這是介紹費(fèi)馬大定理歷史的系列文章的第一篇。
在眾多的數(shù)學(xué)猜想中，再?zèng)]有第二個(gè)猜想會(huì)比費(fèi)馬大定理的歷史更加曲折、傳奇。
一部費(fèi)馬大定理的歷史，即是一部數(shù)學(xué)史。
從1637年由費(fèi)馬以一種近乎戲謔的方式提出，到1995年由英國數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯徹底解決，在這長達(dá)358年****的歷史中，費(fèi)馬大定理吸引了各個(gè)時(shí)代最頂尖的數(shù)學(xué)家：
歐拉、高斯、庫默爾、吉爾曼、狄利克雷、勒讓德、柯西、法爾廷斯、布朗、希爾伯特……
甚至，它曾以自己的魅力拯救了生命：一個(gè)為情所困、決意自殺的人，因研究它竟忘記了自殺。
費(fèi)馬大定理不僅有傳奇般的歷史，還對數(shù)學(xué)的發(fā)展作出了巨大貢獻(xiàn)。
為證明這個(gè)猜想，人類最聰明的大腦們創(chuàng)造了一系列新方法、新工具，極大地推動(dòng)了數(shù)論這一最為古老的數(shù)學(xué)分支的發(fā)展。
希爾伯特戲稱它為“這是一只下金蛋的雞”。
這到底是一段怎樣的歷史呢……
懷爾斯的發(fā)現(xiàn)
1963年的某一天，10歲的小懷爾斯放學(xué)回家，當(dāng)時(shí)已經(jīng)沉迷于數(shù)學(xué)的他，決定到小鎮(zhèn)彌爾頓路上的圖書館去學(xué)習(xí)。
雖然這里的藏書與大學(xué)圖書館沒法比，但這次，小懷爾斯還是找到了一本令他著迷、將改變他后半生的書。
這本書叫做《大問題》（The Last Problem），作者是美國數(shù)學(xué)家、科普作家埃里克·坦普爾·貝爾。
在這本書里，作者介紹了廣為人知的畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理），即：
在任一直角三角形中，其斜邊的平方等于兩直角邊的平方的和。
雖然非常簡單易懂，但這個(gè)定理定義了我們這個(gè)宇宙的三維空間的結(jié)構(gòu)。
當(dāng)時(shí)的人們也意識到了這一點(diǎn)，他們用一百頭公牛作為祭品來表示對神的感謝——感謝神讓他們發(fā)現(xiàn)了這樣和諧的定理。
即使現(xiàn)在來看，這個(gè)定理也非常之重要。這倒不是表現(xiàn)在定理的數(shù)學(xué)內(nèi)容本身，而是數(shù)學(xué)證明的思想。
不同于以往的數(shù)學(xué)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是利用邏輯證明，而非經(jīng)驗(yàn)直覺得到了這個(gè)精確的定理。
這是人類第一個(gè)真正的、被數(shù)學(xué)證明的數(shù)學(xué)定理。
這種邏輯證明的方法給人們提供了認(rèn)識世界的一種有效方法：使用數(shù)學(xué)證明的方法可以證明一個(gè)結(jié)論的普遍適用性，而無需窮舉所有的可能性，并且一旦被證明，結(jié)論便是絕對正確的。
然而，不久之后，發(fā)現(xiàn)這個(gè)定理的畢達(dá)哥拉斯兄弟會(huì)便遭到了巨大的災(zāi)禍：
一個(gè)曾被兄弟會(huì)拒絕的人，出于報(bào)復(fù)之心，放火燒了兄弟會(huì)創(chuàng)辦的學(xué)校，還血洗了兄弟會(huì)，許多畢達(dá)哥拉斯的信徒被殺。
兄弟會(huì)的幸存者流落到了其他國家，創(chuàng)建了新的學(xué)校。
在這種被迫的遷徙過程中，他們將畢達(dá)哥拉斯的數(shù)學(xué)理念傳播到了更廣的地域。
并且，他們對畢達(dá)哥拉斯定理的認(rèn)識也向前推進(jìn)了一步：證明了有無窮多個(gè)畢達(dá)哥拉斯三元組（滿足x2+y2=z^2的(x,y,z)三元組）。
