看到一道研究生入學題，有點意思，就試著玩了一下。
題目：
A,B,C…,I代表整數(shù)1-9（不一定按照順序，但不重復），滿足如下等式：
A+B+C+D = 20
B+C+D+E+F =20
D+E+F+G+H = 20
F+G+H+I = 20
請給出滿足上面約束的A-I的值一共有多少種不同的可能結(jié)果，并寫明過程。
解題過程中走了一些彎路，還好時間足夠，能夠搞得定了。
解法1:
首先我們需要注意到方程的一些性質(zhì)。
1.B+C,G+H總是一起出現(xiàn)的，具有互相替換性，所以一種情況總是推出可交換的2*2=4種。
(比如B=b1,C=c1滿足條件，那么交換后B=c1,C=b1肯定也滿足的)
2. A-I實質(zhì)上是在方程中的分布是對稱的，如A=a1,B=b1,....I=i1滿足條件的話，那么A=i1,B=h1,...I=a1也是滿足的。
有了上面兩個規(guī)律就可以減少許多工作量了。
同時我們可以得出一些等式：
B+C+D=20-A
F+G+H=20-I
E+F=A
E+D=I
可以論證這4個等式和題目的給定條件是等價的，并且更容易發(fā)現(xiàn)A~I的對稱性。
并且我們能得出重要的第五個等式
5.B+C=G+H
我們將以9這個數(shù)字為出發(fā)點來考察題目。
情況1:
如果9是B,C,D,E,F中的某個數(shù)，則設想為1+2+3+4+9=19可以得到B,C,D,E,F必是1,2,3,5,9的組合。
否則必然出現(xiàn)B+C+D+E+F>20的情況，與題設矛盾。
因此可以得到A,G,H,I是剩下4個數(shù)4,6,7,8的組合.這4個數(shù)最小的是4,6.
G+H=B+C>=10
則等式5有以下可能性:1+9=4+6,2+9=4+7,5+9=6+8.3+9=4+8
以上3種可能性分別考察.
可能1:B,C為1，9組合;則G，H為4，6組合;D,E,F為2，3，5的組合;A,I為7，8組合。
若A=8,I=7,則由等式1推出D=2,繼續(xù)由等式4推出E=5,F=3.
這樣我們得到了第一組結(jié)果：(注：由于性質(zhì)1，每組結(jié)果實質(zhì)對應4種最終情況，后面不再說明)
A=8,B=1,C=9,D=2,E=5,F=3,G=4,H=6,I=7
若A=7,I=8,則由等式1推出D=3,繼續(xù)由等式4推出E=5,F=2.
這樣得到第二組結(jié)果:
A=7,B=1,C=9,D=3,E=5,F=2,G=4,H=6,I=7
可能2:B,C 為2，9組合，G，H為4,7 組合，D,E,F為1,3,5組合，A,I為6，8組合。
若A=8,I=6,則由等式1推出D=1,繼續(xù)由等式4推出E=5,F=3.
這樣得到第三組結(jié)果:
A=8,B=2,C=9,D=1,E=5,F=3,G=4,H=7,I=6
若A=6,I=8,則由等式1推出D=3,繼續(xù)由等式4推出E=5,F=1.
這樣得到第四組結(jié)果 ：
A=6,B=2,C=9,D=3,E=5,F=1,G=4,H=7,I=8
可能3:B,C為5，9組合，則G，H為6，8組合，D,E,F為1，2，3組合，A，I為4，7組合。
若A=7,I=4,則B+C+A=5+9+7=21>20,矛盾。
若A=4,I=7，則由等式1推出D=2,繼續(xù)由等式4推出E=5,與E為1，2，3之一矛盾，因此舍棄。
可能4:B,C為3，9組合，G,H為4,8組合，D,E,F為1,2,5組合，A,I為6，7組合.
若A=6,I=7,則由等式1推出D=2,繼續(xù)由等式4推出E=5,F=1.
這樣得到第五組結(jié)果:
A=6,B=3,C=9,D=2,E=5,F=1,G=4,H=8,I=7
若A=7,i=6,則有等式1推出D=1,繼續(xù)由等式4推出E=5,F=2.
這樣得到第6組結(jié)果：
A=7,B=3,C=9,D=1,E=5,F=2,G=4,H=8,I=6.
情況2:如果9是G和H中的某個數(shù)，由性質(zhì)2顯然可以得到對應的6組結(jié)果。
情況3:如果9是A，即A=9.
則上面的等式可進一步化為
6.B+C+D=11
7.E+F=9
8.D+G+H=11
9.D+E=I
顯然B+C=G+H,滿足這一等式最小的4個數(shù)字為1,4,2,3.所以B+C>=5,D<=6.
令S=B+C+D+E+F+G+H+I,由于B~I為1～8的組合，可得：S=36.
另一方面,由等式6,7,8,9得到
S=11-D+D+9+11-D+D+E=31+E,得到E=5.F=4.
得到D+5=I. D<=3.
若D=1,則I=6,B,C,G,H為2，3，7，8的組合。得到兩組結(jié)果:
A=9,B=2,C=8,D=1,E=5,F=4,G=7,H=3,I=6
A=9,B=3,C=7,D=1,E=5,F=4,G=2,H=8,I=6
若D=2,則I=7,B,C,G,H為1，3，6，8的組合。得到兩組結(jié)果：
A=9,B=1,C=8,D=2,E=5,F=4,G=3,H=6,I=7
A=9,B=3,C=6,D=2,E=5,F=4,G=1,H=8,I=7
若D=3,則I=6,B,C,G,H為1,2,7,8的組合。得到兩組結(jié)果：
A=9,B=1,C=8,D=3,E=5,F=4,G=2,H=7,I=6
A=9,B=2,C=7,D=3,E=5,F=4,G=1,H=8,I=6
這種情況共6個結(jié)果。
情況4:若I=9,由性質(zhì)2同樣得到6組結(jié)果。
一共有(6+6+6+6)*4 = 96種可能情況.
后來想到總是得出E=5這個結(jié)果，顯然我在論證中出現(xiàn)了較大偏差，于是反思后得到下面的解法。
解法2:
首先我們需要得到E=5這個最重要的結(jié)果。
令S=A+B+C+D+E+F+G+H+I
則S=45,減去方程1和方程4得E=5.
則原方程化為：
1.A+B+C+D=20
2.B+C+D+F=15
3.D+F+G+H=15
4.F+G+H+I=20
這樣容易得到三個推導式:
5.A-F=5
6.I-D=5
7.B+C=G+H
1-9中滿足差為5的組合有4種:6-1,7-2,8-3,9-4
下面我們將論證只要隨意從上面4組中取兩組作為A-F,I-D的值，而剩下4個數(shù)滿足B+C=G+H即可得到一種情況.
顯然取值之后A+D=I+F
B+C=G+H
則A+B+C+D=I+F+G+H
而上式左右和為40，顯然證明了方程1成立，很容易證明方程2，3，4均成立。
A-F,I-D的值有4*3=12種。
剩下4個數(shù)化為B,C,G,H有8種。
所以最后總共有 12*8=96種情況。
最后的最后，我覺得我腦子越來越不好使了，不過多點耐心還能用罷了。
