算法引入

如果 a+b+c=1000，且 a^2+b2=c^2（a,b,c 為自然數），如何求出所有a、b、c可能的組合?

• 枚舉法

  #!/usr/bin/env python
  # -*- coding: utf-8 -*-
  # Created by xuehz on 2017/7/6
  
  import time
  
  start_time = time.time()
  for a in range(0, 1001):
      for b in range(0, 1001):
          for c in range(0, 1001):
              if a+b+c==1000 and a**2 + b**2 == c**2:
                  print("a, b, c:%d, %d ,%d" % (a, b, c))
  end_time = time.time()
  print("times:%d" %(end_time - start_time))
  print("finished")
  
  a, b, c:0, 500 ,500
  a, b, c:200, 375 ,425
  a, b, c:375, 200 ,425
  a, b, c:500, 0 ,500
  times:133
  finished
  

• $T(n) = O(n n n) = O(n^3)$

  ?

• c = 1000 - a - b 改進

  ?

import time

start_time = time.time()
for a in range(0, 1001):
    for b in range(0, 1001):
        c = 1000 - a - b
        if a+b+c==1000 and a**2 + b**2 == c**2:
            print("a, b, c:%d, %d ,%d" % (a, b, c))
end_time = time.time()
print("times:%d" %(end_time - start_time))
print("finished")

a, b, c:0, 500 ,500
a, b, c:200, 375 ,425
a, b, c:375, 200 ,425
a, b, c:500, 0 ,500
times:0
finished

$T(n) = O(nn(1+1)) = O(n*n) = O(n^2)$

算法的五大特性

1. 輸入: 算法具有0個或多個輸入

2. 輸出: 算法至少有1個或多個輸出

3. 有窮性: 算法在有限的步驟之后會自動結束而不會無限循環，并且每一個步驟可以在可接受的時間內完成

4. 確定性：算法中的每一步都有確定的含義，不會出現二義性

5. 可行性：算法的每一步都是可行的，也就是說每一步都能夠執行有限的次數完成

   ?

算法效率衡量

”大O記法”：對于單調的整數函數f，如果存在一個整數函數g和實常數c>0，使得對于充分大的n總有f(n)<=c*g(n)，就說函數g是f的一個漸近函數（忽略常數），記為f(n)=O(g(n))。也就是說，在趨向無窮的極限意義下，函數f的增長速度受到函數g的約束，亦即函數f與函數g的特征相似。

時間復雜度：假設存在函數g，使得算法A處理規模為n的問題示例所用時間為T(n)=O(g(n))，則稱O(g(n))為算法A的漸近時間復雜度，簡稱時間復雜度，記為T(n)

時間復雜度計算方法

1. 基本操作，即只有常數項，認為其時間復雜度為O(1)
2. 順序結構，時間復雜度按加法進行計算
3. 循環結構，時間復雜度按乘法進行計算
4. 分支結構，時間復雜度取最大值
5. 判斷一個算法的效率時，往往只需要關注操作數量的最高次項，其它次要項和常數項可以忽略
6. 在沒有特殊說明時，我們所分析的算法的時間復雜度都是指最壞時間復雜度

20170809150224214024242.png

常見時間復雜度之間的關系

20170809150224226148276.png

$O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)$