《大問題》一書中提到的畢達(dá)哥拉斯定理和畢達(dá)哥拉斯三元組的無限性，引起了小懷爾斯的注意。
表面上看起來，人們對于畢達(dá)哥拉斯三元組的了解已經(jīng)十分充分，甚至給出了三元組的構(gòu)造公式。
但繼續(xù)往下讀后，小懷爾斯發(fā)現(xiàn)，畢達(dá)哥拉斯定理遠(yuǎn)沒有看上去的那樣簡單。
貝爾在書中寫下了另一個(gè)方程——畢達(dá)哥拉斯方程的姊妹方程：
這個(gè)方程僅僅將畢達(dá)哥拉斯方程的平方改為了立方。
畢達(dá)哥拉斯三元組有無窮多個(gè)，即意味著畢達(dá)哥拉斯方程有無窮多個(gè)解。
然而，對于三次方的姊妹方程，多少代的數(shù)學(xué)家試圖尋找它的整數(shù)解都****沒有成功。
更進(jìn)一步，對于任意自然數(shù)n>=3的方程：
似乎都沒有整數(shù)解。
事實(shí)上，17世紀(jì)時(shí)，一位數(shù)學(xué)家就宣稱找不到整數(shù)解是因?yàn)樗揪蜎]有整數(shù)解。
僅僅將2改為更大的數(shù)，方程整數(shù)解的數(shù)目就從無窮多個(gè)驟減為0個(gè)，尋找方程整數(shù)解的工作竟變得異常困難。
小懷爾斯立馬被這樣奇怪的結(jié)論吸引，他沿著畢達(dá)哥拉斯的思路繼續(xù)往下想：
這個(gè)看上去正確的結(jié)論是真的嗎？能被數(shù)學(xué)證明嗎？
他急切地向后翻閱著書，希望在書中尋找到答案，然而，翻到最后也沒有找到對它的證明。
只是找到了這樣一段故事。
一個(gè)數(shù)學(xué)家在一本書的空白處，先是寫下了他對于這個(gè)結(jié)論的表述，然后在旁邊寫道：“我有一個(gè)對這個(gè)命題十分美妙的證明，但這里空白太小，寫不下。”
這個(gè)數(shù)學(xué)家叫費(fèi)馬，這本書叫《算術(shù)》，而那個(gè)奇怪的結(jié)論便是——費(fèi)馬大定理。
而費(fèi)馬的這段文字困惑了一代又一代數(shù)學(xué)家，耗盡了人類眾多最杰出大腦的精力，直到在他寫下這段批注后的358年，才由懷爾斯完成了證明。
“業(yè)余”數(shù)學(xué)家
皮埃爾·德·費(fèi)馬1601年出生于法國西南部的博蒙-德羅馬涅鎮(zhèn)。
費(fèi)馬的雙親都來自于上層社會(huì)，父親是當(dāng)?shù)匾晃桓挥械钠じ锷蹋赣H則出身貴族，這使費(fèi)馬從小便生活在非常優(yōu)渥的環(huán)境中。
長大后，費(fèi)馬先后在奧爾良大學(xué)和圖盧茲大學(xué)學(xué)習(xí)法律，在費(fèi)馬上學(xué)時(shí)，父親便為他買好了官職。
畢業(yè)后，迫于家庭的壓力，費(fèi)馬成為了一名文職官員，被任命為議會(huì)接待室的一名顧問（司法職務(wù)）。
17世紀(jì)的法國政治充滿陰謀和詭計(jì)，為避開政治上的糾紛，費(fèi)馬遠(yuǎn)離議會(huì)的混戰(zhàn)，盡力不引起人們的注意，并將自己剩余的精力全部獻(xiàn)給了數(shù)學(xué)。
并且當(dāng)時(shí)的法國不鼓勵(lì)法官們參加社交活動(dòng)，這使費(fèi)馬也有時(shí)間和精力專注于自己的業(yè)余愛好數(shù)學(xué)上。
他在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域都取得了巨大的成就，被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”。
但事實(shí)上，他的貢獻(xiàn)和才華完全不輸給任何一個(gè)專業(yè)數(shù)學(xué)家。
以至于朱利安·庫利奇寫《業(yè)余大數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)》一書時(shí)，沒有將費(fèi)馬列入，因?yàn)樵谒磥?strong>“他那么杰出，他應(yīng)該算做專業(yè)數(shù)學(xué)家”。
