形或古希臘人所說的“idea”，有多種含義，比如：形狀，這是和視覺有關(guān)的，比如風(fēng)格、分類，這當(dāng)然可以是和視覺有關(guān)的，但比如音樂也可以有風(fēng)格，寫作也可以有風(fēng)格，這就是和聲音有關(guān)的了。

和視覺有關(guān)的“形”是直觀的，我們無須論證，糾結(jié)于如何用語言表達(dá)，僅憑圖形，或者是靜態(tài)的，或者是想象中動(dòng)態(tài)的，直接給出結(jié)果。對(duì)形的研究會(huì)導(dǎo)向幾何學(xué)，幾何本身是視覺的，而視覺是偏好靜的，偏好不動(dòng)的，但一加“學(xué)”，幾何“學(xué)”就是個(gè)動(dòng)的過程了。

我們?nèi)绾螌W(xué)呢？或者演示，用圓規(guī)和直尺，或者像畢達(dá)哥拉斯那樣拿根木棍面對(duì)沙土。世界是一步一步地被展現(xiàn)出來的，一筆一劃本身就是個(gè)動(dòng)態(tài)的過程。我們努力說：首先如何，其次如何，然后，又然后……

這本身是個(gè)動(dòng)態(tài)的過程，所謂動(dòng)態(tài)就是次序，我們首先只關(guān)注首先要解決的，其次，帶著對(duì)剛剛過去的對(duì)首先的記憶，來探討緊鄰首先要解決的問題，我們的思想沒法分叉，這就好像我們的視覺，當(dāng)我們的視覺遭遇挑戰(zhàn)，看不清某物的時(shí)候，我們凝眼觀瞧，把視線使勁聚焦于某物，凝眼就是凝神，不受誘惑地專注于某物。

這個(gè)結(jié)構(gòu)很像自然數(shù)：“0，1，2，3，……”，一步一步地展示給你看，我是如何用直尺和圓規(guī)作圖的，這種線性展開的結(jié)構(gòu)就是時(shí)間，“學(xué)”的過程，對(duì)學(xué)的人是學(xué)，在Challenge，對(duì)展示的人來說是在“證”，在說服，這個(gè)過程是世界次第展開的過程，是敘事，是Chronicle。

“學(xué)”依賴語言，語言是一種聲音現(xiàn)象。

據(jù)說人能夠發(fā)出一個(gè)八度再加一個(gè)四度的聲音。

古代世界，天和地很近，音樂和人也很近。孔子聞韶樂“三月不知肉味”，這種沉浸在聲音里的境界和我們今天聽流行音樂，把音樂當(dāng)做一種背景噪音，同時(shí)抑制住我們心的背景噪音，是完全不同的兩種聲音技術(shù)。

古代的音樂，古希臘的或古中國的，都很簡(jiǎn)單。簡(jiǎn)單到也許就是敲擊單音音叉發(fā)出的聲音，單音音叉是校音用的，在古代就是古中國的黃鐘律管或古希臘的單弦（Monochord）。

它們發(fā)出很純的音，基本上就是一個(gè)頻率。孔子一生關(guān)心禮，禮與樂相聯(lián)，樂就是音及音的混雜與排列。我們用音高，頻率，響度，音色等來描述聲音。音高就是頻率，是描述“音”諸參數(shù)中最重要的一個(gè)量。

人天生就是一個(gè)感知音高的靈敏動(dòng)物，音高激越，使人振奮，低音嗚咽，讓人傷感。簡(jiǎn)單的音樂莊重，使人入靜，而復(fù)雜變化的音樂也如一場(chǎng)“視覺的盛宴”一樣使我們好奇和沉迷。

聽覺和視覺一樣，是感官，同時(shí)也是思維，它們接受信息，同時(shí)也處理、歪曲信息以為我們?nèi)怂谩９糯恼蝹鹘y(tǒng)，古代的教育家都注重音樂教育，這其中最重要的就是對(duì)音樂體系的保留和傳承。

我們唱歌的時(shí)候都要先定調(diào)，調(diào)可以定低點(diǎn)，顯得莊重，也可以定高點(diǎn)，顯得輕快。定好調(diào)后，一系列的聲音次第展開，它們的相對(duì)音高保持一個(gè)固定的法則，比如：

“低，低低，高，高高，低，中中，……”

在給定樂譜的前提下。基準(zhǔn)音高的選取，或所謂定調(diào)是任意的。我們可以定高點(diǎn)，無非大家唱不上去而已。但因?yàn)橛腥顺簧先ィ@個(gè)定調(diào)就也不是完全主觀任意的了。

古代政治秩序大多由推崇勇猛進(jìn)取精神的戰(zhàn)士集團(tuán)建立，對(duì)戰(zhàn)士共同體而言，最重要的是要保持這種勇猛進(jìn)取的精神，能夠保持這種精神的音樂會(huì)與特定音高有關(guān)，這是人群的共同經(jīng)驗(yàn)。

保持這種對(duì)聲音的共同經(jīng)驗(yàn)在古代政治傳統(tǒng)中是非常重要的，其中之一就是確定音調(diào)，或基準(zhǔn)音的頻率，然后在此基礎(chǔ)上再給出其他音的定義，其他音是相對(duì)于基準(zhǔn)音而言的，可以更高，也可以更低，排成一個(gè)階梯狀的結(jié)構(gòu)。

這里要再次強(qiáng)調(diào)我的觀點(diǎn)，原子的“idea”其實(shí)是無所不在的，這里由人的聽覺經(jīng)驗(yàn)，我們?cè)俅蔚玫搅嗽拥母拍睿创嬖谥耙舾摺钡脑樱M(jìn)一步細(xì)分不同音高的原子是多余的，因?yàn)樵谖覀兊囊魳酚螒蛑校F(xiàn)有的規(guī)則是夠用的。

保存音樂制度最簡(jiǎn)單的方法就是造一套標(biāo)準(zhǔn)的樂器，然后后人反復(fù)向這些標(biāo)準(zhǔn)的樂器學(xué)習(xí)，第一套自然是由偉大的立法家們“鑄造”的了。禮樂制度大多會(huì)和樂器有關(guān)，并要詳細(xì)規(guī)定樂器是如何制作的，就是這個(gè)道理，否則音變了，就會(huì)動(dòng)搖統(tǒng)治的基礎(chǔ)。

考慮到弦樂器與弦繃緊的程度有關(guān)，受濕度、溫度影響較大，青銅器制造的發(fā)音器會(huì)是理想的選擇，這是為什么“鐘”會(huì)成為“政權(quán)”符號(hào)的原因，塔可夫斯基電影《安德烈·盧布廖夫》記述的是俄羅斯帝國創(chuàng)旦的基礎(chǔ)，在影片的結(jié)尾就出現(xiàn)了工匠之子鑄鐘的奇跡。

