算法作業有一個小的題目：
一本書的頁碼從自然數1開始編碼直到自然數n，按照通常的習慣，每個頁碼都不包含多余的前導數字0，例如第6頁用數字6而不是06或者006表示。現在給定表示書的總頁碼的十進制整數n(1 =< n <= 10^9)，編程計算書的全部頁碼中分別用到多少次數字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。
比如一本數有123頁，那么各數字出現次數如下圖：
解題思路不是很難想到，但是在寫作業報告，發現很難清楚地把這個算法過程給寫出來。于是就認真組織了語言，配上幾幅圖片，希望能把算法講明白。（好多內容自己會但不一定講的明白，講的明白也不一定寫的明白）
思路
對于任意的一個頁碼數，將其分為兩部分：個位數部分數字和其他部分數字。那么對于總頁碼為N的書本，其所有的頁碼可以放在如下的一個表格中，綠色表格代表頁碼，里面的任意數字X[i][j] = i * 10 + j(方便我們理解，這里假設N-3==0)：
現在要做的就是統計所有綠色表格中數字0到9出現的次數，綠色表格（也即任意一個頁碼）中數字組成其實可以拆分為對應的行和列的數字組成。例如對于頁碼123，其中1、2、3各出現1次，它對應的行的是123/10=12，列為123%10=3，12和3中1、2、3也是各出現一次。
要計算所有的頁碼中0到9出現的總次數，可以轉換為所有行中0到9出現的次數和所有列中0到9出現的次數。對于每一個綠色表格，其對應的行和列中數字各出現一次。因此我們可以先統計每一行和每一列綠色方格的數目，然后就可以得出每一行和每一列中0數字出現的次數。如下圖：
- 行的計數：注意由于頁碼沒有01頁、02頁這一說法，所以行[0]中0出現0次，行[1]中1出現10次，行[2]中2出現10次...行[11]中11出現10次...；
- 列的計數：列[0]中0出現N/10次，列[1]中1出現N/10+1次...列[9]中9出現N/10次。
看上去每行每列數字出現的次數有點凌亂，其實稍微劃分一下組成部分就可以了，如下分為五部分來計算（這里假設N-3==0，方便我們講解）：
- 第一部分：第一行[0]中各列數字均出現1次；
- 第二部分：最后一行[N/10]中列[0]、列[1]、列[2]、列[3]中數字0、1、2、3各出現1次；
- 第三部分：列[0]到列[9]中0、1、2...9每個數字都出現N/10 - 1次。
- 第四部分：行[1]到行[N/10-1]中每個數字出現的次數（也就是總頁碼為N/10 - 1時各個數字出現的次數--這里要遞歸哦）乘以10。
- 第五部分：行[N/10]中每個數字均出現4次。
實現
Python實現如下：
def count_num(num):
nums = [0 for x in range(10)]
if num < 10:
for i in range(1, num + 1):
nums[i] = 1
return nums
# Part 1
for i in range(1, 10):
nums[i] += 1
# Part 2
units = num % 10
for i in range(0, units + 1):
nums[i] += 1
# Part 3
others = num / 10 - 1
for i in range(0, 10):
nums[i] += others
# Part4
count_others = count_num(others)
for i in range(10):
times_i = count_others[i] * 10
nums[i] += times_i
# Part 5
digit_keep = []
while num > 0:
digit_keep.append(num % 10)
num = num / 10
times_units = digit_keep[0] + 1
for digit in digit_keep[1:]:
nums[digit] += times_units
return nums
這篇文章沒有什么技術干貨，純粹逼自己試著去把一些算法寫的明白，大家覺得哪塊講的不明白，我可以持續改進哈。
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