(shù)并且滿足上面這些簡單的條件的函數(shù)。

有什么了不起的？

了不起的在于，這樣的函數(shù)不存在。

為什么？

因為假定這樣的函數(shù)存在，按照我上面說的，拿來任何一個球，因為球也是一堆點的集合，他有一個體積，假如說體積是1，我能把這個球拆成五份（都是點集），每份也有體積分別為a,b,c,d,e, 然后通過旋轉平移這五份碎片，拼成兩個體積都是1的球，這下1+1=a+b+c+d+e=1了。矛盾。

關鍵就在于怎么切出來這五份呢？

最一開始豪斯多夫有一個大概的想法，后來巴拿赫和塔斯基兩位波蘭數(shù)學界泰斗拓展了一下豪斯多夫的想法，具體的構造了出來，這個關于體積的悖論就這么叫做巴拿赫-塔斯基悖論了。

話休閑絮，這兩位怎么構造的？

要想明白這個構造的中心思想，我們先看另一個也很有趣的但是好理解一點的悖論，這個悖論實際上告訴了我們自由群是什么，而自由群和選擇公理是巴拿赫-塔斯基悖論的核心：

考慮這樣一本英語字典，這個字典分成26卷，第一卷包含所有a打頭的單詞，第二卷包含所有b打頭的單詞，以此類推。這個字典里的英語很神奇，因為它包含所有字母可能的組合，比如說第一卷第一個單詞是a，第二個單詞是aa，第三個單詞是aaa，以此類推，然后是ab,aba,abaa,abaaa,以此類推，再然后是abb, abba, ..., abbb, abbba, ..., abbb..., ac, aca, ...，直到azzzz...., 有無窮個單詞，而且這只是第一卷的內容。第二卷就是所有第一個字母是b的這樣的單詞們。

現(xiàn)在假如我們以一種奇特的方式把這一套字典寫好了，擺在了圖書館里，一大堆。

豪斯多夫同學走過來，從書架上取下這套字典的第一卷，然后做了一件神奇的事情。

他把這卷里面每個單詞的第一個字母都抹掉了。

然后他得到了一整套26卷字典。

為什么？

其實很簡單，倒著想-- 如果豪斯多夫同學走過來，從書架上取下一整套字典，往每個單詞前面都加一個a，這一整套字典就都變成了以a為首的詞，也就變成了第一卷。

第一次接觸這種想法的同學們可以先在這里頓一頓想一想，我第一次在實變課上聽到這個也是很震驚的。有不明白的可以私信我也可以看這里的視頻。

--------頓一頓--------

這基本上就是巴拿赫塔斯基悖論的最核心的一步了。把字典換成球，把字母換成旋轉一個點的軌跡，就搞定了。

具體怎么做？

先在球表面挑一個點，以這個點為原點選互相垂直的兩個方向（可以想象成地球上的北和東）。

我們知道沿一個方向轉2π就回到了原點，現(xiàn)在我們不轉2π，我們轉1，這樣轉多少下都不會轉回來（軌跡不會重合），因為如果重合了2π就不是無理數(shù)了（對不對？）。

規(guī)定好轉1rad為一步之后，現(xiàn)在我們不僅允許重復交替轉任意步，我們還允許倒著轉。

也就是說可以想象成地球表面一個人（那個點）每次向東西南北其中一個方向走一步（轉1rad）。然后看無數(shù)個人從同一個點出發(fā)走出來的軌跡。

把球表面鋪開了之后這個軌跡大概長成這個樣子。

其中e就是起點，a就是向東走，b就是向北走，每一個小分支都有無限的更細小的分支（喜歡分型的小朋友會知道這叫一個自相似圖形）。另外注意這是平面上這個樣子，球面上的話會轉圈圈的，就是說你一直往東走就走到了自己的西面，再往東走又走到了自己的東面。