鐘是要發(fā)音的，音高是有標(biāo)準(zhǔn)的，音高，高一些，低一些，很微妙，但人的耳朵，或某些人的耳朵天生就是辨別音高的靈敏儀器。只有能發(fā)出特定音高的鐘才是可以被接受的，否則就要被殺頭，這不是殘忍，這是觀念，一只發(fā)音不準(zhǔn)的鐘在敲響的時(shí)候不嘹亮，不能激發(fā)人民激越的精神，這樣的政治秩序是不會(huì)長(zhǎng)久的。

這里有個(gè)似是而非但很有趣的討論，人有時(shí)間感，但人的時(shí)間感是非常內(nèi)在的，幾乎不存在什么可以相互交流的基礎(chǔ)。這是妨礙人產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)觀念，在科學(xué)意義下研究運(yùn)動(dòng)的重要原因。但我們知道頻率（音高）是時(shí)間的倒數(shù)，人是辨別頻率的精良儀器，同時(shí)我們的發(fā)音器官，也能夠嫻熟地對(duì)不同音高的聲音進(jìn)行模仿，這是我們具有語言和音樂能力的生物學(xué)基礎(chǔ)。

類似地，我們還可以討論位置和速度。人自然能在相當(dāng)精確的意義下分辨位置，但我們對(duì)速度的分辨就要差許多，我們說某物比某物快，其實(shí)是置換到位置才下的判斷，即兩物同時(shí)出發(fā)，但某物先撞線，所以它更快。這是亞里士多德無法得到滿意的落體規(guī)律的原因，他受人本身的局限，而在那個(gè)時(shí)代實(shí)驗(yàn)技術(shù)又沒有充分發(fā)展起來。實(shí)驗(yàn)技術(shù)的充分發(fā)展與資本主義的生產(chǎn)方式有關(guān)，近代科學(xué)于資本主義生產(chǎn)方式同步爆發(fā)不是沒有道理的。如果回顧二者的歷史的話，即科學(xué)史和資本主義史，兩者講的是同一個(gè)故事，只是敘事的角度，主角發(fā)生了變換。

由“造鐘”故事，我們得到一個(gè)新關(guān)系，即：音高是與形有關(guān)。

對(duì)鐘來說這是大大地簡(jiǎn)單化了，因?yàn)椴馁|(zhì)也很重要，但形狀確實(shí)決定了鐘振動(dòng)的頻率。

這意味著：聽音可以定形，定形可以定音。

形就是形式，在畢達(dá)哥拉斯和柏拉圖的傳統(tǒng)里，形是與數(shù)緊密相連的。比如鐘的形由何而定呢？長(zhǎng)、寬、高、是數(shù)字，鐘的厚度也是數(shù)字，但這一堆數(shù)字的集合又有什么意義呢？

當(dāng)我滔滔不絕地羅列一堆數(shù)字的時(shí)候，這是沒有意義的。我們需要給出數(shù)字和數(shù)字之間的關(guān)系，才有意義。而且最好是只要給出一個(gè)關(guān)系（或最少關(guān)系），就能讓所有的數(shù)字各就各位，找到這樣的規(guī)律自然是對(duì)思維的獎(jiǎng)勵(lì)，是可以向眾人夸耀的；同時(shí)這也是技術(shù)，有了技術(shù)我們就能鑄鐘，以前的人是會(huì)鑄鐘的，但技術(shù)失傳了，《安德烈·盧布廖夫》中的小孩是因?yàn)樾疫\(yùn)，絕望中還有神的眷顧，并重新開始，這就是俄羅斯帝國的宿命，盧布廖夫受此感召，重新拿起畫筆開始畫那些注定會(huì)塑造俄羅斯民族性格的那些很平、很抽象的壁畫。

畫是形（idea），音是聲（logos）。形和聲都能塑造性格，前提是我們生活在某種生活中，或我們生活在某種歷史中。

“幾何學(xué)”（Geometry）是對(duì)形的規(guī)定，而“和聲學(xué)”（Harmonics）是對(duì)音的規(guī)定。所謂規(guī)定就是數(shù)字之間的聯(lián)系，最簡(jiǎn)單的數(shù)字和數(shù)字間的聯(lián)系是“相等”，稍微高級(jí)點(diǎn)的是比例，是合乎比例。

比如人臉，人臉上五官的位置和尺寸是需要合乎比例的，這種合乎比例是我們天生可以判斷的，但很難說清楚，當(dāng)然近一二十年隨著計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)據(jù)處理能力的提高，隨著神經(jīng)科學(xué)的進(jìn)步，這類問題有了很多具體技術(shù)的進(jìn)展。但在這里我想強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：首先確實(shí)比例在這里發(fā)揮了作用；其次這個(gè)比例也和觀念有關(guān)，比如古代東夷部族以扁頭為美，甚至不惜把小孩的頭骨弄扁以合乎比例。這個(gè)習(xí)俗在今天還有遺存，比如對(duì)新生兒，不少地方有端正小孩睡姿以把頭睡扁的說法。

我們可以舉出很多生活中合乎比例的例子。但我們從來沒有試圖去發(fā)現(xiàn)這中間的數(shù)字關(guān)系。人類社會(huì)尚沒有進(jìn)步到按照數(shù)字關(guān)系嚴(yán)格定制自己的身形的階段。

但在音樂中我們很容易發(fā)現(xiàn)音高與數(shù)字的關(guān)系。這是畢達(dá)哥拉斯的貢獻(xiàn)。音樂的歷史一定很古老。在畢達(dá)哥拉斯之前人類就有音樂了，不但有音樂還有規(guī)定音高的一套體系，即有一套術(shù)語來說清楚“不同音高”的音之間的關(guān)系。

比如當(dāng)我發(fā)出一個(gè)音后，讓你發(fā)出一個(gè)高四度的音，你就能發(fā)出這樣一個(gè)音，并得到我的認(rèn)同。這套語言游戲能夠玩兒的起來。

這些當(dāng)然都是基于感官經(jīng)驗(yàn)講的，本來和數(shù)字沒啥關(guān)系。傳說畢達(dá)哥拉斯在路過鐵匠鋪時(shí)，受到叮叮當(dāng)當(dāng)聲音的啟發(fā)，回去研究各種樂器的音高，比如弦樂。

所謂弦樂器就是一根繃緊的弦，兩端固定，中間可以快速振動(dòng)起來，擾動(dòng)空氣發(fā)出聲音，弦樂的頻率自然就是琴弦發(fā)出的聲音。這是典型的機(jī)械振動(dòng)的問題，弦上會(huì)有波動(dòng)，但因琴弦兩端是固定的，所以波傳播不出去，它只能被限制在琴弦上振動(dòng)，并整體具有一個(gè)輪廓，琴弦就在這個(gè)輪廓內(nèi)振動(dòng)，這種振動(dòng)叫駐波。

