1.斐波那契數列問題

題目：求斐波那契數列的第n項

寫一個函數，輸入n，求斐波那契(Fibonacci)數列的第n項
斐波那契數列的定義如下：
　　　 ┌ 0　　　　　　　,　　n = 0
f(n)=　 ├ 1　　　　　　　,　　n = 1
　　　 └ f(n-1) + f(n-2)　　,　　n > 1

0,1,1,2,3,5,8,13…

思路

函數本身是遞歸定義，直接用遞歸方式編寫代碼，在遞歸樹中可以得知，這個過程中出現很多重復節點，時間復雜度是指數級。因此不實用。
比較好的思路是從底向上計算f(n)，保留兩個下層函數f(n-1) , f(n-2)的值用于下輪計算。
實現如下：

public static int Fibonacci(int n) {
    if(n <= 0) 
        return 0;
    if(n == 1) 
        return 1;

    int fibNumOne= 0;
    int fibNumTwo= 1;
    int fib = 0;
    for(int i = 2; i <= n; ++i) {
        fib =  fibNumOne + fibNumTwo;
        fibNumOne= fibNumTwo;
        fibNumTwo= fib;
    }
    return fib;
}

2.跳臺階問題

題目

一只青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法。

思路

很明顯的求斐波那契數列類型的題目
當跳n級臺階的時候，設跳法有f(n)種
青蛙的第一步，可以跳1級，也可以跳2級（只有這兩種選擇）

1. 當跳1級的時候，剩下的有f(n-1)種
2. 當跳2級的時候，剩下的有f(n-2)種
   因此, f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 2, f(n) = f(n-1) + f(n-2)

3.變態跳臺階問題

題目

一只青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級……它也可以跳上n級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法。

思路

跳上1級臺階有1種跳法（1）
跳上2級臺階有2種跳法（1-1、2）
跳上3級臺階有4種跳法（1-1-1、1-2、2-1、3）
討論一般情況：假設跳上n級臺階有f(n)種跳法
f(n)種方法包括：
跳上1級臺階后直接跳上n級臺階 ，此時有f(1)種跳法
跳上2級臺階后直接跳上n級臺階 ，此時有f(2)種跳法
跳上3級臺階后直接跳上n級臺階 ，此時有f(3)種跳法
……
跳上n-1級臺階后直接跳上n級臺階 ,此時有f(n-1)種跳法
直接跳上n級臺階 ，此時有1種跳法
得到：
當n=1時，f(n) = 1
當n>1時， f(n) = f(1) + f(2) + … + f(n-1) + 1
因此：
f(n) = 2 ^ (n-1)

實現

public static int JumpFloorII(int target) {
    if(target <= 0) 
        return 0;
    int result = 1;
    for(int i = 0; i < target-1; ++i) {
        result *= 2;
    }
    return result;
}