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$\mathrm{\mathbf{I.}}$ 定義

剛體（rigid body），是指在完整約束作用下，內部任意成對質點在運動過程中間距始終保持常數的質點組。

$\bullet$ 剛體是一種理想模型。

$\bullet$ 剛體的旋轉運動是剛體運動學的核心內容，它為關于矢量的時間變化率在慣性參考系與旋轉參考系之間關系的研究做了鋪墊。

$\mathrm{\mathbf{I\!I.}}$ 剛體的自由度

在三維空間中，一個由 $N$ 質點表示的剛體最多可以擁有 $3N$ 個自由度。在很多時候，由于約束方程的存在，剛體實際的自由度是小于 $3N$ 的。

正如定義里提到，剛體內部的約束通常都是完整的，它們具有形式：

$r_{ij} = c_{ij}\quad (i \neq j)$

其中兩個下指標 $i$ 和 $j$ 分別表示第 $i$ 個質點和第 $j$ 個質點。 $c_{ij}$ 則表示一個固定常數，對于不同的指標（不同的質點對），該常數可能改變，但并不與剛體的定義沖突，因為我們所定義的“常數”通常是指那些不會隨時間變化的量。

由于 $r_{ij} = r_{ji} = c_{ij}$ ，不難得出，形如上述的方程該一共有 $\frac{1} {2}N(N-1)$ 個。

按照慣性思維，若系統存在約束， $3N$ 坐標間則存在依賴關系，那么獨立坐標的個數該是 $3N$ 減去約束方程的個數，所以對于剛體，該有

$3N - \frac{1} {2}N(N-1)$

這個看似正確的推論其實是錯誤的。因為當 $N>\!> 1$ 時，它會變成一個負數，很明顯不滿足。

原因在于，這 $\frac{1} {2}N(N-1)$ 個約束條件并非全是獨立的，它們中的很多其實都是多余的，所以找出一個能夠將多余約束條件消去的關系就成了找出剛體獨立坐標個數的關鍵。

剛體內部不共線的三點與第四點的關系

如圖，假設非共線的三質點 $1,2,3$ 的間距 $r_{12}$ ， $r_{13}$ 和 $r_{23}$ 均已知，接下來只要再知道第四點 $i$ 分別與前三點的間距，四點所構成的三棱錐每條邊都將是已知量，那么之后便可根據基本幾何原理，唯一地確定點 $i$ 的位置。由于 $i$ 是任意的，所以只要知道剛體內非共線三點的間距，便能夠唯一確定其它任意點的位置。

這樣一來， $N$ 個質點其實只需要 $3$ 個，所以剛體的實際自由度該不得超過 $3 \cdot 3$ ，也就是 $9$ 。

而這三個非共線質點的位置是相互依賴的，有約束方程

$r_{12} = c_{12};\quad r_{23} = c_{23};\quad r_{13} = c_{13}$

于是這三個方程又將剛體的自由度進一步地減少為了 $6$

所以確定剛體內一個質點的位置所需要用到的坐標數該是 $6$ 。

無論一個剛體由多少個質點構成，只需要 $6$ 個坐標便可以完全確定其位形。

$\bullet$ 同樣的結論也可通過單純地考慮“非共線三點即可確定剛體內其它所有質點位置”得到：

在三維空間想要確定任意一個點，需要 $3$ 個坐標沒有異議。但如果這時加入第二個點，由于兩點間存在剛體的約束條件，它們的間距必須是個定值，所以點二只有可能在一個以點一為中心的球面上運動，進而需要 $2$ 個坐標。最后，一旦兩個點都已確定，第三個點就只能繞著一條貫穿之前兩點的軸轉動，故只需要 $1$ 個坐標。所以總的坐標個數： $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ 。

$\bullet$ 當系統存在除剛體的剛性約束以外的其它約束條件時，剛體自由度還將會被進一步減少。

$\mathrm{\mathbf{I\!I\!I.}}$ 獨立坐標的分配

如圖，剛體的位置可由一個建立在其內部，相對外界參考系 $S$ 的 $S^{\prime}$ 參考系完全確定。

有時候，我們也將位于剛體內部的 $S^{\prime}$ 參考系稱為局部參考系，將位于外部的 $S$ 參考系稱為全局參考系。通常，全局參考系是不會動的。

所以確定 $S^{\prime}$ 與 $S$ 的相對位置，需要用到 $3$ 個坐標；又因為剛體自身的幾何位置，剩下的 $3$ 個坐標則需用來確定參考系 $S^{\prime}$ 與 $S$ 之間的相對方向。