琴弦上的振動(dòng)是波動(dòng)，我們?nèi)匀豢梢园阉硎緸椋?/p>

$A \cos kx - \omega t$

或：

$A \cos 2\pi \left( \frac{x}{\lambda} - \frac{t}{T} \right)$

這里機(jī)械波傳播的速度是：

$v = \frac{\lambda}{T} = \lambda \nu$

$\lambda$是波動(dòng)的波長(zhǎng)，因?yàn)榍傧业膬啥艘呀?jīng)被限制住了，琴弦的長(zhǎng)度$L$可以取半波長(zhǎng)，一個(gè)波長(zhǎng)，一個(gè)半波長(zhǎng)，……，簡(jiǎn)單說就是半波長(zhǎng)的整數(shù)倍$\frac{n \lambda}{2}$。這其實(shí)就是合乎比例，進(jìn)一步講，如果我們考慮一個(gè)符合兩端被限制住的琴弦的一般運(yùn)動(dòng)，這個(gè)一般運(yùn)動(dòng)總是可以被分解為一系列不同$n$取值的，波長(zhǎng)為$\frac{2L}{n}$的振動(dòng)的疊加。

換成頻率的語言，就是$\nu = \frac{n v}{2 L }$的一系列波動(dòng)的疊加。這里$v$是波動(dòng)在琴弦傳播的速度，這個(gè)數(shù)字是常數(shù)。我們管$n = 1$的音叫做基音，這個(gè)頻率的聲音是最主要的，但弦上也會(huì)有$n= 2, 3, ...$的成分，這些音叫做泛音。

撥動(dòng)長(zhǎng)度$L$的琴弦，我們聽到的是基因和泛音的混合，最主要的是基因，頻率為$\nu_1 = \frac{v}{2L} $，其次是第一個(gè)泛音，頻率為$\nu_2 = 2 \nu_1$，它們之間是1: 2的關(guān)系。

假如我們把琴弦的長(zhǎng)度減半，其實(shí)就是用手在弦長(zhǎng)的一半按住琴弦，此時(shí)我們會(huì)有新的弦長(zhǎng)$L/2$，同時(shí)新的基因頻率$2 \nu_1$，但此時(shí)，因?yàn)橄议L(zhǎng)只剩下一半了，我們撥動(dòng)琴弦發(fā)出的聲音里就沒有$\nu_1$的成分了。

我們聽起來的感覺是這樣的，首先$L/2$琴弦發(fā)出的音和$L$琴弦發(fā)出的音很像，其次$L/2$琴弦發(fā)出的音當(dāng)然要比$L$琴弦發(fā)出的音要高，這就好比是一個(gè)人沿螺旋形的樓梯升高，每個(gè)臺(tái)階都對(duì)應(yīng)一個(gè)特定音高的音，在螺旋式升高了幾個(gè)音之后我們又回到了起始位置，只是高了一些，我們還可以繼續(xù)螺旋升高，每提升一個(gè)臺(tái)階都會(huì)感覺和曾經(jīng)的一個(gè)臺(tái)階很像，只是更高了。

在音樂理論里面，我們管這個(gè)結(jié)構(gòu)叫“八度”，當(dāng)音高由$\nu_0$提高一倍到$2 \nu_0$的時(shí)候，我們就說“升了八度”。類似地，當(dāng)音高由$nu_0$降一倍到$\nu_0 /2$時(shí)，我們就說“降了八度”。對(duì)于人來說我們一般能發(fā)出一個(gè)八度再加一個(gè)四度的音。

畢達(dá)哥拉斯研究的就是音和形的關(guān)系，并發(fā)現(xiàn)這個(gè)關(guān)系可以被數(shù)字很精確地描述。

現(xiàn)在我們就得到了第一個(gè)關(guān)系，當(dāng)弦樂器的琴弦長(zhǎng)度比是1：2時(shí)，頻率比是2：1，或用音樂的概念講是“八度音程”。

八度關(guān)系本來就存在于音樂體系中，可以說這是人的日常經(jīng)驗(yàn)，這種日常經(jīng)驗(yàn)是內(nèi)置于人的生物能力中的。現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)一個(gè)八度就是精確的數(shù)字比1：2，這個(gè)數(shù)字比其實(shí)是對(duì)形的描述，因?yàn)橄沂且痪S的，我們對(duì)形的描述是比較簡(jiǎn)單的。

一個(gè)日常經(jīng)驗(yàn)可以對(duì)應(yīng)于一個(gè)數(shù)字的比例關(guān)系是足夠讓人興奮的，畢達(dá)哥拉斯講“萬物皆數(shù)”，其實(shí)講的是萬物皆合乎比例，只有合乎比例萬物才能存在，只是這些比例有待我們的發(fā)現(xiàn)。當(dāng)然，合乎比例是個(gè)很靜態(tài)的世界觀。

除了1：2，畢達(dá)哥拉斯還發(fā)現(xiàn)當(dāng)弦長(zhǎng)比是2：3時(shí)，音的關(guān)系是音樂理論中的五度音程。而弦長(zhǎng)比是3：4時(shí)是音樂理論中的四度音程。

據(jù)說畢達(dá)哥拉斯就發(fā)現(xiàn)了這幾個(gè)關(guān)系。它足夠優(yōu)美，但顯然不夠解釋音樂體系中的所有音高。但這已經(jīng)足夠他嘚瑟的了。更重要的是他開辟了一個(gè)用數(shù)字、用比例關(guān)系去研究音樂的方法，進(jìn)而是研究整個(gè)宇宙萬物的方法，可以說今天的理論物理學(xué)家都是畢達(dá)哥拉斯的信徒。

畢達(dá)哥拉斯方案的缺陷是他被簡(jiǎn)單數(shù)字迷住了，1：2，2：3，3：4確實(shí)解釋了八度音程、五度音程、和四度音程。但再要想把人對(duì)聲音的感官經(jīng)驗(yàn)，極其靈敏的感官經(jīng)驗(yàn)和簡(jiǎn)單數(shù)字比建立聯(lián)系就是不可能的了。

根據(jù)近代的十二平均律，我們?cè)诎硕纫舫汤锩孀?2均分，這個(gè)均分是合乎比例地分（作為人，我們當(dāng)然是憑我們的耳朵來分的，這里我們必須贊嘆人聽覺器官的精密），我們要找到某個(gè)合適的比例因子$q$，使得：

$1 \nu_0$，$q \nu_0$，$q^2 \nu_0$，……$q^{12} \nu_0 =2 \nu_0$

這里難的是對(duì)2開12次方，2開2次方就已經(jīng)是無理數(shù)了，即2開二次方就已經(jīng)沒辦法表示成一個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)字的比例了！這是畢達(dá)哥拉斯方案失敗的原因。

我們解出：$q \approx 1.059463 $，以此制表：

\begin{table}[htdp]
\caption{十二平均律}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
n & $q^n$\
\hline
0 & 1 \
1& 1.059463 \
2 & 1.122462 \
3 & 1.189206 \
4 & 1.25992 \
5 & 1.33484 \
6 & 1.414213 \
7 & 1.49831 \
8 & 1.5874 \
9 & 1.6818 \
10 & 1.7818 \
11 & 1.8877 \
12 & 2 \
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\label{default}
\end{table}%

