一.仿射變換
1.模型變換
2.視圖變換
理解變換表達成矩陣:
1.左邊一張圖,圖上任一點都可以表達成[x,y]的兩行一列矩陣
2.左邊的圖經過變換得到右邊的圖,圖中任一點都是經過了同樣的變換過程,也就是x'和x,y'和y有一個確定的關系
3.這個關系就可以表達成一個矩陣,叫做變換矩陣,這個矩陣乘上原始的點[x,y]就能得到變換后的[x',y']
上面兩張圖是縮放變換:可以寫成一個點矩陣乘上一個變換矩陣,這個[s00s]也叫做縮放矩陣
仍然可以寫成矩陣相乘,只不過s有兩個值
翻轉矩陣
剪切變換:y沒變,x增加了y*a,可以表達成矩陣
切變矩陣
旋轉矩陣
1.根據上面的幾種變換,變換后的矩陣的能與變換矩陣乘上原來的矩陣,也就是要推導中間的矩陣,求ABCD
2.找一個特殊的點(1.0),再根據圖中,旋轉之后,(1,0)變成了(1cosα,1sinα),也就是(cosα,,sinα),于是就有了最下面的矩陣等式
3.然后根據矩陣乘法得到右邊的等式,得到A是cosα,C是sinα
4.同理根據(0,1)得到B和D是-sinα和cosα.
這種變換叫做線性變換
1.平移變換無法寫成上面線性變換的形式
2.因此通過再增加一項[tx,ty],就可以表達平移
二.齊次坐標
1.引入了一個新的值,當表示二維點時,增加一個1,當表示二維向量時,增加一個0.
2.增加了一個1之后,變換矩陣表達如上面所示,可以表達出平移的變化了
3.之所以表達向量用0,是因為這樣的話,變換之后的矩陣不會變,這對應了向量平移方向不變的特性
1.向量+向量=向量,(x1,y,1,0)+(x2,y2,0)
2.點-點 = 向量,坐標中從一個點指向另一個點的向量(x1,y,1,1)-(x2,y2,1)
3.點+向量(x1,y,1,1)-(x2,y2,0),點沿著向量移動
4.點加點得到兩點之間的中點,上圖最下面的表達式,把表達點的1換成w,(x,y,1)換成(x/w,y/w,1),這樣的話(1,1,1,)+(3,3,1)=(2,2,1)
1.綜合線性變換和平移變換,可以叫做仿射變換
2.放射變換引入齊次坐標就可以把各種情況都寫成兩個矩陣的乘
1.圖中上下都是變換2次.但是順序不同,結果也不同,變換用矩陣表達就是乘上一個矩陣,不同的結果正好符合了矩陣乘法不遵循交換律這一點
1.變換時,矩陣的應用是從右到左的,圖中,最左邊是原來的點,等式左邊表示的是兩次變換的結果,但是其實步驟是先右后左,是先旋轉,再平移,等式右邊先從右邊開始算
2.不過矩陣乘法遵守結合律,因此是可以先把左邊所有的操作全部先算好,得到一個矩陣,無論變換的過程多復雜.這個矩陣都能表達,最后拿原來的點去乘上這個矩陣,也可以得到最終結果
1.圖中的問題是以點(c,c)為原點旋轉,直接旋轉行不通的
2.這里先平移變換,x和y都減去c,然后旋轉,最后再平移回去,這樣就可以全部對應幾種仿射變換
三維的情況是4x4的矩陣:
1.同樣最右邊的tx,ty,tz表示平移,左邊的a到i表示線性變換
2.齊次坐標表達式是先應用線性變換,再平移
描述了旋轉θ和-θ的旋轉矩陣:
1.旋轉矩陣的逆等于旋轉矩陣的轉置
三.三維變換
1.統稱viewing transformation
2.分為視圖和投影兩種
3.投影有兩種不同的投影,正交和透視
三維的縮放和平移與二維完全一致,只是多一個行列
三維的旋轉比較復雜,這里是三種特殊情況:
1.分別是繞三個軸旋轉,
2.圍繞x軸旋轉時,x是不變的,因此第一行和第一列都是(1,0,0);后面的(cosα,sinα,cosα,-sinα)對應了y和z軸上的變化
3.繞z軸旋轉與繞x軸旋轉類似
4.但是繞y軸旋轉的矩陣中,左下角是-sinα,右上角是+sinα,與x和z矩陣相反,這是因為向量X 叉乘 向量Z只能得到反向的Y,必須是向量Z 叉乘 向量X才能得到向量Y,這里回憶一下向量叉乘
1.roll,調頭旋轉
2.yaw,傾斜旋轉
3.pitch,仰角旋轉
4.二維的旋轉,是繞某一點為圓心的旋轉,在三維中,則是繞一條線為軸進行旋轉,計算時,二維以坐標軸原點為圓心,三維下則軸過原點,如果不過原點.就做分解,先平移再旋轉,最后再平移回去
模型視圖投影變換,MVP變換:
1.場景模型
2.角度視圖
3.獲得投影
如何理解:
1.當要把三維的場景變成一張二維的圖片的時候,可以理解為相機拍照,相機與三維場景之間存在于坐標系中,為了方便研究,將整個系統連帶相機與三維場景整個進行變換,變換的結果是相機處在原點,相機與三維場景是相對靜止的,當相機變了,三維場景自然也就變了,并且整個系統都滿足一個變換矩陣,得到相機那個點的變換,就可以應用到整個系統中.