$\mathrm{\mathbf{I\!V.}}$ 相對方向的確定

$\bullet$ 參考系 $S^{\prime}$ 和 $S$ 的相對方向最有效的一種表示法是使用這兩組不同坐標系的坐標軸之間的方向余弦(direction cosine)。

$\bullet$ 在解析幾何中，一個矢量的三個方向余弦是該矢量與三條坐標軸之間角度的余弦。兩個矢量的方向余弦則是這兩個矢量夾角的余弦。

將 $S$ 平移使得兩個坐標系原點重合。根據方向余弦的定義，由于基矢量均是單位長度

$\cos \theta_{11} = \cos \langle\mathbf{i}^{\prime}, \mathbf{i}\rangle = \mathbf{i}^{\prime} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{i} = \mathbf{i} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{i}^{\prime}$

$\cos \theta_{12} = \cos \langle\mathbf{i}^{\prime}, \mathbf{j}\rangle = \mathbf{i}^{\prime} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{j} = \mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{i}^{\prime}$

$\cos \theta_{21} = \cos \langle\mathbf{j}^{\prime}, \mathbf{i}\rangle = \mathbf{j}^{\prime} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{i} = \mathbf{i} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{j}^{\prime}$

$\cos \theta_{22} = \cos \langle\mathbf{j}^{\prime}, \mathbf{j}\rangle = \mathbf{j}^{\prime} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{j} = \mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{j}^{\prime}$

$...$

其中，夾角 $\theta_{ij}$ 的第一個下指標對應 $S^{\prime}$ 參考系的基矢量，第二個下指標對應了 $S$ 參考系的基矢量。

$\bullet$ 方向余弦可被用來表示這兩組基矢量之間的關系。

設基 $E = \left\{ \mathbf{i}, \mathbf{j},\mathbf{k}\right\}$ 張成的空間為 $V$ ，基 $E^{\prime} = \left\{ \mathbf{i}^{\prime}, \mathbf{j}^{\prime},\mathbf{k}^{\prime} \right\}$ 張成的空間為 $W$ 。根據投影公式，有

$\mathbf{i}^{\prime} = \mathrm{proj}_{E}\mathbf{i}^{\prime} = (\mathbf{i}^{\prime}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{i})\mathbf{i} + (\mathbf{i}^{\prime}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{j})\mathbf{j} + (\mathbf{i}^{\prime}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{k})\mathbf{k} = \cos\theta_{11} \mathbf{i} + \cos\theta_{12}\mathbf{j} + \cos\theta_{13}\mathbf{k}$

$\mathbf{j}^{\prime} = \mathrm{proj}_{E}\mathbf{j}^{\prime} = (\mathbf{j}^{\prime}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{i})\mathbf{i} + (\mathbf{j}^{\prime}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{j})\mathbf{j} + (\mathbf{j}^{\prime}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{k})\mathbf{k} = \cos\theta_{21} \mathbf{i} + \cos\theta_{22}\mathbf{j} + \cos\theta_{23}\mathbf{k}$

$\mathbf{k}^{\prime} = \mathrm{proj}_{E}\mathbf{k}^{\prime} = (\mathbf{k}^{\prime}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{i})\mathbf{i} + (\mathbf{k}^{\prime}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{j})\mathbf{j} + (\mathbf{k}^{\prime}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{k})\mathbf{k} = \cos\theta_{31} \mathbf{i} + \cos\theta_{32}\mathbf{j} + \cos\theta_{33}\mathbf{k}$