四度音程對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)比是3：4，計(jì)算出來的頻率比是：$\frac{4}{3} = 1.33333$，對(duì)應(yīng)十二平均律表格中是$n = 5$的情形，$1.33484$和$1.33333$相當(dāng)接近。

五度音程對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)比是3：2，頻率比是：$\frac{2}{3} = 1.5$，對(duì)應(yīng)十二平均律是$n=7$，$1.49831$和$1.5$也很接近。

~

音樂與舞蹈相聯(lián)系，古人總是載歌載舞，而載歌載舞是對(duì)“天”，對(duì)想象中“絕對(duì)秩序”的模仿，通過模仿來表達(dá)對(duì)“天”和人格化的“天”——神的親近和虔敬。

根據(jù)古人的觀念，天是天球，有幾重天球，離地球最遠(yuǎn)的是恒星天，它們構(gòu)成了一個(gè)背景，一個(gè)不動(dòng)的背景。還有行星，金木水火土，太陽和月亮，它們相對(duì)于不動(dòng)的背景穿行。每個(gè)行星都有自己的天球，以自己獨(dú)特的方式運(yùn)動(dòng)。

天體運(yùn)行的很慢，在沒有燈光污染的古代，天體運(yùn)行是很合適的研究對(duì)象，對(duì)恒星而言就是繪制星表，把所有可見的，相對(duì)而言都不運(yùn)動(dòng)的那些恒星的方位表達(dá)出來，所謂方位就是方向，所有恒星離我們是一樣遠(yuǎn)的，它們居于最外層的天球。在此之外是什么都沒有的，我們也就無需費(fèi)神討論了，這些說詞很類似今天宇宙學(xué)里的說法，因?yàn)榻裉煊钪娴膱D像也是有限的。

在這種敘述下，每個(gè)恒星對(duì)應(yīng)一個(gè)傾角和一個(gè)方位角，我們需要某種制圖技術(shù)把天球上的恒星投影到平面上，這種制圖技術(shù)和制作世界地圖的技術(shù)沒有什么區(qū)別。我們得到的星圖，簡(jiǎn)單說就是星座。

恒星天以下還有土星天球，木星天球，火星天球，太陽天球，金星天球，水星天球和月亮天球。這是按照由外到內(nèi)的次序，月亮天球離我們最近，月亮之下就是凡俗世界了，萬物變化不定，沒有規(guī)律。但自月亮天球及以上就是神圣的所在，天球莊嚴(yán)地運(yùn)轉(zhuǎn)，超脫于朽壞和變化，被神圣的數(shù)學(xué)描述。

數(shù)字關(guān)系是不朽的，諸天也是不朽的，研究天體運(yùn)行是研究數(shù)學(xué)，即像畢達(dá)哥拉斯在音樂中曾經(jīng)找到的那樣，找到簡(jiǎn)單的比例，天球的運(yùn)行需要合乎比例，并作為一個(gè)整體和諧地存在，所謂和諧就是和聲（Harmonics）。

這是“萬物皆數(shù)”理念在天球運(yùn)行領(lǐng)域內(nèi)的運(yùn)用，古希臘的哲學(xué)家們已經(jīng)能夠計(jì)算太陽的大小，月球的大小，太陽和地球的距離，以及月亮到地球的距離，各個(gè)行星運(yùn)轉(zhuǎn)的周期等等。

諸天各有各的半徑，這是宇宙的形，而諸天各以不同的速度運(yùn)轉(zhuǎn)將會(huì)發(fā)出聲音，速度越快音高就越高，月音低沉，土星離地球最遠(yuǎn)，運(yùn)行最快因此也是最激昂的。

傳說樂器是阿波羅神給人的禮物，它是理性的象征，樂器因形的合乎比例而發(fā)出和諧的聲音，和諧的聲音使人的心靈柔和、敏感，function well成為一架理性的機(jī)器。

宇宙是造物主理性的設(shè)計(jì)（據(jù)柏拉圖《蒂邁歐篇》），在比喻的意義下，我們把宇宙的整體想象為一把里拉琴，諸天對(duì)應(yīng)不同弦長(zhǎng)，我們無法想象這天體的音樂是不合乎比例的，雖然我們誰都沒有聽過天體的音樂（天籟之聲），但諸天發(fā)出的音樂，有的如男低音，有的如男高音，又有的如女低音，有的如女高音。并整體符合某種比例，某種和諧關(guān)系。就好像畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的弦樂中的1：2：3：4。

這里整體和諧的思想是首要的，它或者體現(xiàn)為音樂之悅耳清晰（孔子一定是沉浸在這種樂音之中，才會(huì)說出“三月不知肉味”這樣的話），或者干脆就體現(xiàn)為一種數(shù)學(xué)關(guān)系的簡(jiǎn)單和優(yōu)美（比如1：2：3：4），人對(duì)音樂的欣賞和想象是可以閉上眼睛的，任隨自己的思緒伴隨著音樂的節(jié)奏奔跑，這就擺脫了日常經(jīng)驗(yàn)對(duì)思維的限制，成為一種純內(nèi)在的，只與不朽的形式相關(guān)的理性思維。

西塞羅在《國家篇》中讓西庇阿夢(mèng)見自己身處宇宙之中，

“由各個(gè)天體自身的運(yùn)動(dòng)和沖擊產(chǎn)生出聲音，這種聲音是那些按恰當(dāng)比率嚴(yán)格區(qū)別開來的各個(gè)不相等的音程劃分出來的；它由高音和低音混合而成，將各種不同的和音造成統(tǒng)一的音程；……在處于最高點(diǎn)的星天（恒星天）歷程上，那里的運(yùn)動(dòng)無比地迅速，就發(fā)生尖銳的快速的聲音；而月球的歷程（那是最低的）則以厚重的聲音運(yùn)動(dòng)著；”

我們誰都沒有聽到過天體發(fā)出的音樂，西塞羅說這是因?yàn)槲覀儚男÷犃?xí)慣了，反而聽不見了。畢達(dá)哥拉斯的說法更高明，他說除了他自己誰也聽不見天體的音樂，畢達(dá)哥拉斯說：

“他既不創(chuàng)作也不演奏任何人類演奏的那種豎琴或歌的旋律，而只使用一種神秘的、莫測(cè)高深的神圣方法，全神貫注于他的聽覺和心靈，使他自己沉浸在流動(dòng)的宇宙諧音之中。……只有他才能聽到并理解這種諧音，以及由這些天體激發(fā)起來的和聲。”