2.把相機定義在原點,向上是Y,往-Z的方向拍攝(這里X叉乘Y是Z,-Z沒有問題)
1.讓相機處在原點.并且相機的三個軸(這三個軸確定了相機的拍攝角度,也就是mvp中的v)旋轉到與X,Y,Z軸重合,于是整個系統被平移和旋轉.
1.先做平移(右邊的矩陣)再做線性變換
2.如寫相機的旋轉:這里采用的是逆變換(左下角矩陣),也就是把原點變換到相機所在位置的變換矩陣,然后根據旋轉矩陣的轉置就等于其逆變換的原理,就得到了相機的變換矩陣(右下角矩陣)
1.正交投影和透視投影
2.透視投影有透視效果,力立方體的邊會交于一點,正交投影沒有透視效果,立方體的邊是完全平行的
3.投影的延伸匯集于一點形成錐形,稱為視椎
正交投影:
1.定義一個矩陣
2.平移到原點,因為是移到(0,0,0)所以平移矩陣的第三列是負的
3.縮放到[-1,1],-1到1長度是2,所以縮放倍率是2/邊長
推導透視投影
1.前面說到,表示一個點可以寫成(x,y,z,1),在統一模型時,寫成(x/w,y/w,z/w,w),事實上寫成(xz,yz,z*z,z)也沒有問題,表示的是同一個點,也就是說圖中的(1,0,0,1)和(2,0,0,2)兩個都是指點(1,0,0)
1.將左圖中的遠平面縮放成和近平面一樣,然后做一次正交投影,合起來就是透視投影了
2.這其中:左邊是相機,近平面的四個點不會變化,因此遠平面到相機的距離,也就是的z值不會變,遠平面的中心點不會變化
3.注意這不是變換某個點,也不是變換某個面,是這個立體都在變換,變換之后就成一個長方體了,也就是說這個立體上的任何一點都滿足變換公式,現在就要推導出這個公式
1.左邊是相機原點,Y是上,朝-Z方向看,把圖像的中心軸放在z軸上,這樣呈現出一個圖像最終匯集在原點上的效果
2.不難得出一個相似三角形關系,得到y'=(n/z)y,z不變,x同樣也滿足x'=(n/z)x
1.通過第一步的分析,得到擠壓后的點((n/z)x,(n/z)y,unknown,1),再根據前面點的表示那張圖,進行變換,得到(nx,ny,unknown,z)
1.現在我們知道了一個4x4的矩陣,描述了一種變換,乘上點(x,y,z,1)之后,得到變換后的點(nx,ny,unknown,z),根據這個我們可以推出這個4x4矩陣大致如上圖的最下面所示
1.現在我們知道了如何統一的描述這種變換,也就是左上角,一個4x4矩陣乘上原來的點,得到一個變換后的點
2.那么,我們在這個透視投影的立體上取一個特殊點 ---- 近平面上的一個點,對于這個點,它變換之后仍然是自己,因為前面說到近平面的點不會變
3.根據前面的圖得到近平面的z值就是n,于是我們把這個近平面的點換一種寫法,換成(nx,ny,nn,n),都乘上n,表示的仍然是這個點
4.然后再去套用第三步得到的公式,我們就得到第三行與原來的點(x,y,n,1)的乘積是nn,那么這個4x4矩陣的第三行必然是(0,0,A,B),前兩項必然是0
1.再取一個特殊點,即遠平面的中心點,它就在z軸上,假設z值是f,因此得到這個點是(0,0,f),這個點的這個點變換之后也不會發生變化,再根據第四步,得到同樣的等式
1.根據第四步和第五步得到兩個等式,An+B = nn,Af+B = ff,最終得到結果A=n+f,B=-nf
2.到此為止透視投影轉化為長方體結束了,得到了擠壓的變換矩陣,最后想要做完透視投影,還要再進行一步正交投影,所以還要再乘上正交投影的變換矩陣
