你正參加一個節目，一共有三扇門，只有一扇門后面有汽車，其余兩扇門是空，選到汽車算贏。你選了一扇，然后主持人會在剩下的兩扇中打開一扇空的，然后問你要不要換另一扇仍然關著的門。你可以理解成這樣：有兩扇門，一扇有汽車，一扇是空的。因此選中汽車的概率是1/2。但有一個數學家是這樣理解的，如果你永遠選擇換，那么你贏得汽車的可能就是選擇一扇空門，因為主持人一定會打開另一扇空門。因此情況就變成了你的第一次選擇要選一扇空門才能贏得汽車。而初次選擇空門的概率是2/3，所以，換，贏的汽車的概率是2/3，不換的概率是1/3。
這就是著名的“三門問題”，“三門問題”（Monty? Hall? problem）亦稱為蒙提霍爾問題、蒙特霍問題或蒙提霍爾悖論，大致出自美國的電視游戲節目Let's? Make? a? Deal。一個實質上完全相同的問題于1959年以“三囚犯問題”（three? prisoners? problem）的形式出現在馬丁·加德納（Martin? Gardner）的《數學游戲》專欄中。而這條問題的首次出現，可能是在1889年約瑟夫·貝特朗所著的? Calcul? des? probabilités? 一書中。? 在這本書中，這條問題被稱為“貝特朗箱子悖論”（Bertrand's? Box? Paradox）。數學家的答案是可以換，換的概率會更大。不換門的話，贏得汽車的幾率是1/3。換門的話，贏得汽車的幾率是2/3。
一? 問題解答
解法之一
? ? ? ? 當參賽者轉向另一扇門而不是維持原先的選擇時，贏得汽車的機會將會加倍。
? ? ? ? 有三種可能的情況，全部都有相等的可能性(1/3)︰
參賽者挑空門一號，主持人挑空門二號。轉換將贏得汽車。
參賽者挑空門二號，主持人挑空門一號。轉換將贏得汽車。
“參賽者挑汽車，主持人挑空門一號。轉換將失敗”，和“參賽者挑汽車，主持人挑空門二號。轉換將失敗。”此情況的可能性為：1/3*1/2+1/3*1/2=1/3
因此，參賽者在第一次選中空門的概率為2/3*1=2/3。即換，贏的汽車概率為2/3。
數學家得出一個結論：概率存在于被給予的條件下，概率不能寄托在實際的物體上。
補充，流言終結者是美國的科普電視節目，它在2011年11? 月做了一次關于“三門問題”的實驗。據游戲節目的數據統計換的人贏得概率是那些沒換的人的兩倍。至此，仿佛這個問題沒有了爭議，大家普遍認為1/2? 是我們的錯覺，換的概率更大，是2/3。
? ? ? ? 二? 問題思考
我們首先不去論證“三門問題”的推理是對還是錯，假設它是對的，即換的概率是2/3。那么我們可以提出以下問題。（不改變原來的程序和條件，只改選擇主體的情況）
問題一：參賽者如果選一名現場觀眾替自己決定，換，贏的概率依然是2/3嗎？
問題二：假設這位觀眾剛從室外進來，對之前所發生的事情一無所知。參賽者讓他替自己決定。呈現在他面前的情形是兩扇門，一扇門面前各站著一個人，旁邊還有一扇被打開的空門。這時觀眾的選中汽車的概率是多少？
問題三：觀眾替參賽者決定，那么觀眾的選擇是全新的選擇嗎？
? ? ? ? 問題四：參賽者能否把第二次“換不換”理解成一次新的選擇？或把自己當成觀眾？
請記住，雖然參賽者和觀眾在主觀上有許多不同，但是他們有一個非常重要的共同點，即他們都不知道汽車在剩下的兩扇門中的哪一扇，他們都知道有一扇空門被打開了。這是必須要保證的一點！因此他們倆的角色可以互換。至此，我沒改變“三門問題”的所有前提條件，只換了一個思考問題的角度，從參賽者的角度換成了觀眾的角度。所以，問題一，參賽者可以選一名現場觀眾替自己決定。關鍵是問題二，如果這名觀眾對之前發生的事一無所知，他選中汽車的概率應該為1/2，因為他絕對不會考慮那扇被打開的空門。問題的關鍵就在于這名一無所知的觀眾和現場觀眾和參賽者一樣，他也不知道汽車在兩扇門中的哪一扇，他也只知道有一扇空門被打開。問題三，對于一無所知的觀眾來說他是第一次選擇，對于現場觀眾來說他也是第一次選擇。問題四，如果參賽者把自己當成觀眾就可以把第二次的“換不換”理解為一次新的選擇。
