Area of a Surface of Revolution 旋轉曲面的面積
先看一下簡單物體的面積：
circular cylinder圓柱的側面表面積：
可以直觀得到：
而對應的circular cone圓錐：
我們可以得到對應的角弧度為：
最后，可以得到側面積為：
而這樣的圖像：
我們可以知道是 大圓錐 - 小圓錐：
由相似可得：
最后化簡得：
【圓錐可以理解為： 上面半徑為 0 的 組合體】
我們設 r = (r1 + r2) / 2， 可以得：
我們對比 圓柱體， 組合圓錐體
我們可以理解 對應平均半徑 的一個 帶 的面積
這個時候，如果我們切分成很多細小的部分：
對應的面積可以表示為：
上一節， 我們證明過，對應的弧線的長，有：
這個時候，面積可以表示為：
所以，對應的側面積和為：
當 n -> ∞的是i好， 由黎曼求和 可以得到
所以
對應的面積為：
萊布尼茲積分寫法為：
或者，我們按y去積分，可以寫為：
如果我們表示 ds 為：
我們分別可以表示為：
或者
例子1
我們知道是一個圓的一段弧長，圍繞x軸旋轉360度得到的表面積。
根據上面的公式
先對x求導，得到：
帶入式子，得：
例子2
這個拋物線，這段弧長，圍繞y軸旋轉得到的表面積。
先對x求導，可以得到：
帶入公式，可以得到：
我們設
可以得到：
原式可以變成（對應的范圍變化就不標注了）：
