-1- 向量空間

線性代數本質上研究有限維數上的線性映射（亦可稱作線性變換）。

為此需要先定義向量空間，并給出其基本性質。

1.1?

#1 復數

在已知實數集的基本性質的前提下，我們定義復數（Complex Number）：

1）一個復數是一個有序實數對，可寫為，稱為實部，為虛部

2）記所有復數構成的集合為

3）復數集上的加法和乘法定義為：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

事實上，根據 i2=-1，運用實數集中的多項式運算即可得到上述3)中結論

不難發現，若一個復數的虛部為零，則其為一個實數，于是我們說：實數集是復數集的一個子集。

復數有如下基本的算術性質，且全部可以由定義推出。

交換性：

結合性：

分配性：

存在單位元：

存在加法逆元：

存在乘法逆元：

根據以上性質，我們可以定義復數的減法和除法（所以說數學是很嚴謹的)：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

即：減去一個復數等于加上它的加法逆元，除以一個復數等于乘上它的乘法逆元，我們可以類比到實數中的相反數與倒數。

#2 域，組

下面我們給出域(Field)的概念而不是它的定義：

域是一個集合，且對定義在域上的某些運算封閉，這表示以一個域中的元素做定義在該域上的運算最終會得到該域中的元素。（這個說法也并不準確甚至可以說有謬誤）

例如，有理數域對四則運算封閉。這表明任意兩個有理數通過四則運算得到的結果仍是有理數

在下文中，用記號F表示域(一般指代實數域和復數域)。

我們稱域中的元素為標量(Scalar)，更習慣的說法是，它是一個數，而數是沒有方向的（區別于后文將會提及的向量）

并定義：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

于是：

下面給出組(List)的概念：

記n為一個非負整數，那么長度為n的組是指n個有順序的元素，元素可以是數或者某些更抽象的東西，具有如下形式，

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

其中n是一個給定的數，區別于數列，組具有一定的長度(length)，這個長度可以是0（對應空的一個組）。不難聯想到在Python語言中的一種數據類型——元組(Tuple)，這里需要指出的是，組的概念中本身就包含了有序性，因此是與集合不同的（集合的元素是無序的）。

#3?

下面給出定義：

? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

為什么要定義這個集合？

我們不妨做這樣的考慮（具象意義上的）：集合實際上覆蓋了一個空間，空間中的每個點都可以看做是一個集合中的元素，而這些點的坐標具有的形式（稱為第i個坐標），盡管實際上這些坐標并不一定是數（它可能是組或者是更抽象的東西），但這并不妨礙我們以這種形式理解它。

下面我們定義上的加法運算：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

這表明該加法實際上是對應坐標的相加。我們可以看出對加法具有交換性，并可以以此來定義其上的減法。

注：在中我們也能找到加法單位元，它是一個長度為n且各個坐標都為0的List。同時也能找到加法逆元，它是一個元素各個坐標各自的逆元有序構成的List.

#4 向量

我們常常這么描述一個向量(Vector)：一個向量是一個既有方向又有大小的量。

受限于線性代數本身，我們不妨將視野收回到上，并簡單地讓n取一些熟悉的數：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

不難發現，這便是二維坐標的形式，我們把該集合中每一個元素看成是由原點出發到達點的箭頭，那么集合中的每一個元素便既有大小(在這里是長度)，又有方向，所以是一個向量。

有了這些之后，便可以更進一步地明確高中時所講過的向量加法的描述，并進一步理解何謂 零向量 。

下面我們來考察更一般的向量，嚴格來說，向量是向量空間中的元素，在此處可以理解成凡是符合上文所給出的的模板的量都可以稱之為向量。

那么根據記憶，我們理應再定義一個上的乘法，但事實上我們并不能僅僅想當然地將兩個中元素對應坐標相乘來得到一個合理的結果，而給出合法的定義卻又不在本文范圍之內，為此，我們先定義向量的數乘(標量乘法):

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

即用該數分別乘以向量中的每一個坐標，以同樣的順序排列即可。

在后面，我們將會提及向量的數量積和外積，并真正給出向量空間的定義。

本篇筆記到此結束。

2023.1.10