某化學(xué)藥品公司的研究人員研究了藥片表面積和體積對(duì)藥品在釋放劑量控制中釋放速度的作用（Drug?Development and Industrial pharmacy, Vol.?28, 2002），準(zhǔn)備了6個(gè)形狀相似具有不同重量和厚度的藥片，測(cè)量了每個(gè)藥片的表面積與體積的比，利用溶解設(shè)備，每個(gè)藥片放在900ml去離子水中，確定滲濾藥品釋放速度（藥品釋放啊的百分比除以時(shí)間平方根），試驗(yàn)數(shù)據(jù)在下表中列出：

表1：藥片表面積與體積比對(duì)藥片在釋放劑量控制中釋放速度的作用研究

從以上數(shù)據(jù)中，您可以得出什么有用的結(jié)論呢？當(dāng)表面積/體積=1.2時(shí)，藥片釋放速度大概是多少？

一、圖形化探索——散點(diǎn)圖

上述案例中，兩個(gè)變量都是數(shù)值型變量，同時(shí)，我們希望尋找兩個(gè)變量之間的相互關(guān)系，因此，通過散點(diǎn)圖來觀察兩個(gè)變量的關(guān)系是再恰當(dāng)不過的選擇了。

通過可視化工具我們得到下圖，從圖中我們可以明顯的看出，藥品釋放速度與藥片表面積/體積呈現(xiàn)明顯的線性正相關(guān)關(guān)系，也就是說，隨著表面積/體積的增加，藥片釋放速度呈增加趨勢(shì)。

圖1：藥品釋放速度與藥片表面積/體積的散點(diǎn)圖

可視化在數(shù)據(jù)分析中的重要性不言而喻，尤其是在演示中扮演著舉足輕重的角色，但是圖形的缺點(diǎn)也非常明顯：

（1）無法量化變量之間的相關(guān)關(guān)系；

（2）無法進(jìn)行預(yù)測(cè)，而回歸的主要目的就是為了進(jìn)行預(yù)測(cè)。

所以，以上的分析只是線性回歸分析最初始的步驟，它可以幫助我們理解數(shù)據(jù)之間的關(guān)系。接下來，我們將主要討論如何量化變量之間的相關(guān)關(guān)系，如何通過最小二乘法獲取回歸方程的最優(yōu)參數(shù)，如何檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷娘@著性，以及非常重要的殘差診斷，和如何進(jìn)行預(yù)測(cè)，包括預(yù)測(cè)的陷阱等。

二、它們相關(guān)嗎？相關(guān)關(guān)系未必是因果關(guān)系?

對(duì)于兩個(gè)變量相關(guān)關(guān)系的量化，著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家卡爾·皮爾遜曾給出了以下關(guān)于相關(guān)系數(shù)的數(shù)學(xué)定義，根據(jù)他的定義：

（1）當(dāng)r的值越趨近于1或-1時(shí)，兩個(gè)變量的線性關(guān)系越強(qiáng)；

（2）當(dāng)r的值越趨近于0，兩個(gè)變量的線性關(guān)系越弱；

（3）而當(dāng)r值正好為1或-1時(shí)，則表明所有的點(diǎn)都精確地落在一條直線上。

然而，通過相關(guān)系數(shù)的數(shù)學(xué)公式來理解相關(guān)關(guān)系非常地不直觀，所以，這里通過引用向量概念來更直觀地解釋兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系，如下圖，以向量空間為例，向量和向量之間的夾角的余弦值可以通過以下公式獲得（同樣，在空間，以下公式也適用）：

圖2：相關(guān)關(guān)系的向量夾角解釋

由此可見，當(dāng)兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)越趨近于1時(shí)，也就意味著向量之間的夾角越接近于0°，而當(dāng)其越趨近于-1時(shí)，則意味著向量之間的夾角越接近于180°，而當(dāng)變量之間的相關(guān)系數(shù)越趨近于0時(shí)，則意味著向量之間的夾角越接近于90°，也就是說兩個(gè)向量之間線性無關(guān)。