費(fèi)馬和帕斯卡先是合作創(chuàng)立了概率論，又與笛卡爾共同建立了解析幾何，還獨(dú)自發(fā)現(xiàn)了求切線、極值的方法。
不僅如此，費(fèi)馬對于光學(xué)也有研究，提出了關(guān)于光的最短傳播路徑的費(fèi)馬原理。這個(gè)定理在哲學(xué)上也意義重大。
當(dāng)然，他最重要的貢獻(xiàn)還是在數(shù)學(xué)最古老的分支——數(shù)論上。
兩位創(chuàng)始人
與費(fèi)馬同時(shí)代的數(shù)學(xué)家還有笛卡爾，兩人被公認(rèn)為解析幾何的創(chuàng)始人。
不過，費(fèi)馬研究解析幾何的方法與笛卡爾大相徑庭。
日本數(shù)學(xué)會(huì)出版的《巖波數(shù)學(xué)辭典》是這樣評價(jià)費(fèi)馬的：
他與笛卡爾不同，與其說他批判希臘數(shù)學(xué)，倒不如說他以復(fù)興為主要目的，因此他的學(xué)說古典色彩濃厚。
費(fèi)馬研究解析幾何的方法，主要是繼承了古希臘人的思想。
雖然他比較全面系統(tǒng)地?cái)⑹隽私馕鰩缀蔚幕驹恚饕峭晟屏斯畔ＥD數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的理論。
（阿波羅尼斯的代表作是《圓錐曲線論》）
而笛卡爾則受到他自己“懷疑一切”的哲學(xué)思想的影響，從批判古希臘的傳統(tǒng)出發(fā)，在革新中建立了解析幾何。
從歷史發(fā)展的角度看，笛卡爾更具突破性，因此，后人多知道笛卡爾對于解析幾何的貢獻(xiàn)，但卻不了解費(fèi)馬的工作。
光學(xué)？微積分？
費(fèi)馬還是微積分的先驅(qū)。
1934年，路易斯·特倫查德·穆爾發(fā)現(xiàn)了牛頓寫的一段注記，他在“費(fèi)馬先生的畫切線的方法”的基礎(chǔ)上發(fā)展了微積分。
所以在求切線這個(gè)微積分的關(guān)鍵問題上，牛頓并非獨(dú)創(chuàng)，而是受到了費(fèi)馬的啟發(fā)。
牛頓是從力學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)了微積分，萊布尼茲是在數(shù)學(xué)的層面，那費(fèi)馬呢？
在這里，費(fèi)馬仍然受到古希臘傳統(tǒng)的影響，他研究切線的出發(fā)點(diǎn)與古希臘的光學(xué)研究有關(guān)。
古希臘人對于光學(xué)很有研究，費(fèi)馬繼承了這個(gè)傳統(tǒng)，他非常喜歡制造透鏡，而這促使費(fèi)馬探求光曲線的切線。
1629年，他就發(fā)現(xiàn)了求切線的方法，但直到1637年才將方法發(fā)表在自己的手稿《求最大值與最小值的方法》中。
現(xiàn)在微積分中的“費(fèi)馬引理”便是為了紀(jì)念費(fèi)馬的這個(gè)貢獻(xiàn)。
費(fèi)馬在光學(xué)領(lǐng)域的研究也承自古希臘人。
他系統(tǒng)研究了歐幾里得等人關(guān)于光的直線傳播、反射定律的工作，于1661年提出了費(fèi)馬原理，也稱最小作用原理。
這個(gè)原理統(tǒng)一了光的直線傳播、折射定律、反射定律，并揭示出這三者的物理和哲學(xué)本質(zhì)是*“大自然總是以最短捷的可能途徑行動(dòng)”*****，即光線的行進(jìn)總是取最短的路徑。
這一原理最現(xiàn)代的表述是：
過兩個(gè)定點(diǎn)的光總走光程的一階變分為零的路徑。
之后，費(fèi)馬使用這一原理，結(jié)合微積分的知識，導(dǎo)出了光的折射定律。
這里還有個(gè)小插曲：
費(fèi)馬是在1637年于笛卡爾的《折光》一書中最早接觸到了光的折射定律。