現(xiàn)在把豪斯多夫同學的做法翻譯過來就是什么呢？

把第一步向東走形成的軌跡拿出來，向西轉1rad，變成了什么？

變成了第一步向東南北走形成的軌跡。

為什么沒有第一步向西走形成的軌跡呢？

因為先向東走一步再向西走一步相當于沒動。

走一步退一步等于沒走。

（這實際上是圖書館例子里的自由半群和轉圈圈這個例子里的自由群的區(qū)別-- 我們要考慮一個元素的逆了（黑話，不用理我）。）

所以呢，我們把先向東走一步形成的軌跡拿出來，向西轉一步，再和先向西走一步形成的軌跡拼起來，就得到了從原點出發(fā)形成的所有軌跡；

再把先向北走一步形成的軌跡拿出來，向南轉一步，再和先向南走一步形成的軌跡拼起來，就得到了另一份從原點出發(fā)形成的所有軌跡。

一下是一句關于細節(jié)的可能難懂的話，建議自己寫一寫體會一下：

注意以上說的在原點的地方是有問題的，要想說的嚴謹?shù)脑挘⑶乙氚言c也復制一份的話，可以把原點算進『先向西走一步的那一塊』里，但是要注意這樣的話，要從『先向東走一步形成的那一塊』里把所有『只向東走形成的軌跡』摳出來放到『先向西走一步的那一塊』里才行，這是因為否則的話把『東。。。塊』拿出來，向西轉一下，會得到原點，這樣和『西。。。塊』里有的點就重復了，為了避免這種重復只能如上所說這樣做。

嗯這句可能難懂的關于細節(jié)的話說完了。

上面說的都是球表面的點，現(xiàn)在我們考慮這些點連同每個點到球心的連線一起照我們剛剛說的旋轉平移。

我們好像就已經(jīng)把一個去掉球心的球復制成兩個了。

。

。

嗎

？

現(xiàn)在讓我們再頓一頓。

-----------頓一頓----------

剛剛我說了，這個巴拿赫塔斯基悖論的構造有兩點，最主要的一點我們已經(jīng)說完了（其實就是由兩個球面上旋轉生成的自由群的性質呀感興趣的小朋友可以多去查一查），還有一點，也是當今數(shù)學分析里大部分極度病態(tài)的例子的源泉----選擇公理。

哪里要用選擇公理？

剛剛我們一開始不是隨便選了球面上一個點當原點嘛，這樣無論怎么旋轉，能落到旋轉軌跡里的點都不是很多（是離散/可數(shù)的）。而我們知道球面當然不是離散的嘛，是連續(xù)的，就是說球面上沒有小漏洞對不對？但是拿一個點一步一步轉出來的軌跡到處都是漏洞對不對？

漏下的點怎么辦？

我們可以在漏下的點里隨便再選一個點，做相同的事情，又得到了東西南北四塊，可以相應地和之前那個原點得到的東西南北四塊并到一起，這樣分成四塊再復制的點和其到圓心的連線就更多了一點。

但是我們知道兩個離散/可數(shù)的集合的并還是離散/可數(shù)的。這告訴我們還是漏下了很多點。

更令人絕望的是，我們可以推想，即使我們一直重復做這樣的選一個漏下的點然后走東西南北的動作，也還是會漏下點。

怎么辦？

這個問題說的明白一點，就是說，通過像我們所說的東西南北走形成的軌跡，實際上對球面形成了一個分劃，就是說這些軌跡互不相交（練習題：為什么互不相交？）然后球面上的每個點都屬于這些軌跡之一。如果有一種方法能讓我們從每個軌跡里面選出來一個點就好了，這樣我們就可以把選出來的那個點當做軌跡的原點然后把原點們打包放到『西。。。塊』里面（參見我說可能難懂的那句話），就可以把去心球分成四塊（比如說有一塊就是所有原點的『北。。。塊』的并集）再拼成兩個球啦（其實這里面有一個不影響大局的小問題，我最后說）。

那么有沒有這么一種方法呢？

有，選擇公理。

選擇公理到底是什么？

這就是ZFC里面的C，是現(xiàn)代數(shù)學依賴的集合論最根本幾條公理之一。這些公理包括了比如說無窮集存在，如果兩個集合存在那么這兩個集合的并集交集存在，這類的很基礎的命題，人人都覺得是對的，可沒人能從更基礎的東西推出來只好當做公理來用了（事實上羅素和弗雷格的邏輯主義是這樣的一種嘗試，但是沒有成功，我上一篇文章里有寫，將來應該會就此更詳細地寫一些）。

選擇公理是這一套公理系統(tǒng)里面的最后一條公理，他告訴我們，不論給定多少個集合，只要每個集合都不是空集，那么我們肯定能從每個集合里面挑一個元素出來湊成一個集合。