依據(jù)以上的相關(guān)系數(shù)的公式，我們可以求得本案例中藥片釋放速度和藥片表面積/體積的相關(guān)系數(shù)為：

由此可見，兩個(gè)變量線性相關(guān)性很強(qiáng)。

但是，這里面有一點(diǎn)需要提醒大家，兩個(gè)變量之間雖然存在很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，但是，這并不意味著一個(gè)變量會(huì)影響另一個(gè)變量，更不能說明兩者之間存在因果關(guān)系，這僅僅揭示了兩個(gè)變量之間存在某種數(shù)學(xué)關(guān)系，而至于兩個(gè)變量之間是否存在因果關(guān)系，則需要研究者根據(jù)自身的經(jīng)驗(yàn)來進(jìn)行判定。

三、為何最小二乘法？——高斯的谷神星軌道計(jì)算

在通過散點(diǎn)圖和相關(guān)系數(shù)明確了兩個(gè)變量之間存在很強(qiáng)的線性關(guān)系后，我們還需要進(jìn)行線性回歸，才可以更加明確地揭露變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣做的目的是為了后面進(jìn)行預(yù)測(cè)服務(wù)，為此我們假設(shè)變量和之間存在以下線性關(guān)系：

接下來，需要通過已收集到的數(shù)據(jù)來估測(cè)出最佳的和，以使得誤差平方和取最小值：

以上就是數(shù)學(xué)史上聞名遐邇的最小二乘法，談起最小二乘法，需要追溯到1801年，當(dāng)時(shí)，意大利天文學(xué)家G. Piazzi發(fā)現(xiàn)了谷神星，他在6個(gè)星期中跟蹤這顆小行星，但由于太陽的干擾，這顆小行星突然不見了，很多著名的天文學(xué)家都發(fā)表了文章，預(yù)測(cè)谷神星的軌道，高斯也發(fā)表了一個(gè)預(yù)測(cè)，但是他預(yù)測(cè)的軌道和其他人有相當(dāng)大的差異，此后，谷神星在1801年12月7日被一個(gè)觀測(cè)者再度發(fā)現(xiàn)，并在1802年1月1日又被另一個(gè)觀測(cè)者發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)情況均和高斯預(yù)測(cè)的位置十分接近，高斯立刻在天文學(xué)界贏得了威望，并在一段時(shí)間內(nèi)，被公認(rèn)為是知名的天文學(xué)家而不是數(shù)學(xué)家，它成功的關(guān)鍵就在于使用了最小二乘法。自此以后，最小二乘法在各個(gè)行業(yè)領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用。

對(duì)和的估測(cè)，學(xué)術(shù)界存在多種方法，但是都殊途同歸，最多見的是通過將殘差平方和分別對(duì)和求偏導(dǎo)數(shù)，并使之等于0，通過解方程以求得和，此外，也有通過求解超定方程組的方法獲得和的估測(cè)，并且可以給出非常直觀的幾何解釋，此外，也有通過最大似然法來推斷和的做法。這里我們僅僅給出通過求偏導(dǎo)數(shù)來估測(cè)和的方法：

通過求解上述方程組可以得到：

依據(jù)上述公式，我們求得本案例的回歸方程為：

四、回歸方程顯著性檢驗(yàn)——決定系數(shù)與相關(guān)系數(shù)

到這里，我們已經(jīng)知道了本案例兩個(gè)變量之間具有很強(qiáng)的線性關(guān)系，同時(shí)，我們也通過最小二乘法估測(cè)了回歸方程的參數(shù)，但是，我們還需要對(duì)回歸方程的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)，而回歸方程顯著性的檢驗(yàn)實(shí)際上是一個(gè)方差分析的過程，其基本原理是，觀測(cè)值的變異性（稱為總離差平方和，記為）可以分解為兩個(gè)部分：

（1）由于和之間存在線性關(guān)系，的變化會(huì)引起的變化，這種變化可以用回歸線上擬合點(diǎn)的波動(dòng)加以解釋，稱為回歸平方和，記為；

（2）的觀測(cè)值與回歸線上擬合點(diǎn)的差異是由于隨機(jī)誤差導(dǎo)致的，稱為殘差平方和，記為。

因此，如果遠(yuǎn)大于，則說明回歸方程有效，否則，就認(rèn)為回歸方程無效。

根據(jù)上述原理，我們從以下恒等式出發(fā)，給出以下推導(dǎo)過程：

最后給出回歸顯著性檢驗(yàn)的方差分析如下表：

表2：回歸顯著性檢驗(yàn)方差分析

對(duì)于本案例，根據(jù)查F分布的分位數(shù)表可得，當(dāng)α=0.01、分子自由度、分母自由度時(shí)，，由于，因此，可以認(rèn)為該回歸方程有效。

