?@黃敏? （2020年3月30日）
聽小鵝說(shuō)，上午在做一道關(guān)于烤箱溫度的題目，她把自個(gè)關(guān)在屋里折騰了半天，出來(lái)的時(shí)候頗有成就感，說(shuō)算出來(lái)了，是160。爸爸聽了反復(fù)追問她：“160度是什么單位？攝氏度還是華氏度？”她挺肯定地說(shuō)：“160華氏度。" 我喊她先來(lái)跳操，再幫我一起做飯。
備菜的時(shí)候，我隨口問她，知道攝氏度和華氏度換算的公式嗎？她說(shuō)知道，前兩天推導(dǎo)過，然后報(bào)出來(lái)給我聽，華氏度=攝氏度×9/5+32. 我其實(shí)沒怎么用過這個(gè)換算公式，只知道9/5的比例關(guān)系，至于是＋32，還是減32，記得并不確切。不過我從英語(yǔ)書上知道人發(fā)燒的時(shí)候，大概是100華氏度以上。就用35攝氏度來(lái)近似算一下，35×9/5+32=95，差不離，這就對(duì)了。所以，公式可能會(huì)背錯(cuò)，但記住幾個(gè)和生活相關(guān)的典型數(shù)值，不但能幫助我們找回公式，還讓公式變得有血有肉，而不是冷冰冰的數(shù)字。
依我看，小鵝爸的問題，設(shè)個(gè)未知數(shù)，代入公式，解方程不就完了？可是小鵝顯然還不夠清晰代數(shù)式、函數(shù)的意義，以及通過列方程求未知數(shù)的解題思路。于是我舉了個(gè)生活中簡(jiǎn)單的例子：”我如果再吃一個(gè)燒餅，就是爸爸的兩倍，你說(shuō)我們各吃了幾個(gè)燒餅?zāi)兀俊?/p>
“可能你們各吃了一個(gè)，也可能你吃了3個(gè)，爸爸吃了兩個(gè)。”
對(duì)于具體數(shù)量之間的關(guān)系，小鵝反應(yīng)得很快，可以一直列舉下去：“這一組都可以，只要你比爸爸吃的燒餅的兩倍少一個(gè)就行。”
“那如果知道爸爸吃了幾個(gè)，你能用一個(gè)公式來(lái)算出來(lái)媽媽吃了幾個(gè)嗎？”
“可以啊，y=2x-1。你是y，爸爸是x。”
我看小鵝講得很清楚，忍不住又給她總結(jié)一句：“所以代數(shù)式或者公式是表示變化關(guān)系的。”
（如果我隨口舉的例子是y=3x-1，我也許就可以類比前面的問題，我吃的燒餅是爸爸的兩倍，請(qǐng)問我跟各吃了幾個(gè)？當(dāng)然，這個(gè)數(shù)字太簡(jiǎn)單，她試一試也就出來(lái)了，可能還是沒法導(dǎo)向設(shè)未知數(shù)去列方程求解。）
于是我們回到攝氏度和華氏度換算的公式：華氏度=攝氏度×9/5+32，現(xiàn)在知道華氏度是攝氏度的兩倍，就是2x = 9/5x+32, 小鵝想把等式兩邊都除以2，可是沒法求解，她一邊摘豆角，一邊想象這個(gè)等式，試了一下就說(shuō)：”想象不出來(lái)，得寫在紙上看。“
于是我們約好吃完飯后，再和小鵝繼續(xù)討論。（非常感謝小鵝爸的大度和信任，把這個(gè)學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)讓給了我。）
午飯后，我靠著床頭，正準(zhǔn)備懶懶地看會(huì)書呢，小鵝洗完碗主動(dòng)來(lái)找我，我就過去看了看她之前的解答(圖中解答①) 。
她一開始列下的比例式我就沒看懂：
10×x + 18×x = 1:2，這是比例式嗎？我問她x是什么？她說(shuō)不是什么溫度，就是一個(gè)倍數(shù)。
我再次問她華氏度和攝氏度是什么關(guān)系？她說(shuō)9:5。我問：是剛好9:5嗎？她說(shuō)不是，還有個(gè)32，但二者比值就是9:5。我暈，看來(lái)“帶常數(shù)項(xiàng)” 的比例關(guān)系會(huì)造成認(rèn)知沖突（基線不同），就先按下不表。
【解法①】
不過下面的列表我倒是看明白了。她列舉了一組攝氏度對(duì)應(yīng)的華氏度，從攝氏20度開始，每增加10度，對(duì)應(yīng)的華氏度=1.8×攝氏度+32。套公式求具體數(shù)值沒問題了，她要找兩個(gè)溫度值之間的關(guān)系，就去算了二者的差，因?yàn)轭}目中華氏溫度是攝氏溫度的兩倍，她又算了一個(gè)所謂“兩倍差”——華氏溫度減去攝氏溫度的兩倍，這個(gè)名稱用得是否恰當(dāng)，且不說(shuō)。