一開始他對這個(gè)定律和其證明方法都持懷疑態(tài)度，并與笛卡爾展開了一場長達(dá)10年之久的論戰(zhàn)。
但在使用自己的最小作用原理也導(dǎo)出了光的折射定律后，他不但消除了對笛卡爾的懷疑，還更加確信了自己的最小作用原理的正確性。
古老的數(shù)論
但費(fèi)馬最鐘情、也是成就最大的領(lǐng)域，還是數(shù)學(xué)最古老的分支——數(shù)論。
費(fèi)馬在數(shù)論領(lǐng)域的研究，最能反映他“言必稱希臘”的“復(fù)古”傾向。
同時(shí)代的學(xué)者對于數(shù)論這一源自古希臘的古老領(lǐng)域，研究甚少。
他也曾試圖拉攏一起發(fā)明概率論的帕斯卡，與他一起研究數(shù)論。
但帕斯卡對數(shù)論始終沒有什么興趣。
直到將近一百年后，另一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家也抱怨，在數(shù)論的領(lǐng)域自己實(shí)在太孤單了。
費(fèi)馬研究數(shù)論的指導(dǎo)書籍，是古希臘時(shí)期的一本教科書《算術(shù)》。
它的作者丟番圖被譽(yù)為“古希臘數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的最后一位衛(wèi)士”，他將古希臘的數(shù)論成就，完整地記錄到了其著作《算術(shù)》中。
可以說《算術(shù)》之于數(shù)論，就如同《幾何原本》之于幾何。
可惜的是，我們對這位數(shù)學(xué)家的了解遠(yuǎn)不如對歐幾里得的了解多。
我們只知道丟番圖最擅長解決的問題是：****解為整數(shù)的不定方程，如今，這一類方程被稱為丟番圖方程。
而《算術(shù)》的命運(yùn)也如同其作者丟番圖本人，組成它的13卷書中，只有6卷幸運(yùn)地逃出了中世紀(jì)的黑暗和混亂。
但這剩余的6卷卻極大地激勵(lì)了包括費(fèi)馬在內(nèi)的文藝復(fù)興前后的數(shù)學(xué)家們，使這批數(shù)學(xué)家重新“發(fā)現(xiàn)”了古老的數(shù)學(xué)技巧，幾乎瀕臨覆滅的數(shù)學(xué)迅速地恢復(fù)了生機(jī)。
1621年，費(fèi)馬在巴黎買到了經(jīng)八歇校訂的《算術(shù)》的法文譯本。
費(fèi)馬在閱讀《算術(shù)》時(shí)，喜歡一邊讀一邊在書上勾勾畫畫，做些點(diǎn)評。
1607年的某一天，他習(xí)慣性地在這部書的第二卷第八個(gè)命題——“將一個(gè)平方數(shù)分為兩個(gè)平方數(shù)”旁寫道：
相反，要將一個(gè)立方數(shù)分為兩個(gè)立方數(shù)，一個(gè)四次冪分為兩個(gè)四次冪，一般地將一個(gè)高于二次的冪分為兩個(gè)同次的冪，都是不可能的。
然后，他繼續(xù)寫道：
我有一個(gè)對這個(gè)命題十分美妙的證明，但這里空白太小，寫不下。
（原文：J' ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais la marge est trop étroite pour la contenir.）
著名的費(fèi)馬大定理便以這種近乎戲謔的方式提出了。
除此之外，費(fèi)馬還發(fā)現(xiàn)了初等數(shù)論四大基本定理之一的“費(fèi)馬小定理”。
愛捉弄人的費(fèi)馬
我國古代的孔子是“述而不作”，而費(fèi)馬是“議而不作”，上面提到，費(fèi)馬喜歡在書上勾勾畫畫，做點(diǎn)評。
后來的人們了解費(fèi)馬的研究，幾乎都是從他的手稿上，而不是公開的文章。
一方面，這與費(fèi)馬本人內(nèi)向的性格有關(guān)，他不擅長推銷自己。
另一方面，也與當(dāng)時(shí)的大環(huán)境有關(guān)。