表3：本案例回歸顯著性檢驗(yàn)方差分析

此外，為了度量回歸效果的好壞，還有一個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)：決定系數(shù)，它的含義是回歸方程解釋觀測(cè)數(shù)據(jù)變異的能力，其計(jì)算公式如下：

對(duì)于本案例，我們可以得出：

但是，從的定義可以看出，當(dāng)多一個(gè)自變量加入模型中，不管這個(gè)變量影響是否顯著，回歸平方和都會(huì)增加，因此也會(huì)增大，因此，從看不出新增加的自變量是否有意義，所以統(tǒng)計(jì)學(xué)家提出了，它把殘差平方和和總離差平方和的自由度考慮在公式里，這樣就使得系數(shù)的評(píng)估更加公正客觀。

需要注意的是，大家可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，本案例中決定系數(shù)和相關(guān)系數(shù)正好相等（），但并不能就此將決定系數(shù)和相關(guān)系數(shù)當(dāng)作同一個(gè)概念，這個(gè)相等只發(fā)生在一元線性回歸中，因此，在解讀時(shí)需要加以注意，決定系數(shù)是度量回歸方程解釋觀測(cè)數(shù)據(jù)變異的能力，而相關(guān)系數(shù)是度量兩個(gè)變量之間相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)量。

五、殘差診斷——安斯庫姆的忠告

1973年，統(tǒng)計(jì)學(xué)家F.J.Anscombe曾構(gòu)造了以下四組奇特的數(shù)據(jù)集（如表4），我們可以通過上述的線性回歸的方法對(duì)這個(gè)數(shù)據(jù)集進(jìn)行回歸，我們驚奇地發(fā)現(xiàn)了所有四組數(shù)據(jù)的基本統(tǒng)計(jì)量和回歸參數(shù)等都驚奇地相似（如表5），那么是不是這四組變量中的和之間都具有線性相關(guān)關(guān)系呢？答案是否定的，實(shí)際上，F(xiàn).J.Anscombe構(gòu)造這組數(shù)據(jù)集的目的就是提醒人們，單純地通過統(tǒng)計(jì)量來進(jìn)行判斷是不可靠的，確認(rèn)變量之間的關(guān)系需要借助可視化工具來輔助判斷，否則很可能會(huì)得出荒唐的結(jié)論。

表4：F.J.Anscombe數(shù)據(jù)集

表5：F.J.Anscombe數(shù)據(jù)集

因此，為了更好地展示這四組數(shù)據(jù)的關(guān)系，我們給出了它們的散點(diǎn)圖（如圖2），從圖形中可以看出，除了第一組變量之間存在線性關(guān)系外，其余幾組變量的線性關(guān)系都不明顯，尤其是第三組和第四組變量都存在較為明顯的異常值現(xiàn)象，需要特別注意。

圖3：F.J.Anscombe數(shù)據(jù)集的散點(diǎn)圖展現(xiàn)

F.J.Anscombe數(shù)據(jù)集給我們的啟示是，判斷兩個(gè)或者多個(gè)變量之間的關(guān)系需要借助可視化來進(jìn)行確認(rèn)，而殘差診斷則是線性回歸中非常必要的一個(gè)可視化判斷的步驟，如果殘差分布具有某種特殊的形狀，不夠隨機(jī)的話，可能模型就不是很成功，需要對(duì)回歸方程做一些調(diào)整，比如殘差對(duì)于擬合值有類似圖4-（3）的喇叭口形狀，這時(shí)建議對(duì)取平方根、取倒數(shù)或者取對(duì)數(shù)來嘗試解決。如果殘差對(duì)于自變量的散點(diǎn)圖出現(xiàn)類似圖4-（2）的彎曲情況，這時(shí)建議在模型中添加的平方項(xiàng)等等。