同理，可以得到一組相反關系

$\mathbf{i} = \mathrm{proj}_{E^{\prime}}\mathbf{i} = (\mathbf{i} \boldsymbol {\cdot} \mathbf{i}^{\prime})\mathbf{i}^{\prime} + (\mathbf{i} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{j}^{\prime})\mathbf{j}^{\prime} + (\mathbf{i}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{k}^{\prime})\mathbf{k}^{\prime} = \cos\theta_{11} \mathbf{i}^{\prime} + \cos\theta_{21}\mathbf{j}^{\prime} + \cos\theta_{31}\mathbf{k}^{\prime}$

$\mathbf{j} = \mathrm{proj}_{E^{\prime}}\mathbf{j} = (\mathbf{j} \boldsymbol {\cdot} \mathbf{i}^{\prime})\mathbf{i}^{\prime} + (\mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{j}^{\prime})\mathbf{j}^{\prime} + (\mathbf{j}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{k}^{\prime})\mathbf{k}^{\prime} = \cos\theta_{12} \mathbf{i}^{\prime} + \cos\theta_{22}\mathbf{j}^{\prime} + \cos\theta_{32}\mathbf{k}^{\prime}$

$\mathbf{k} = \mathrm{proj}_{E^{\prime}}\mathbf{k} = (\mathbf{k} \boldsymbol {\cdot} \mathbf{i}^{\prime})\mathbf{i}^{\prime} + (\mathbf{k} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{j}^{\prime})\mathbf{j}^{\prime} + (\mathbf{k}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{k}^{\prime})\mathbf{k}^{\prime} = \cos\theta_{13} \mathbf{i}^{\prime} + \cos\theta_{23}\mathbf{j}^{\prime} + \cos\theta_{33}\mathbf{k}^{\prime}$

$\bullet$ 方向余弦同樣可被直接用來表示某點在這兩組參考系的坐標之間的關系。

對于任意矢量 $\mathbf{G}$ ，有

$\mathbf{G} = G_x \mathbf{i} + G_y \mathbf{j} + G_z \mathbf{k} = G_{x^{\prime}}\mathbf{i}^{\prime} + G_{y^{\prime}}\mathbf{j}^{\prime} + G_{z^{\prime}}\mathbf{k}^{\prime}$

于是

$G_{x^{\prime}} = \mathbf{G} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{i}^{\prime} = (G_x \mathbf{i} + G_y \mathbf{j} + G_z \mathbf{k}) \boldsymbol{\cdot} \mathbf{i}^{\prime} = \cos\theta_{11}G_x + \cos\theta_{12}G_y + \cos\theta_{13}G_z$

$...$

或者相反關系

$G_x = \mathbf{G} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{i} = (G_{x^{\prime}}\mathbf{i}^{\prime} + G_{y^{\prime}}\mathbf{j}^{\prime} + G_{z^{\prime}}\mathbf{k}^{\prime}) \boldsymbol{\cdot} \mathbf{i} = \cos\theta_{11}G_{x^{\prime}} + \cos\theta_{21}G_{y^{\prime}} + \cos\theta_{31}G_{z^{\prime}}$

$...$

可見，如果固定剛體內部的 $S^{\prime}$ 參考系，在剛體的運動中，這 $9$ 個方向余弦將會是剛體方向隨時間變化的函數。每一個方向余弦都描述了剛體在空間中某一時刻相對于另一個原點重合的參考系的瞬時方向。由于我們僅需要 $3$ 個方向坐標便可完全確定剛體的方向，所以這 $9$ 個方向余弦并非全部都是獨立的。

$\bullet$ 為消去多余的方向余弦，需找出方向余弦之間的關系。

由于兩組基矢量均為標準正交，有

$\mathbf{i} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{j} = \mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{k} = \mathbf{k} \boldsymbol{\cdot}\mathbf{i} = 0$

$\mathbf{i} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{i} = \mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{j} = \mathbf{k} \boldsymbol{\cdot}\mathbf{k} = 1$

另一組基矢量間也具有相同的關系

$\mathbf{i}^{\prime} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{j}^{\prime} = \mathbf{j}^{\prime} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{k}^{\prime} = \mathbf{k}^{\prime} \boldsymbol{\cdot}\mathbf{i}^{\prime} = 0$

$\mathbf{i}^{\prime} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{i}^{\prime} = \mathbf{j}^{\prime} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{j}^{\prime} = \mathbf{k}^{\prime} \boldsymbol{\cdot}\mathbf{k}^{\prime} = 1$