畢達(dá)哥拉斯的高明之處在于點(diǎn)明依靠感官——耳朵——是聽不見“天體音樂”的，他需要的（但這次沒有明說）是數(shù)學(xué)，是合乎比例。柏拉圖在《理想國》中的嘲笑仰望星空者是觀星迷，并擺明自己研究天文學(xué)的方法是幾何學(xué)。研究天文學(xué)也并非是簡(jiǎn)單地應(yīng)用數(shù)學(xué)-幾何學(xué)，按照柏拉圖的說法，研究是要發(fā)現(xiàn)理念，現(xiàn)象被理念（光）照亮，新的理念就是新的形式，就是新的類。換言之就是要發(fā)現(xiàn)具有表現(xiàn)力的新的數(shù)學(xué)-幾何學(xué)，或數(shù)學(xué)-幾何學(xué)的新的應(yīng)用對(duì)象。

西庇阿之夢(mèng)也是西方藝術(shù)中的常見母題，往前自然是畢達(dá)哥拉斯的天體音樂和柏拉圖的“厄爾神話”，往后則是比如庫布里克的《2001太空漫游》，在影片開始的時(shí)候，節(jié)奏非常緩慢，人（猿）生活在自然中，直到他們憑視覺洞見了一個(gè)抽象的幾何形體，這是對(duì)“數(shù)學(xué)-幾何學(xué)”的符號(hào)化表達(dá)，在“數(shù)學(xué)-幾何學(xué)”光芒的照耀下，鏡頭一轉(zhuǎn)人類就進(jìn)入了太空時(shí)代。這就是理性的力量，但首先你需要像那只人（猿）一樣被理想的幾何打動(dòng)，為之著迷，這就像畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)1：2：3：4可以解釋音程一樣，瞬間被理性的力量擊中并宣稱“萬物皆數(shù)”！

而當(dāng)影片即將結(jié)束的時(shí)候，我們看到類似西庇阿之夢(mèng)的夢(mèng)境，變換的色彩，抽象的幾何形體，流動(dòng)沖撞，這其實(shí)是對(duì)天體音樂的視覺再現(xiàn)。而隨之進(jìn)入的是更為具象的人類生活，所有美好或可以激發(fā)起美好與和諧感覺的畫面，西方歷史中值得尊敬和記錄的種種視覺切片，向偉大的西方文明致敬，從畢達(dá)哥拉斯和柏拉圖始到太空時(shí)代終，影片推出的1968年正是人類進(jìn)軍太空的英雄時(shí)代，一年后的1969年人類首次登月成功。（與此同時(shí)，在影片中我們聽到的是《藍(lán)色多瑙河》。）

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開普勒是位承前啟后的人物，一方面他像托勒密、西塞羅一樣醉心于天體音樂的概念，希望能夠發(fā)現(xiàn)宇宙整體和諧的規(guī)律，另一方面他關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的三個(gè)定律直接導(dǎo)致了牛頓的經(jīng)典力學(xué)，在牛頓的體系里萬有引力$F = G M m /r^2$和牛頓運(yùn)動(dòng)定律$F = ma$取代了整體和諧，微分和積分取代了數(shù)字之間的合乎比例，運(yùn)動(dòng)的軌跡取代了靜止的天球。

從托勒密到開普勒都研究過天體的音樂。托勒密是古代天文學(xué)的集大成者，托勒密天文學(xué)的核心是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，他把行星的運(yùn)動(dòng)分解為數(shù)個(gè)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的疊加，并很好地與當(dāng)時(shí)的天文學(xué)觀測(cè)數(shù)據(jù)相對(duì)應(yīng)。這是一種描述性的理論，表面看起來簡(jiǎn)單，但進(jìn)入細(xì)節(jié)后就會(huì)覺得很繁復(fù)。即便是今天，我們也很難憑腦子去想哪怕是幾個(gè)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的疊加。

從整體和諧的觀念出發(fā)，就需要找到更簡(jiǎn)單清晰的數(shù)學(xué)規(guī)律，具體說就是某種比例關(guān)系。開普勒的出發(fā)點(diǎn)和畢達(dá)哥拉斯很類似，都是整數(shù)。在開普勒的年代，哥白尼的體系已經(jīng)逐漸為人們接受，太陽不再是行星，地球取代了它的位置，已知行星按距離太陽由近到遠(yuǎn)排列是：水星、金星、地球、火星、木星和土星。它們的軌道半徑比是：

8：15：20：30：115：195

為什么太陽有6顆行星，不多不少正好6顆，而它們的半徑比又正好是以上的整數(shù)比。在今天看來開普勒的問題是完全沒有意義的，因?yàn)楦鶕?jù)萬有引力定律，行星實(shí)際上可以出現(xiàn)在距離太陽的任何距離上，而今天已知的大小行星的數(shù)目也遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出6顆。換句話說，開普勒的問題只有放到“整體和諧”觀念下才有意義。

柏拉圖在《蒂邁歐篇》中曾用四種正多面體與“水氣土火”四種元素對(duì)應(yīng)，但實(shí)際上有五種正多面體，這讓人感到很不完美。現(xiàn)在開普勒把五種正多面體與行星所在的天球?qū)?yīng)，具體過程是這樣的：

水星天球在最里面；在水星（1）天球之外構(gòu)造一個(gè)正8面體，使之與水星天球相切，在正8面體外再構(gòu)造一個(gè)外接球，這個(gè)球就是金星天球（2）；在金星天球外構(gòu)造一個(gè)正20面體，地球天球（3）就在這個(gè)正20面體的外接球上；在地球天球外構(gòu)造一個(gè)正12面體，火星天球（4）就位于這個(gè)正12面體的外接球上；在火星天球外構(gòu)造一個(gè)正4面體，木星天球（5）就位于這個(gè)正四面體的外接球上；最后在木星天球外構(gòu)造一個(gè)正立方體，土星天球（6）就位于這個(gè)正立方體的外接球上。

這樣我們就用五種正多面體，得到了6個(gè)行星天球，而我們可以根據(jù)立體幾何嚴(yán)格地證明只有5種正多面體，我們現(xiàn)在不多不少各用一次，使之外接內(nèi)切得到了正好6個(gè)行星天球，而在當(dāng)時(shí)人的知識(shí)里，太陽只有只有6顆行星，不多不少6個(gè)天球，每個(gè)天球上鑲嵌上1顆行星。

更加令人贊嘆的是，根據(jù)開普勒的天球套天球模型，我們能精確地計(jì)算出6個(gè)天球的半徑比，它們正好是：

8：15：20：30：115：195

誤差有，但不大。

這個(gè)結(jié)果太完美了，可謂是畢達(dá)哥拉斯“萬物皆數(shù)”綱領(lǐng)下的巔峰之作。日后開普勒雖然有更為人稱道的行星運(yùn)動(dòng)三定律，但他本人仍然最鐘愛這個(gè)“整體和諧”觀念下的理論。

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開普勒的這個(gè)“古典理論”并沒有受到當(dāng)時(shí)學(xué)術(shù)圈的重視，但他樹立了他作為優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的名譽(yù)。第谷·布拉赫當(dāng)時(shí)最了不起的實(shí)驗(yàn)家主動(dòng)尋求和他的友誼，與他的合作。