圖4：常見殘差圖類型

通常而言，殘差診斷包括以下四個(gè)部分的診斷：

（1）殘差對(duì)于觀測(cè)順序的散點(diǎn)圖；

（2）殘差對(duì)于擬合值的散點(diǎn)圖；

（3）殘差的正態(tài)概率圖；

（4）殘差對(duì)于各自變量的散點(diǎn)圖。

圖5：本案例的殘差診斷

由此，可以看出，本案例的殘差無任何異常，并且殘差分布也是正態(tài)的，模型可以用于進(jìn)行下一步的預(yù)測(cè)。

六、預(yù)測(cè)的陷阱——沒有調(diào)查沒有發(fā)言權(quán)

建立回歸模型最主要的目的是為了進(jìn)行預(yù)測(cè)，但是僅僅給出一個(gè)確定并不是一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)念A(yù)測(cè)，很多時(shí)候，我們希望得到結(jié)果是這個(gè)值有多大概率處于某個(gè)區(qū)間內(nèi)，因此，統(tǒng)計(jì)學(xué)上通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)給出了以下兩個(gè)區(qū)間估計(jì)，其中第一個(gè)式子是對(duì)于響應(yīng)變量均值的100×（1-α）%的置信區(qū)間估計(jì)，而第二個(gè)式子是新觀測(cè)值的100×（1-α）%預(yù)測(cè)區(qū)間，很顯然地可以看出，均值的區(qū)間估計(jì)要比單值的區(qū)間估計(jì)要窄一些。

在預(yù)測(cè)階段，經(jīng)常性會(huì)落入一個(gè)陷阱，比如我們的回歸模型是建立在的區(qū)間內(nèi)的，但是現(xiàn)在需要預(yù)測(cè)時(shí)的值，可是我們知道，那么此時(shí)是否可以用上述方法來進(jìn)行預(yù)測(cè)呢？這是一個(gè)非常嚴(yán)重的錯(cuò)誤，因?yàn)槲覀兦懊娴贸龅幕貧w模型并沒有在這個(gè)區(qū)域內(nèi)有觀測(cè)點(diǎn)，所以，根本無從知曉現(xiàn)有模型是否在這個(gè)區(qū)域依然適用，因此，強(qiáng)烈不建議做超出觀測(cè)范圍的預(yù)測(cè)推斷。

對(duì)于本案例，假設(shè)α=0.05，當(dāng)表面積/體積=1.2時(shí)，我們可以得出藥片釋放速度的區(qū)間估計(jì)如下：

七、線性回歸在工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)的應(yīng)用場(chǎng)景介紹

以上通過醫(yī)藥研發(fā)當(dāng)中一個(gè)案例對(duì)一元線性回歸進(jìn)行了簡單的介紹，而在實(shí)際工作中，大部分響應(yīng)變量很多時(shí)候會(huì)受多個(gè)因子的影響，對(duì)于多元線性回歸，其基本思路和分析步驟與一元線性回歸類似。同時(shí)，也有很多時(shí)候，通過殘差分析我們發(fā)現(xiàn)殘差與因子之間存在彎曲現(xiàn)象，這時(shí)候需要加入因子的高階項(xiàng)，甚至?xí)霈F(xiàn)因子之間存在強(qiáng)烈的交互作用，這時(shí)候就需要在回歸模型中加入類似項(xiàng)，甚至，在一些化工領(lǐng)域三傳一反的模型中需要加入指數(shù)函數(shù)，使得模型方程不具有線性特征，如：

此時(shí)，我們只要通過簡單的變換就可以將問題轉(zhuǎn)化為線性回歸的問題，如對(duì)于第一個(gè)回歸方程，我們可以將諸如的高階項(xiàng)當(dāng)作一個(gè)新的自變量即可，對(duì)于第二個(gè)式子，我們可以對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，對(duì)進(jìn)行變換就可以簡化為線性回歸的問題。

線性回歸在工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)應(yīng)用案例非常之多，無論是在生產(chǎn)、運(yùn)營或者研發(fā)等場(chǎng)景中，都有非常多的應(yīng)用，如化工工藝參數(shù)設(shè)定對(duì)收率的影響，配方對(duì)產(chǎn)品性能指標(biāo)的影響，廣告費(fèi)用對(duì)銷售收入的影響，不同產(chǎn)線產(chǎn)量與總生產(chǎn)能耗的關(guān)系等等，此外，線性回歸模型在化學(xué)分析、化工裝置設(shè)計(jì)等各個(gè)場(chǎng)景也有非常多的應(yīng)用。

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