用 $\mathbf{e}_l$ 表示 $S$ 參考系的基矢量（ $\mathbf{e}_1 = \mathbf{i}$ ， $\mathbf{e}_2 = \mathbf{j}$ ， $\mathbf{e}_3 = \mathbf{k}$ ），用 $\mathbf{e}^{\prime}_l$ 表示 $S^{\prime}$ 參考系的基矢量（ $\mathbf{e}^{\prime}_1 = \mathbf{i}^{\prime}$ ， $\mathbf{e}^{\prime}_2 = \mathbf{j}^{\prime}$ ， $\mathbf{e}^{\prime}_3 = \mathbf{k}^{\prime}$ ），可將之前得到的兩組基矢量之間的關系寫成更為緊湊的形式

$\mathbf{i} = \cos\theta_{11}\mathbf{i}^{\prime} + \cos\theta_{21}\mathbf{j}^{\prime} + \cos\theta_{31}\mathbf{k}^{\prime} = \sum_{l=1}^3 \cos\theta_{l1}\mathbf{e}^{\prime}_l$

同理

$\mathbf{j} = \sum_{l=1}^3 \cos\theta_{l2}\mathbf{e}^{\prime}_l$

$\mathbf{k} = \sum_{l=1}^3 \cos\theta_{l3}\mathbf{e}^{\prime}_l$

將上面三個方程合并

$\mathbf{e}_m = \sum_{l=1}^3 \cos\theta_{lm}\mathbf{e}_l^{\prime} \quad (m = 1,2,3)$

求基矢量長度的平方

$\mathbf{e}_m \boldsymbol{\cdot} \mathbf{e}_{m^{\prime}} = \sum_{n=1}^3\sum_{l=1}^3\cos\theta_{nm^{\prime}}\cos\theta_{lm} \delta_{nl} = \sum_{l=1}^3 \cos\theta_{lm^{\prime}}\cos\theta_{lm}$

又根據基矢量之間標準正交的特性，有

$\mathbf{e}_m \boldsymbol{\cdot} \mathbf{e}_{m^{\prime}} = \delta_{mm^{\prime}}$

結果是一個二階張量，或者 $m \times m^{\prime}$ 的單位矩陣。它與克羅內克符號（Kronecker delta）有相似特點，即

$\delta_{mm^{\prime}} = \begin{cases}1 \quad m = m^{\prime};\\ 0 \quad m \neq m^{\prime} \end{cases}$

可以得到關系

$\delta_{mm^{\prime}} = \sum_{l=1}^3\cos\theta_{lm^{\prime}}\cos\theta_{lm}$

于是，

（1）當 $m = m^{\prime}$ 時， $\delta_{mm^{\prime}} = 1$ ，

$\sum_{l=1}^3 \cos^2\theta_{lm} = 1$

$m$ 為活指標，該等式表示了 $3$ 個方程。

（2）當 $m \neq m^{\prime}$ 時， $\delta_{mm^{\prime}} = 0$ ，

$\sum_{l=1}^3 \cos\theta_{lm^{\prime}}\cos\theta_{lm} = 0$

$m, m^{\prime}$ 均為活指標，該等式表示了 $\frac{3 \cdot 2} {2} = 3$ 個方程。

所以等式總共表示了 $3 + 3 = 6$ 個方程，這六個方程組成了 $6$ 個約束條件，可以被用來消去多余方向余弦。

所以，實際獨立的方向余弦個數為 $9 - 6 = 3$ ，即，我們只需要 $3$ 個獨立方向坐標，即可完全確定剛體的方向。

$\bullet$ 需要注意的是，在微分幾何中， $\delta_{mm^{\prime}}$ 本身嚴格意義上來講并非克羅內克符號 $\delta _j^i$ ，但它與克羅內克符號的關系可通過調整上下指標來得到

$\delta_m^n g_{m^{\prime}n} = \delta_{mm^{\prime}}$

其中 $g_{m^{\prime}n}$ 是協變度規張量。

可見，只有對于標準正交基（比如笛卡爾坐標系），二者才相等。這也是許多教材對這兩者不做區分的原因。