數(shù)學家有時會自嘲說自己研究的是抽象廢話。

私以為面對選擇公理此言猶是。

然而，維特根斯坦的《邏輯哲學論》里把所有能說的話差不多都當成了一句抽象廢話。

大概一些抽象廢話湊在一起就能囊括這個世界吧。

大概這也是數(shù)學的魅力所在。

大概選擇公理就是這樣的抽象廢話之一。

策梅洛說他曾經(jīng)日夜冥想選擇公理為其中的奧義所折服。

在這里推薦Horst Herrlich寫選擇公理的書（就叫axiom of choice），里面囊括了幾乎所有選擇公理導致的病態(tài)的例子。其中以這個悖論和柯西函數(shù)方程的病態(tài)解為最突出的兩個。

我的實變教授在講柯西函數(shù)方程的時候告訴我們這個東西太病態(tài)了以至于大家沒事不要鉆研這些東西除非喝醉了喝得特別特別醉，強調了好幾遍只有醉鬼才能想出這種病態(tài)解。

印象深刻，柯西函數(shù)方程可以改天再說，但感覺會比較枯燥，雖然他會給出我們一個從實數(shù)到實數(shù)的函數(shù)病態(tài)到你在平面上畫出這個函數(shù)的圖像之后你會發(fā)現(xiàn)這個圖像是稠密的也就是說你隨便在平面上畫一個小圈都會圈到這個函數(shù)圖像的無數(shù)個點。

事實上你是無法畫出那個圖像的。

但這又扯遠了。

說回選擇公理。

哥德爾和保羅科恩一起告訴我們，選擇公理確實不能從其他的公理里面推出來。

事實上，他們告訴我們，選擇公理獨立于其他公理。

什么意思？

意思就是說，把其他的公理拿來，我們可以構造一個更大的公理體系，使得選擇公理在那里面是真的；同時我們還能構造另一個更大的公理體系，使得選擇公理在那里面是假的。

這怎么證的呢？

力迫法。

什么玩意兒？

哈哈我也不知道我下個學期看看爭取春節(jié)前能多寫點關于力迫法的東西啊。

選擇公理在我心中一直是個小怪物，我凝視它的時候感覺像在凝視深淵，但卻不能說出很多，謝爾賓斯基說選擇公理之下的大概是那來自遠古的宏大的關于存在的問題，按照維特根斯坦的說法，此中深意大概是不可說的吧。

----------頓一頓----------

那么有了選擇公理之后，我們確實可以只通過旋轉平移分成四份的去心球來復制去掉圓心的球了。

有一個技術上的小問題就是，球心怎么辦？

球心的問題是他不屬于某個唯一的軌道。有相同問題的點還有那些旋轉的旋轉軸上的點們。

但好在這些點都不多，我們可以把這些點加進去然后把四份簡單改一改變成五份就好了。

這個技術的中心思想是這樣的：我們可以把(0,1)這個開區(qū)間分成三份，一份是1/2這個數(shù)，一份是剩下的所有n分之1，一份是剩下的點，然后我們把二分之一移到0，把三分之一移到二分之一，四分之一移到三分之一，以此類推，我們就用（0，1）蓋住了[0, 1)。

這里我們就可以心滿意足地寫上一個證畢了。

但是好像還有一個問題----

巴拿赫塔斯基悖論告訴我們體積這個函數(shù)不存在，這感覺會直接導致所有科學理論崩塌，為什么我們現(xiàn)在的科學家們都活得好好的依然樂觀地辛勤工作？

其實還是因為我們用了選擇公理：

數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)了體積這個概念的這個缺點之后，開始思考，在什么樣的集合上我們才能定義體積。

現(xiàn)在實分析里面我們都是在一部分選定的集合里面才會定義體積（測度），一般情況下這些集合包含了基本的長方體和這些長方體取交并補極限所形成的所謂sigma-代數(shù)里面。我們叫這些集合（勒貝格）可測集。在可測集上體積這個概念是定義良好的。

比如說我們剛剛用到的那拆成五份的集合就不都是可測集，所以我們1=a+b+c+d+e=1+1里面的abcde其實都是不存在的。

而事實上可測集基本上就是我們會用到的大部分集合，并且是我們這個有限的宇宙里的科學能用到的全部集合。

（這想想也是很有道理的，回想我們證明里用到的那些集合，如果用刀切球的話，第一部分里那把刀要拐無數(shù)個彎，第二步里那把刀去切的起點甚至都是無法說明的，只能依靠選擇公理才知道這些起點存在。）

最后，Solovay在70年代證出來，如果我們不用選擇公理的話，是可以構造出來一個集合論公理體系使得里面所有的集合都是可測集的。

所以質量守恒嗎？

在經(jīng)典的情況下，質量還是守恒的。

流體力學教授可以松一口氣了。