第谷積累了當(dāng)時(shí)最豐富的對(duì)行星觀測(cè)的資料（也有恒星的），但僅僅是觀測(cè)就已經(jīng)耗費(fèi)了他一生的精力，現(xiàn)在他死了，把資料留給一位優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家——開普勒——期待他能有所發(fā)現(xiàn)，給他帶來名聲。

第谷的觀測(cè)數(shù)據(jù)中尤其以火星的數(shù)據(jù)，特別詳盡，但當(dāng)開普勒試圖用哥白尼的體系對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行處理時(shí)，比如假設(shè)一個(gè)勻速圓周的軌道圍繞太陽運(yùn)動(dòng)，理論計(jì)算和第谷的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)差別較大。本來這個(gè)差距可以通過假設(shè)更復(fù)雜的圓周運(yùn)動(dòng)體系來處理的，即假設(shè)火星同時(shí)參與幾個(gè)勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這是托勒密和哥白尼體系中都允許的技巧。

這么做帶來的是概念上的簡(jiǎn)單，即只使用更容易讓人理解的勻速圓周運(yùn)動(dòng)來模仿行星的運(yùn)動(dòng)，但從技術(shù)的角度，當(dāng)面對(duì)越來越精確的觀測(cè)數(shù)據(jù)的時(shí)候就會(huì)顯得太繁瑣。開普勒開始嘗試更多曲線來模仿行星的運(yùn)動(dòng)，而不僅僅是限于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這可以解釋為開普勒作為優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的思維傾向。

開普勒關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的第一個(gè)定律說：行星按橢圓軌道圍繞太陽運(yùn)動(dòng)，太陽在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。

這仍然是一種靜態(tài)的觀點(diǎn)，因?yàn)樗⒉簧婕翱炻?/p>

開普勒關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的第二個(gè)定律說：行星在離太陽最近的時(shí)候運(yùn)動(dòng)速度最快，離太陽最遠(yuǎn)的時(shí)候運(yùn)動(dòng)速度最慢。并且可以表示為一個(gè)比例關(guān)系：

$r v = R V$

這里$r$表示行星離太陽最近時(shí)候的距離，$v$表示此時(shí)行星運(yùn)動(dòng)的速度；而$R$表示行星離太陽最遠(yuǎn)時(shí)候的距離，$V$表示此時(shí)行星運(yùn)動(dòng)的速度。

這里有快慢，但仍然采取“合乎比例”這一靜態(tài)觀點(diǎn)下的語言（和杠桿定律采用的是相同的語言）。如果不看$v$，而看角動(dòng)量（定義為$J = r \times p$）的話，角動(dòng)量是不隨時(shí)間變化的。

開普勒關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的第三個(gè)定律說：行星做軌道運(yùn)動(dòng)半徑——嚴(yán)格說應(yīng)該是行星離太陽最近距離加行星離太陽最遠(yuǎn)距離之和的一半——的立方與行星做軌道運(yùn)動(dòng)周期的平方之比是個(gè)常數(shù)。

即：$\frac{R^3}{T2} $是個(gè)常數(shù)。

這其實(shí)也是在講運(yùn)動(dòng)要合乎比例，只是這個(gè)比例更復(fù)雜，涉及了立方和平方，但考慮到它對(duì)所有的行星都適用，這是個(gè)強(qiáng)大的、令人耳目一新的定律。

如此優(yōu)美普適比例關(guān)系的背后一定存在著個(gè)解釋，就好像畢達(dá)哥拉斯的“1：2：3：4”關(guān)系的背后是關(guān)于琴弦振動(dòng)的理論。

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開普勒定律的背后是牛頓的經(jīng)典力學(xué)。我們現(xiàn)在來勾勒其輪廓：

1.物體不受外力，物體將保持勻速直線運(yùn)動(dòng)或靜止?fàn)顟B(tài)。

2.物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變正比于物體所受的外力之和，反比于物體本身的質(zhì)量。

即：$F = ma$，物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變這里就是物體的加速度$a = \frac{d v}{d t}$

質(zhì)量被定義為物體維持物體原先運(yùn)動(dòng)狀態(tài)難易程度的量度。

3.兩個(gè)具有質(zhì)量的物體之間會(huì)有萬有引力，萬有引力正比于兩個(gè)物體質(zhì)量的乘積，同時(shí)反比于兩物體間距離的平方。

$F = \frac{G M m}{r^2}$

假設(shè)A、B兩個(gè)物體之間存在著引力相互作用，A給B多大的力，B就給A多大的力，只是方向反了。

仔細(xì)讀的話，這里有兩種定義質(zhì)量的方式，一種是通過運(yùn)動(dòng)定義的，物體保持原運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的難易程度，這個(gè)叫慣性質(zhì)量，另一種是通過引力定義的，叫做引力質(zhì)量。我們假設(shè)引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量是相同的，這里并沒有太多道理可講，或者看做是實(shí)驗(yàn)（比如落體實(shí)驗(yàn)）的結(jié)果，或者干脆講就是個(gè)假設(shè)，一個(gè)迄今不會(huì)給理論帶來麻煩的假設(shè)，不但不會(huì)帶來麻煩，還會(huì)帶來好處，比如它是研究廣義相對(duì)論的出發(fā)點(diǎn)。

牛頓的體系和古典的“天球音樂”模型相比差距很大。在牛頓的體系里力是核心概念，力驅(qū)動(dòng)行星運(yùn)動(dòng)，相比于太陽，行星很小，我們可進(jìn)一步把行星抽象為具有質(zhì)量的點(diǎn)，它在萬有引力的驅(qū)動(dòng)下沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)。我們要想了解行星的運(yùn)動(dòng)，需要發(fā)展求解微分方程的技巧，即如何求解

$F=ma$

這是一個(gè)關(guān)于位置$x$的二階微分方程，從數(shù)學(xué)的角度，這當(dāng)然要比列等式，加減乘除、乘方、開方要難。并且這里真正具有運(yùn)動(dòng)的概念了，或者說變化，時(shí)時(shí)刻刻的變化是個(gè)逃不掉的概念。

這甚至可以從對(duì)速度的定義看出：

$v = \frac{d x }{d t} = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}$

如果僅僅把速度定義為

$v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{ x(t_2) - x(t_1) }{ t_2 - t_1 }$

這還是一個(gè)靜態(tài)的圖像，即我們?cè)跁r(shí)刻$t_2$和時(shí)刻$t_1$各拍攝一張快照，分別凝神觀瞧，用尺子做測(cè)量，然后帶進(jìn)公式里計(jì)算。

我們?cè)趺凑f這個(gè)速度$v$才不過分？它不屬于$t_2$，也不屬于$t_1$，它是$t_1$到$t_2$之間的平均效果。

那我們還能說時(shí)刻$t$時(shí)的速度$v(t)$嗎？如果不能加速度$a$的定義就成了空中樓閣。在牛頓的體系里，速度必須對(duì)每一個(gè)點(diǎn)都有意義，但如果我們把眼光只聚焦在一點(diǎn)上是不可能有速度的，速度是變化，對(duì)一個(gè)點(diǎn)怎么能說變化呢？此時(shí)我們考慮的是一個(gè)點(diǎn)，但這一點(diǎn)的近鄰也必須考慮，否則就不會(huì)有變化，不會(huì)有速度。