接下來(lái)她發(fā)現(xiàn)攝氏溫度每升高10度，“兩倍差”的數(shù)值就減小2。什么時(shí)候兩倍差達(dá)到0，華氏溫度自然就是攝氏溫度的兩倍了。于是她寫了右邊的式子：50+22÷2×10 =160，就算出了160這個(gè)結(jié)果。
我很驚嘆于她踏踏實(shí)實(shí)去探究?jī)蓚€(gè)溫度變化的規(guī)律。說(shuō)實(shí)話，當(dāng)她把對(duì)應(yīng)的這些溫度值列下來(lái)，我對(duì)華氏溫度的理解，就不只是一個(gè)抽象的換算公式了。具體數(shù)字是看得見摸得著的，孩子在進(jìn)入代數(shù)之前，需要不斷去借助具體的數(shù)來(lái)感知數(shù)量關(guān)系。
只是我不明白她想得這么復(fù)雜了，怎么還把結(jié)果160硬塞到華氏度名下。我問她算的是哪一列結(jié)果，她看著×10，終于反應(yīng)過來(lái)，是第一列攝氏溫度的結(jié)果。再次說(shuō)明概念還沒清晰建立之前，容易想當(dāng)然，她需要回到具體數(shù)值才能有所感知和判斷。
反應(yīng)過來(lái)后，她很快又根據(jù)第二欄的數(shù)字，算了對(duì)應(yīng)的華氏溫度，果然是320，160的兩倍。
【解法②】
我們?cè)倩剡^頭來(lái)看她在列表的上方寫下的比例式，這回我看明白了，就問她：你寫的是不是10× x ：18× x = 1:2？她把比號(hào)寫成了＋，還渾然不覺。
于是我們?cè)倏催@個(gè)比例式成立嗎？她想表達(dá)的是攝氏溫度乘以10，華氏溫度對(duì)應(yīng)乘以18（比值1.8），什么時(shí)候二者是1:2? 可是這個(gè)比例式的左邊是10x:18x = 10:18(我寫成分?jǐn)?shù)給她看), 明顯比1/2大呀！問題出在哪里呢？
?我們回頭看左邊這兩列數(shù)據(jù)，覺得挺有意思：攝氏溫度和華氏溫度并不是1：1.8的關(guān)系，一開始接近1:3，隨著溫度升高，比值接近1:2，最后才趨于1:1.8, 這正是由于基線不同，除開一次項(xiàng)系數(shù)1.8，還附加了常數(shù)項(xiàng)的影響。（常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)這些概念我沒跟她講。）
在我的提醒下，小鵝終于想到了基線不同，把基線值加上后，寫了解法②。
【解法③】
最后她想起備菜的時(shí)候，我們?cè)倪^代數(shù)式/公式就是一個(gè)關(guān)系式: 把攝氏溫度設(shè)為x，對(duì)應(yīng)的華氏溫度就是2x，代入到單位換算公式里，通過解方程，求出攝氏溫度是160度。
三種方法，看起來(lái)解方程最便捷，但是往往用公式化的計(jì)算遮蓋了背后的數(shù)量變化規(guī)律。而現(xiàn)實(shí)生活中，函數(shù)關(guān)系式，要么是人為給定的，要么是通過數(shù)據(jù)分析近似總結(jié)的。既然小鵝對(duì)抽象的公式還有些犯迷糊，我們就不妨?xí)r常回到數(shù)據(jù)分析、找規(guī)律上。
經(jīng)由這個(gè)過程，我們對(duì)函數(shù)、對(duì)方程的理解是不是也會(huì)更深刻一些？
【后記】
到了晚飯的時(shí)候，爸爸開玩笑說(shuō)，明天要再給小鵝一道題——烤另外一種點(diǎn)心，所需溫度，用華氏度表示，是攝氏度的3倍，請(qǐng)問烤箱溫度要設(shè)成幾度？
小鵝剛聽了個(gè)開頭，知道爸爸又要出題，”聞弦歌而知雅意“，就開始和爸爸插科打諢，把話題扯到了誰(shuí)要做點(diǎn)心給誰(shuí)吃。我接過話頭，夸張地哀嘆說(shuō)：”華氏度是攝氏度的3倍！這點(diǎn)心會(huì)不會(huì)烤糊了？“
小鵝見我質(zhì)疑題目編得不合理，來(lái)了點(diǎn)興趣，安靜下來(lái)想。我回想起她畫的表格，以及中午的討論，又覺得不對(duì)：”哎呀，會(huì)不會(huì)烤不熟？“
她瞥眼看我，酷酷地說(shuō)：“裝傻是不是老師的必備技能？”