接下來就是問題五：為什么一無所知的觀眾，換，選中的概率是1/2？而現場觀眾和參賽者，換，選中的概率卻是2/3？
如數學家所說“概率存在于被給予的條件下，概率不能寄托在實際的物體上”。我沒有改變任何“三門問題”給予的條件，我僅僅是讓選擇的主體換一下思考問題的角度。那為什么會出現兩種不同的概率？我們可以理解為“換”即選擇此時主持人的門，“不換”就是參賽者的門。如果堅持認為2/3是正確的，會出現非常荒謬的情況：
? ? ? ? 你在街上正走著。突然看見兩個人，A與B。A手里有一個箱子，B手里也有一個箱子。他們告訴你，兩個箱子里有一個里面有寶石，選中就是你的。你的判斷是，兩個箱子的概率是一樣的。你正準備隨機選一個，這時A告訴你一件事，他知道哪個箱子里有寶石，但是他不會告訴你在哪個箱子。并且他還告訴你一件事情，十年前，他準備了三個箱子，三個箱子里只有一個里面有寶石。B不知道哪個箱子有寶石，他選了一個也正是他現在手里的那個。然后A在剩下的兩個中把一個空的打開了，把另一個留到了現在。也正他現在手里的。問題是，按照“三門問題”的理論A手里的箱子概率更大，為2/3。現在放在你面前的條件沒有發生任何改變，難道因為A告訴你一件十年前發生的事，概率就變了。“告訴”是語言的行為，語言是人的意識的，思維的，人的意識和思維可以改變事物發生的概率嗎？萬一這個A說謊呢？那么情況就變成：一、A說謊，A的箱子有寶石的概率依然是1/2；二、A沒說謊，A的箱子有寶石的概率變成了2/3。如果概率不是寄托在客觀的事物上，那么概率就無法計算！因為人的思維是無法計算的，如同上述例子，你無法判斷A是否說謊，那么A的箱子到底是1/2還是2/3？
假如我們就假設每次換不換都由一名一無所知的觀眾來決定，即不管之前參賽者選什么，我們知道主持人都會打開一扇空門，汽車一定還在剩下的兩扇門中。所以最后呈現在觀眾面前的一定是這樣的條件，有兩扇門，只有一扇里面有車，一扇參賽者門，一扇主持人門。主持人門有汽車的概率其實就是1/2。那么2/3的推理錯在哪里呢？
三? 詭辯證明
? ? ? ? 問題關鍵就在于概率的性質上。我們知道，概率只是一個預測，只在事件確定之前發揮作用，如果事件已經被確定了，概率就沒意義了。因此，概率具有不確定性！概率與事件的狀態密切相關！在“三門問題”里，當主持人打開一扇空門后，這扇空門在“初次選擇”的事件中所占有的1/3的概率就失去意義了。此時，“初次選擇事件”的狀態就發生了改變，概率會重新啟動。沒打開的門概率分別為1/2，被打開的空門在“這扇門中有車”的事件中不存在概率，不存在概率不是概率等于0。而在“2/3”的推理中認為被打開的那扇依然有1/3的概率，并且依然發揮著作用。如果依然使用打開那扇空門在“初次選擇事件”中的概率，那么推理的結果就是2/3。所以，在計算“換”的概率時應該把主持人打開的那扇空門排除出參考條件。雖然從表面上看，這條推理沒有問題，而實際上，它與現實是不相符的。
這個問題隱藏在思維的死角里，類似的問題，比如芝諾的“阿基里斯永遠追不上烏龜”的推理：阿基里斯是古希臘神話中善跑的英雄。在他和烏龜的競賽中，他速度為烏龜十倍，烏龜在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上烏龜。因為在競賽中，追者首先必須到達被追者的出發點，當阿基里斯追到100米時，烏龜已經又向前爬了10米，于是，一個新的起點產生了；阿基里斯必須繼續追，而當他追到烏龜爬的這10米時，烏龜又已經向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那個1米。就這樣，烏龜會制造出無窮個起點，它總能在起點與自己之間制造出一個距離，不管這個距離有多小，但只要烏龜不停地奮力向前爬，阿基里斯就永遠也追不上烏龜！從推理過程的表面上看是沒有問題的，可是現實情況是，阿基里斯一下子就追上了烏龜。