在費(fèi)馬生活的年代，數(shù)學(xué)還只是由少數(shù)人掌握的知識。
不同于今天，這些人一般不會(huì)公布自己的發(fā)現(xiàn)，而是將之作為秘密，作為與同行較量時(shí)自己的秘密武器，以保持自己有能力解決某類特殊問題的獨(dú)一無二的聲譽(yù)。
這頗似今天的商業(yè)秘密。
費(fèi)馬更實(shí)在的動(dòng)機(jī)是：不公開發(fā)表使他不需要全面完善自己的方法，從而能迅速轉(zhuǎn)戰(zhàn)于數(shù)學(xué)、物理的各個(gè)領(lǐng)域。
他只需要頻頻拋出結(jié)果，而不用給出非常完美的證明。
這樣還可以避免因來自吹毛求疵者的一些細(xì)微質(zhì)疑而分心。
這也就是費(fèi)馬為何只在一本書毫不起眼的注腳處寫下一個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn)而又不給出證明的原因。
他在與少數(shù)人的通信中，經(jīng)常只說“我證明了這，我證明了那”，但從來不會(huì)給出證明過程，這對與之通信者來說，既是挑逗，也是挑戰(zhàn)。
因此他惹惱了當(dāng)時(shí)的不少數(shù)學(xué)家，笛卡爾稱其為“吹牛者”，英國的數(shù)學(xué)家約翰·沃利斯叫他“那個(gè)該詛咒的法國佬”。
給同行造成的這種困擾，也給他帶來了巨大的滿足感。
公諸于世
1665年元旦一過，費(fèi)馬開始感到身體不適，1月10日便辭去了官職，僅3天后便去世了。
由于費(fèi)馬生前與同行通信較少，就算與之通信者如上文所說也往往對他沒有什么好感。
所以在他去世后，包括費(fèi)馬大定理在內(nèi)的他作出的各種發(fā)現(xiàn)有永遠(yuǎn)遺失的危險(xiǎn)。
幸運(yùn)的是，費(fèi)馬的長子塞繆爾意識到了父親業(yè)余研究成果的重要性。
他花了5年的時(shí)間，整理了父親的注記和信件，并將費(fèi)馬批注過的《算術(shù)》出版了。
1670年，他在圖盧茲出版了《附有費(fèi)馬的評注的丟番圖的算術(shù)》，這本書除了原本的6卷本《算術(shù)》還包括了費(fèi)馬所做的48個(gè)評注。
其中的第二個(gè)評注就是后來的費(fèi)馬大定理。
這本評注的《算術(shù)》出版后，人們才意識到，費(fèi)馬與同行通信時(shí)所“炫耀”的成果只是他所有發(fā)現(xiàn)的很小的一部分。
而也正是這本書的出版，給后世的數(shù)學(xué)家留下了十足的“噩夢”。
費(fèi)馬雖然在書中聲稱他證明了一個(gè)又一個(gè)的命題，但都沒有給出證明。
因此，后世的數(shù)學(xué)家得到這本書后，需要尋找費(fèi)馬的一個(gè)又一個(gè)“失落的證明”。
然而，在數(shù)學(xué)界發(fā)現(xiàn)真正的證明前，這些命題只能稱為猜想，因此，費(fèi)馬也成為了數(shù)學(xué)史上提出猜想最多的數(shù)學(xué)家。
這一個(gè)個(gè)的猜想折磨了后世一批又一批的數(shù)學(xué)家。
可能費(fèi)馬并不會(huì)想到，他只給結(jié)論不給證明的做法以及他隨手在書邊的涂畫，不僅困擾了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家，也極大地困擾了后人。
在經(jīng)過了長達(dá)3個(gè)世紀(jì)的漫長時(shí)光后，費(fèi)馬的評注一個(gè)個(gè)都被解決了，唯獨(dú)第二個(gè)評注始終沒有很大進(jìn)展，因此它也被稱為“費(fèi)馬最終猜想”。
那么，在費(fèi)馬去世后，第一個(gè)試圖證明第二個(gè)評注，即費(fèi)馬大定理的數(shù)學(xué)家會(huì)是誰呢？他又有著怎樣的傳奇經(jīng)歷？
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