級別： ★☆☆☆☆
標簽：「算法」「DP策略」「動態(tài)規(guī)劃」
作者： MrLiuQ
審校： QiShare團隊
本篇將介紹動態(tài)規(guī)劃相關(guān)知識。
一、簡介
動態(tài)規(guī)劃（Dynamic Programming，簡稱DP）。
它的核心思想是把一個復雜的大問題拆成若干個子問題，通過解決子問題來逐步解決大問題。
注意：使用動態(tài)規(guī)劃思想有個前提：當且僅當每個子問題都是離散的（即每個子問題都不依賴于其他子問題時），才能使用動態(tài)規(guī)劃。
二、動態(tài)規(guī)劃之“0-1背包問題”
現(xiàn)在有這么一個場景，
“你”是一名“小偷”，你帶了個包去“偷東西”，。
條件1：每個商品只有一個，要么拿，要么不拿。（0-1背包問題）
條件2：你最多拿得動4kg的東西。（固定大小，可不裝滿）
| 商品 | 價格 | 重量 |
|---|---|---|
| 商品A | 3000元 | 4kg |
| 商品B | 2000元 | 3kg |
| 商品C | 1500元 | 1kg |
| 商品D | 2000元 | 1kg |
在有限的重量條件下，如何“偷”，賺的錢最多？
方案一：簡單算法（可行，不推薦）
暴力枚舉出所有商品的排列組合，
舍去所有超出重量要求的組合，
從中挑一個最大的。
可行，但是太慢了，每多一件商品都會多2倍的組合。
方案測評：時間復雜度 O(2n)，超級超級慢，不推薦。
方案二：貪心算法（不可行）
用上篇介紹的貪心算法計算。
通過某個貪心策略（拿最貴的、拿性價比最高的商品）來得出近似解。
方案測評：這種方案接近最優(yōu)解，是近似解，但不一定是最優(yōu)解，故不可行。
方案三：動態(tài)規(guī)劃（可行，推薦）
- 原理：先解決子背包最優(yōu)，再解決大背包最優(yōu)。
先繪制出一張表格，一會我們一列一列慢慢填。（PS：體會動態(tài)規(guī)劃的算法過程）
表格：（實際上對應了一個二維數(shù)組）
| 商品\ 子背包最大重量 | 1kg | 2kg | 3kg | 4kg |
|---|---|---|---|---|
| 商品A | ||||
| 商品B | ||||
| 商品C | ||||
| 商品D |
先解讀一下這個表格，
行：代表了商品行（對應i），
列：代表了重量列（對應j），
格：代表當前的已有的商品、已有重量下所能拿的最大價值。
好了，下面我們開始一列一列的填：
第一行，只有商品A（價值：3000，重量：4kg）
| 商品\ 子背包最大重量 | 1kg | 2kg | 3kg | 4kg |
|---|---|---|---|---|
| 商品A | / | |||
| 商品B | ||||
| 商品C | ||||
| 商品D |
第二行，有商品A（價值：3000，重量：4kg）與商品B（價值：2000，重量：3kg）
| 商品\ 子背包最大重量 | 1kg | 2kg | 3kg | 4kg |
|---|---|---|---|---|
| 商品A | / | |||
| 商品B | / | |||
| 商品C | ||||
| 商品D |
第三行，有商品A（價值：3000，重量：4kg）、商品B（價值：2000，重量：3kg）商品C（價值：1500，重量：1kg）
| 商品\ 子背包最大重量 | 1kg | 2kg | 3kg | 4kg |
|---|---|---|---|---|
| 商品A | / | |||
| 商品B | / | |||
| 商品C | 1500 | |||
| 商品D |
第四行，有商品A（價值：3000，重量：4kg）、商品B（價值：2000，重量：3kg）、商品C（價值：1500，重量：1kg）、商品D（價值：2000，重量：1kg）
| 商品\ 子背包最大重量 | 1kg | 2kg | 3kg | 4kg |
|---|---|---|---|---|
| 商品A | / | |||
| 商品B | / | |||
| 商品C | 1500 | |||
| 商品D | 2000 |
大家有沒有發(fā)現(xiàn)，這里填寫每個表格時的算法可表示為：
對應行的商品的重量超過當前子背包的重量，就取上一行單元格的值，
商品的重量能裝下當前子背包，則取下面兩者的較大值：
- 上一個單元格的值（
cell[i-1][j]）- 當前商品的價值 + 剩余空間的價值（
cell[i-1][j-當前商品的重量所對應的列號]）
下面填第二列：
| 商品\ 子背包最大重量 | 1kg | 2kg | 3kg | 4kg |
|---|---|---|---|---|
| 商品A | / | / | ||
| 商品B | / | / | ||
| 商品C | 1500 | 1500 | ||
| 商品D | 2000 | 3500 |
第三列：
| 商品\ 子背包最大重量 | 1kg | 2kg | 3kg | 4kg |
|---|---|---|---|---|
| 商品A | / | / | / | |
| 商品B | / | / | 2000 | |
| 商品C | 1500 | 1500 | 2000 | |
| 商品D | 2000 | 3500 | 3500 |
第四列：
| 商品\ 子背包最大重量 | 1kg | 2kg | 3kg | 4kg |
|---|---|---|---|---|
| 商品A | / | / | / | 3000 |
| 商品B | / | / | 2000 | 3000 |
| 商品C | 1500 | 1500 | 2000 | 3500 |
| 商品D | 2000 | 3500 | 3500 | 4000 |
于此反復判斷即可，這樣每個單元格都是最優(yōu)解，通過解決子問題，推導出最終最優(yōu)解。
這就是動態(tài)規(guī)劃，是不是很簡單呢？
轉(zhuǎn)換成Python代碼：
def package_dp(a, b, flag, n):
c = [[0 for i in range(n)] for j in range(n)]
for j in range(n):
c[0][j] = 0
for i in range(n):
c[i][0] = 0
for j in range(n):
if b[i]>flag[j]:
c[i][j] = c[i-1][j]
else:
temp1 = a[i] + c[i-1][j-b[i]]
temp2 = c[i-1][j]
c[i][j] = max(temp1,temp2)
print c[i][j]
print ("")
return c
price = [0, 3000, 2000, 1500, 2000]
weight = [0, 4, 3, 1, 1]
flag = [0, 1, 2, 3, 4]
package_dp(price, weight, flag, 5)
三、細節(jié)問題
子背包拆分問題：按照 所有商品 的最大公約數(shù)（也有可能存在小數(shù)）去拆子背包。
讓所有的商品都能被剛好裝下。通過子背包的最優(yōu)解 => 推導出 => 全背包的最優(yōu)解。
這個過程的思想，就是DP思想（動態(tài)規(guī)劃的核心思想）
四、動態(tài)規(guī)劃的應用場景
本文舉了背包與矩陣連乘的例子，其實思路都是一樣的。
只是應用場景不同，常見的應用場景有以下幾個：
- 0-1背包問題（ ??）
- 矩陣連乘法（ ??）
- 硬幣找零
- 字符串相似度
- 最長公共子序列
- 最長遞增子序列
- 最大連續(xù)子序列和/積
- 有代價的最短路徑
- 瓷磚覆蓋（狀態(tài)壓縮DP）
- 工作量劃分
參考資料：
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