問題在于，芝諾在分析運動時，僅參考了一個因素，空間。而他忽略了運動密切相關另一個因素，時間！芝諾所謂的“永遠”其實是阿基里斯追上烏龜的時間永遠不會到來！而現實中時間并不會減慢，更不可能停止，它不受任何阻力，勻速前進！所以，現實中阿基里斯一下子就追上了烏龜，而在芝諾的推理中“永遠追不上”。芝諾分析“運動”沒有考慮時間，同樣在“三門問題”里，事件的“狀態”也是概率變化的關鍵。比如：前天天氣預報預測昨天下雨的概率是99%，但昨天沒下雨。那么我能不能說昨天下雨的概率是零呢？不能！能說是99%嗎？也不能。概率是針對不確定的事件而存在的，已經被確定的事件沒有概率可談，不存在概率不概率的問題，對于已經確定的事件，概率沒有意義！因此那扇被主持人打開的空門必須被排除，只有當那扇門關著的時候，具有不確定性的情況下才有概率之說。“2/3”的推理忽視了事件狀態對于概率的影響。
接下來就要弄清楚幾個概念的問題，即“不換”，“沒有換的機會”，“永遠不換”，“換”，“有換的機會”，“永遠換”。首先“不換”不等于“沒有換的機會”，雖然從表面上看這是選擇了同一個結果，即都是參賽者手上的門。但是在概率上，這不屬于同一事件。這就是最迷惑人的地方，錯覺就在這里。“沒有換的機會”即依然保持參賽者第一次選擇時的概率是1/3，因此會被誤以為如果有“換的機會”那么“換”就是2/3。“不換”也不等于“永遠不換”，如果嚴格按照“三門問題”程序一直不斷的進行，讓“永遠不換”成為“永遠‘不換’”，那么它就必須要滿足一個條件，即第一次被主持人打開的那扇空門，從第二次開始永遠不可能被參賽者選中。因為第一次時，不管參賽者選擇“換”還是“不換”都不可能選中那扇被主持人打開的空門，這是可以確定的事件。因此，那扇空門是可以排除的。只有滿足這個條件，“永遠不換”才等于“永遠‘不換’”。“不換”不能等于“沒有換的機會”的關鍵就在于如果有兩次以上的實驗，第一次實驗被主持人打開的空門在第二次實驗時就有可能被參賽者選中。美國的流言終結者的實驗失敗的原因和游戲節目統計的數據錯誤的問題就在于，第一次被打開的空門在第n次被參賽者選中了。這樣的實驗具有非常強的迷惑性，并且它剛好證實了那個詭辯。同理，“換”，“有換的機會”，“永遠換”的區別也在這里。
我們反過來再看看之前“2/3”的推理過程。
? ? ? ? 當參賽者轉向另一扇門而不是維持原先的選擇時，贏得汽車的機會將會加倍。
? ? ? ? 有三種可能的情況，全部都有相等的可能性(1/3)︰
假設1：參賽者挑空門一號，主持人挑空門二號。轉換將贏得汽車。
假設2：參賽者挑空門二號，主持人挑空門一號。轉換將贏得汽車。
假設3：參賽者挑汽車，主持人挑空門一號。轉換將失敗。
假設4：參賽者挑汽車，主持人挑空門二號。轉換將失敗。
如果使用上面給出的假設進行推理得出的答案就是換的概率是“2/3”。那么問題就出在給出的假設中，如果我們把假設1234看成四次實驗，第一次實驗“參賽者挑空門一號，主持人挑空門二號。轉換將贏得汽車。”第二次實驗“參賽者挑空門二號，主持人挑空門一號。轉換將贏得汽車。”第三次實驗“參賽者挑汽車，主持人挑空門一號。轉換將失敗。”第四次實驗“參賽者挑汽車，主持人挑空門二號。轉換將失敗。”那么問題就出現了，如果第一次實驗“主持人挑空門二號”，那么第二次實驗“參賽者挑空門二號”就是與“第一次被主持人打開的那扇空門，從第二次開始永遠不可能被參賽者選中”的條件相矛盾。看似沒有矛盾的假設1234，實際上是相互矛盾的，如果出現了假設1就不允許出現假設2；如果出現了假設2就不允許出現假設1。因此，利用上面的假設條件進行計算是錯誤的。
結論：“三門問題”在數學界一直被認為是真理，其實它是一個詭辯。“換”贏得汽車的概率是1/2，2/3是思維給我們的錯覺。“三門問題”從數學思維的角度思考是不會發現問題的，甚至實驗也不可信。只有哲學的思維方式才能找出問題之所在，概率不受人的主觀影響，它依托在客觀事物上，只有不確定的事件才有“概率”的說法。