記號(hào)：$\lim\limits_{\Delta t \to 0} \frac{ x(t + \Delta t) - x(t) }{\Delta t}$

表示的是一系列的操作，我們先測(cè)$\Delta t = 1$秒，然后0.1秒，0.01秒，0.001秒……

如此構(gòu)造出一個(gè)無窮的序列，就像我們?cè)?jīng)討論過的0，1，2，3……，這是一個(gè)用自然數(shù)標(biāo)記的序列，它是可數(shù)的（countable），但無限延伸，沒頭兒。從技術(shù)的角度，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)序列往往會(huì)很快收斂在某個(gè)穩(wěn)定值上，這個(gè)就叫極限，某時(shí)刻t的速度$v(t)$因此就有了定義，它是在極限下得到定義的，這個(gè)極限可能存在，可能不存在，但我們物理上只討論那些極限存在的情況。所謂微積分就是要發(fā)展出一套這么做的技巧，更重要的是邏輯體系，把它說嚴(yán)謹(jǐn)，用公理、定義和定律的體系。

現(xiàn)在我們就有了經(jīng)典力學(xué)。

經(jīng)典力學(xué)里就一條不太讓我們放心，這里面似乎只有引力，而引力是個(gè)太弱的力。兩個(gè)人面對(duì)面站著，吹口氣的力都比他們之間的引力大。

在我們的生活中，除重力外，其他力基本上都不是引力，比如彈簧的彈性回復(fù)力，比如我們倆親切地抱著的壓力，比如摩擦力……

這些力的來源是電磁相互作用。

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電現(xiàn)象、磁現(xiàn)象和光現(xiàn)象都是人類很早就發(fā)現(xiàn)并研究的現(xiàn)象。其規(guī)律被麥克斯韋總結(jié)成一組非常優(yōu)美也抽象的數(shù)學(xué)公式（麥克斯韋方程組）：

\begin{eqnarray}
\nabla \cdot E & = & \frac{\rho}{ \epsilon_0}\
\nabla \cdot B & = & 0 \
\nabla \times E & = & - \frac{\partial B}{\partial t} \
\nabla \times B & = & \mu_0 j + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t}
\end{eqnarray}

這里第一個(gè)式子說的事情和引力很類似，寫成力的形式：

$F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$

即兩個(gè)電荷之間的力與電量的乘積成正比，與兩個(gè)電荷之間距離的平方成反比。

這個(gè)結(jié)果和萬有引力幾乎是一模一樣的，有兩點(diǎn)不同：（1）我們這里討論的靜電力（也叫庫侖力）比引力要強(qiáng)的多；（2）有兩種電荷，相同電荷是斥力，而相異電荷是引力。

第二個(gè)式子說的是，在自然界中不存在磁單極子，但物理學(xué)家早就準(zhǔn)備好了一套磁單極子存在的理論了，只等哪天找到它，就在方程的右側(cè)加上一項(xiàng)。

第三個(gè)式子和第四個(gè)式子說的是變化的磁場(chǎng)也會(huì)感生電場(chǎng)，而變化的電場(chǎng)會(huì)感生磁場(chǎng)；前者是發(fā)電機(jī)的原理，而后者是電磁鐵的原理。它們?cè)谝黄鹂梢越忉岆姶挪ɑ蚬獠ǖ拇嬖凇?/p>

在電磁學(xué)的研究中，由于電磁相互作用太強(qiáng)了，力反而不是重點(diǎn)，重點(diǎn)是場(chǎng)，是電場(chǎng)和磁場(chǎng)在時(shí)空中的分布和傳播。比如對(duì)一個(gè)電的振子，能量會(huì)以電磁波的形式向外輻射，這是必須考慮的物理過程。而對(duì)引力，我們就根本不需要考慮引力波。

假設(shè)一個(gè)質(zhì)子和一個(gè)電子，相距$0.5 \times 10^{-10}$米，這個(gè)距離就是氫原子中電子和質(zhì)子的距離。我們可以先計(jì)算他們之間的電磁相互作用，代入計(jì)算得：$F_e = 8.25 \times 10^{-8}$，看起來很小，但要看和誰比。現(xiàn)在計(jì)算電子和質(zhì)子之間的萬有引力，還是這個(gè)間距，代入計(jì)算得：$3.63 \times 10^{-47}$，它們的比值是$2.27 \times 10^{39}$，即電磁相互作用要比引力大的多得多。引力對(duì)研究原子尺寸的物理問題是完全可以忽略不計(jì)的。

現(xiàn)在只考慮電磁相互作用，但問題是電磁場(chǎng)會(huì)向外外輻射電磁波，它損失能量的速度太快了。估算的結(jié)果是只需要$10^{-11}$秒數(shù)量級(jí)的時(shí)間電子就會(huì)掉到質(zhì)子上，即原子是不穩(wěn)定的。

這就是經(jīng)典理論應(yīng)用到原子現(xiàn)象時(shí)碰到的困難。

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一個(gè)成功的原子理論應(yīng)該能夠描述原子物理學(xué)中的典型現(xiàn)象，原子是穩(wěn)定的存在，這當(dāng)然是其中很重要的一個(gè)現(xiàn)象。但除此之外還有更獨(dú)特地屬于原子的現(xiàn)象——光譜現(xiàn)象。

光譜現(xiàn)象分為兩類，發(fā)射光譜和吸收光譜。

所謂發(fā)射光譜就是炙熱原子發(fā)射的光通過三棱鏡分光形成的譜分布，吸收光譜是當(dāng)熱光源發(fā)出的光通過冷原子氣體時(shí)，部分光被原子吸收后形成的譜分布。發(fā)射光譜和吸收光譜都是光強(qiáng)相對(duì)于波長(zhǎng)的分布，我們發(fā)現(xiàn)發(fā)射光譜中原子發(fā)出的特定波長(zhǎng)的光，在吸收光譜中也出現(xiàn)，只不過發(fā)射變成了吸收。

通俗地說原子就是一個(gè)愛戴戒指的人，但她只戴特定尺寸的戒指，戴膩了她就扔，扔掉的戒指的尺寸和她拿來戴的尺寸完全一樣。對(duì)這個(gè)現(xiàn)象的解釋倒也簡(jiǎn)單，因?yàn)樗?個(gè)手指，每個(gè)手指粗細(xì)不同，但都有確定的尺寸。

我們有理由猜測(cè)光譜與原子的本性有關(guān)，實(shí)驗(yàn)也確實(shí)支持我們的這種想法，每種原子都有不同的光譜，它們的譜線出現(xiàn)在不同波長(zhǎng)的位置上，就好像是指紋，人人不同，成為我們的標(biāo)識(shí)。

