時間復(fù)雜度

數(shù)量級排序

常見的算法時間復(fù)雜度由小到大依次為：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n²)＜Ο(n³)＜…＜Ο(2ⁿ)＜Ο(n!)

P和NP問題

其中Ο(log2n)、Ο(n)、 Ο(nlog2n)、Ο(n²)和Ο(n³)稱為多項式時間，而Ο(2ⁿ)和Ο(n!)稱為指數(shù)時間。

計算機(jī)科學(xué)家普遍認(rèn)為前者（即多項式時間復(fù)雜度的算法）是有效算法，把這類問題稱為P（Polynomial,多項式）類問題，而把后者（即指數(shù)時間復(fù)雜度的算法）稱為NP（Non-Deterministic Polynomial, 非確定多項式）問題。

注意：一般來說多項式級的復(fù)雜度是可以接受的，很多問題都有多項式級的解——也就是說，這樣的問題，對于一個規(guī)模是n的輸入，在n^k的時間內(nèi)得到結(jié)果，稱為P問題。有些問題要復(fù)雜些，沒有多項式時間的解，但是可以在多項式時間里驗證某個猜測是不是正確。比如問4294967297是不是質(zhì)數(shù)？如果要直接入手的話，那么要把小于4294967297的平方根的所有素數(shù)都拿出來，看看能不能整除。還好歐拉告訴我們，這個數(shù)等于641和6700417的乘積，不是素數(shù)，很好驗證的，順便麻煩轉(zhuǎn)告費馬他的猜想不成立。大數(shù)分解、Hamilton回路之類的問題，都是可以多項式時間內(nèi)驗證一個“解”是否正確，這類問題叫做NP問題。

計算方法

for (i=1; i<=n; i++)  
       x++;  
for (i=1; i<=n; i++)  
    　for (j=1; j<=n; j++)  
          x++;  

只需計算基本語句執(zhí)行次數(shù)的數(shù)量級，這就意味著只要保證基本語句執(zhí)行次數(shù)的函數(shù)中的最高次冪正確即可，可以忽略所有低次冪和最高次冪的系數(shù)。
第一個for循環(huán)的時間復(fù)雜度為Ο(n)，第二個for循環(huán)的時間復(fù)雜度為Ο(n²)，則整個算法的時間復(fù)雜度為Ο(n+n²)=Ο(n²)。

簡單的程序分析法則:
(1).對于一些簡單的輸入輸出語句或賦值語句,近似認(rèn)為需要O(1)時間
(2).對于順序結(jié)構(gòu),需要依次執(zhí)行一系列語句所用的時間可采用大O下"求和法則"
求和法則:是指若算法的2個部分時間復(fù)雜度分別為 T1(n)=O(f(n))和 T2(n)=O(g(n)),則 T1(n)+T2(n)=O(max(f(n), g(n)))
特別地,若T1(m)=O(f(m)), T2(n)=O(g(n)),則 T1(m)+T2(n)=O(f(m) + g(n))
(3).對于選擇結(jié)構(gòu),如if語句,它的主要時間耗費是在執(zhí)行then字句或else字句所用的時間,需注意的是檢驗條件也需要O(1)時間
(4).對于循環(huán)結(jié)構(gòu),循環(huán)語句的運行時間主要體現(xiàn)在多次迭代中執(zhí)行循環(huán)體以及檢驗循環(huán)條件的時間耗費,一般可用大O下"乘法法則"
乘法法則: 是指若算法的2個部分時間復(fù)雜度分別為 T1(n)=O(f(n))和 T2(n)=O(g(n)),則 T1T2=O(f(n)g(n))
(5).對于復(fù)雜的算法,可以將它分成幾個容易估算的部分,然后利用求和法則和乘法法則技術(shù)整個算法的時間復(fù)雜度
另外還有以下2個運算法則:(1) 若g(n)=O(f(n)),則O(f(n))+ O(g(n))= O(f(n))；(2) O(Cf(n)) = O(f(n)),其中C是一個正常數(shù)

舉例

O(1)

Temp=i; i=j; j=temp;  

注意：如果算法的執(zhí)行時間不隨著問題規(guī)模n的增加而增長，即使算法中有上千條語句，其執(zhí)行時間也不過是一個較大的常數(shù)。此類算法的時間復(fù)雜度是O(1)。

O(n^2)

1. 交換i和j的內(nèi)容

sum=0；                 （一次）  
for(i=1;i<=n;i++)     （n+1次）  
   for(j=1;j<=n;j++) （n2次）  
    sum++；            （n2次）  

因為Θ(2n²+n+1)=n^2（Θ即：去低階項，去掉常數(shù)項，去掉高階項的常參得到），所以T(n)= =O(n²)；

for (i=1;i<n;i++)  
 {   
     y=y+1;         ①     
     for (j=0;j<=(2*n);j++)      
        x++;         ②        
 }  

該程序的時間復(fù)雜度T(n)=O(n2).
一般情況下，對步進(jìn)循環(huán)語句只需考慮循環(huán)體中語句的執(zhí)行次數(shù)，忽略該語句中步長加1、終值判別、控制轉(zhuǎn)移等成分，當(dāng)有若干個循環(huán)語句時，算法的時間復(fù)雜度是由嵌套層數(shù)最多的循環(huán)語句中最內(nèi)層語句的頻度f(n)決定的。

O(n)

與上方雷同，較簡單，忽略

O(n^3)

與上方雷同，較簡單，忽略

常用的算法的時間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度

這里寫圖片描述

一個經(jīng)驗規(guī)則：其中c是一個常量，如果一個算法的復(fù)雜度為c 、 log2n 、n 、 n*log2n ,那么這個算法時間效率比較高 ，如果是2ⁿ ,3ⁿ ,n!，那么稍微大一些的n就會令這個算法不能動了，居于中間的幾個則差強(qiáng)人意。

空間復(fù)雜度

空間復(fù)雜度(Space Complexity)是對一個算法在運行過程中臨時占用存儲空間大小的量度。一個算法在計算機(jī)存儲器上所占用的存儲空間，包括存儲算法本身所占用的存儲空間，算法的輸入輸出數(shù)據(jù)所占用的存儲空間和算法在運行過程中臨時占用的存儲空間這三個方面。

1.算法的輸入輸出數(shù)據(jù)所占用的存儲空間是由要解決的問題決定的，是通過參數(shù)表由調(diào)用函數(shù)傳遞而來的，它不隨本算法的不同而改變。

2.存儲算法本身所占用的存儲空間與算法書寫的長短成正比，要壓縮這方面的存儲空間，就必須編寫出較短的算法。

3.算法在運行過程中臨時占用的存儲空間隨算法的不同而異，有的算法只需要占用少量的臨時工作單元，而且不隨問題規(guī)模的大小而改變，我們稱這種算法是“就地"進(jìn)行的，是節(jié)省存儲的算法；

有的算法需要占用的臨時工作單元數(shù)與解決問題的規(guī)模n有關(guān)，它隨著n的增大而增大，當(dāng)n較大時，將占用較多的存儲單元。

如當(dāng)一個算法的空間復(fù)雜度為一個常量，即不隨被處理數(shù)據(jù)量n的大小而改變時，可表示為O(1)；
當(dāng)一個算法的空間復(fù)雜度與以2為底的n的對數(shù)成正比時，可表示為0(log2n)；
當(dāng)一個算法的空間復(fù)雜度與n成線性比例關(guān)系時，可表示為0(n).

引用：http://blog.csdn.net/zolalad/article/details/11848739