數學家經常通過說明他們正在解決的問題與別人已經解決的另一問題而取得進展。（實際上這不是欺騙行為：經常要有大量的工作去證明這種對應性。）
在一個迅猛發展、雜亂無章的新領域中，迅速有效地建立精確的術語是很困難的人們常常不知道哪些公理和定義會引出最有用的結果。
我們在日常生活中都會遇到依賴性。許多人都知道如果他們在早晨合適的時間從家里出發，那么公路上不會塞車，他們能夠按時到達工作場所。但是如果他們僅僅比平常晚走5分鐘，交通堵塞就會使他們多花費半個小時。初值8條件的微小變化導致了出行時間的很大變化。
人類的智慧大約需要四分之三個世紀來將分析表述、幾何表述和符號表述的思想聯系起來，并運用自如地將它們相互轉化。
科學是“處理經過系統地組織的事實或者真理的一個整體及顯示其一般規矩運作的某一分支的知識和研究”。
一種理論通常是描述特定范圍內的現象提供規律和模型。相對論和量子理論作為現代物理學的基石，就是上述理論的實例。
猜想刺激了數學的現?。數學家們有時在研究中直覺地感到對于一個問題他們已經有了正確的解答，但是經過長期的努力仍然不能證明它。這時，他們一般會提出一個猜想。即以自己的觀點明確闡明問題的正確答案會是什么。一個猜想沒有給出證明或否證的時間越久，它就越有名。如果在某個領域的發展中它的主要理論依賴于某個猜想的明確的解答，那么這個猜想就變得格外重要。試圖解決這樣的猜想會刺激數學某一分支的發展或者產生新的分支。