即便是對(duì)最簡(jiǎn)單原子的光譜，比如氫原子的光譜，乍看起來都是很復(fù)雜的，但感覺它們是有規(guī)律，或用老話講，看起來它們是合乎比例的，只是這個(gè)比例有待我們的發(fā)現(xiàn)。

就好像畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)和聲學(xué)里的1：2：3：4，原子物理早期的突破也來自于人們找到了一個(gè)簡(jiǎn)單、優(yōu)美的數(shù)學(xué)式子，這個(gè)式子解釋了氫原子光譜的譜線位置：

$\frac{1}{\lambda} = \frac{4}{B} \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$

這個(gè)是巴爾末公式，它解釋了氫原子光譜中最顯著的幾條線，很快被推廣為里德堡公式：

$\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n'^2} \right)$

這個(gè)公式就解釋了氫原子光譜中所有的譜線位置。

原子的穩(wěn)定性當(dāng)然是很重要的問題，或說仍然是很重要的問題。但現(xiàn)在首先要解釋為什么會(huì)有譜線的規(guī)律，這個(gè)簡(jiǎn)單的公式強(qiáng)烈地提示我們?cè)跉湓拥膯栴}里存在著更為簡(jiǎn)單清晰的概念體系和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

某種意義上說，我們從牛頓的經(jīng)典力學(xué)又重新退回了畢達(dá)哥拉斯的“天球的音樂”，而天球之所以只奏響這特定的音，是因?yàn)檎w的和諧，是形的制約，使天球只能發(fā)出特定音高的音。

氫原子就是個(gè)小天球，它只發(fā)射（或吸收）特定波長(zhǎng)的光，特定波長(zhǎng)的光就是特定頻率的光，它也是形制約的結(jié)果，形的制約就是幾何關(guān)系，好比兩端固定的弦就是一維振動(dòng)的形。現(xiàn)在我們需要發(fā)現(xiàn)的是氫原子的形。

這里有個(gè)概念需要澄清，我們說是說氫原子，但其實(shí)這里我們研究的是電子，因?yàn)橘|(zhì)子比電子質(zhì)量大太多了，質(zhì)子運(yùn)動(dòng)的速度比電子運(yùn)動(dòng)的速度要小很多，或者說質(zhì)子很難跟得上電子的運(yùn)動(dòng)，所以我們這里只需要研究電子的運(yùn)動(dòng)就可以了，而質(zhì)子則作為固定的背景考慮。

現(xiàn)在假設(shè)有一個(gè)畢達(dá)哥拉斯的信徒來研究原子中電子的運(yùn)動(dòng)，他會(huì)真么說呢？

首先電子仍然會(huì)受質(zhì)子的吸引，這個(gè)力是：

$F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{e^2}{ r^2 }$

假設(shè)電子處在某個(gè)半徑為$r$的正圓軌道上，電子的勢(shì)能是：

$V(r) = - \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{e^2}{ r }$

電子的動(dòng)能是：

$K = \frac{1}{8 \pi \epsilon_0} \frac{e^2}{ r }$

電子的總能量是：

$E = K + V = - \frac{1}{8 \pi \epsilon_0} \frac{e^2}{ r }$

電子只能在特定的軌道上運(yùn)動(dòng)，這就好像畢達(dá)哥拉斯派把宇宙想象為一把里拉琴，只允許能奏響整體和諧樂音的位置上可以放置天球，讓行星在天球上沿正圓軌道呼嘯而過，發(fā)出特定頻率的聲音，行星的速度越快，頻率也越高……

現(xiàn)在我們只需要把這幅圖像套用過來即可，電子也只能出現(xiàn)在特定半徑的軌道上，到底是哪些半徑允許，這是有標(biāo)準(zhǔn)的，類似于弦上駐波的整體和諧的標(biāo)準(zhǔn)。

但電子怎么能和波聯(lián)系起來呢？假如要聯(lián)系起來又應(yīng)該怎么聯(lián)系呢？

硬要往下講就是假想的歷史了。因?yàn)椴柎_實(shí)不是按這個(gè)思路思維的，而物質(zhì)波概念的提出又在玻爾之后，是受玻爾原子模型的啟發(fā)。

我們現(xiàn)在要求自己有如神助，假想一個(gè)能代表電子和諧運(yùn)動(dòng)的波沿著電子的軌道運(yùn)行，運(yùn)轉(zhuǎn)一圈正好是波長(zhǎng)的整數(shù)倍，首尾相接形成圓軌道上的駐波。

$2 \pi r = n \lambda$

我們又想到行星運(yùn)轉(zhuǎn)越快對(duì)應(yīng)發(fā)出的聲音就越高，頻率$\omega = 2 \pi /T$是時(shí)間上的調(diào)制，還有波矢$k = 2 \pi / \lambda$，反映的是空間上的調(diào)制。

假如我們讓電子運(yùn)行的速度乘以質(zhì)量（即動(dòng)量）正比于波矢$k$會(huì)有什么結(jié)果呢？

假設(shè)比例因子$\hbar$，這個(gè)比例因子是研究原子尺度物理問題必須出現(xiàn)的。

$p = m v = \hbar k = \hbar \frac{2 \pi }{\lambda}$

因此：$m v r = \hbar \frac{2 \pi r}{\lambda} = \hbar \frac{ n \lambda }{ \lambda} = n \hbar$

即：$mvr = n \hbar $

這就是我們猜測(cè)出的對(duì)氫原子而言，整體和諧的條件。

電子只能處在由$mvr=n \hbar$（在量子力學(xué)里叫角動(dòng)量量子化）規(guī)定的$r$上，$n = 1,2,3,...$，由這一系列$r_n$，我們可以得到一系列的能量$E_n$。

因?yàn)檎w和諧條件的限制，電子只能占據(jù)那一系列軌道，因此能量的取值也是一系列分立的取值，這一系列分立取值的電子能量就叫做能級(jí)。

電子離質(zhì)子越近，電子的能量越低，反之電子離質(zhì)子越遠(yuǎn)，電子的能量就越高。但記住，氫原子里只有一個(gè)電子，假設(shè)這一個(gè)電子處在比較高能量的軌道上，它可以向下躍遷，電子的能量將降低，多余的能量將以光子的形式放出，假設(shè)較高能級(jí)用$n'$標(biāo)記，較低能級(jí)用$n$標(biāo)記，我們就將得到里德堡公式。

原子的穩(wěn)定性還是問題嗎？在整體和諧的觀念下其實(shí)已經(jīng)沒有問題了。我們急需澄清的是那個(gè)與電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相聯(lián)系的波到底是什么？此刻——玻爾模型的出現(xiàn)——說明替代范式已經(jīng)出現(xiàn)，與其苦苦執(zhí)著于老范式，不如發(fā)展新范式，而在新范式下，很多老問題是沒有意義的，它們被更急迫的問題所替代。