Content
- concepts
- Priciple
- 案例1: simple pendulem
- 案例2: simple Spring-Mass model
- Summary window
- Reference
- Log
1 Concepts
振動 Vibration
物體離開ta原本所處的位置，或某一固定位置(如平衡位置)做往復(fù)的運(yùn)動就是振動。
- 人：人的耳膜振動聽到外界聲音
- 樂器：吉他振動發(fā)出Music（當(dāng)然彈不好就會變成Noise）
- 路面汽車：汽車行駛在路面上受到路面激勵所產(chǎn)生的振動（要是這個振動頻率和人內(nèi)臟的固有頻率接近時，人就會有很大可能出現(xiàn)暈車反應(yīng)）
- 天空飛機(jī)：飛機(jī)飛行時機(jī)翼振動
- 發(fā)動機(jī)振動
- 分子振動等
自由振動 Free vibration
物體（系統(tǒng)）不受外界激勵的情況下，離開其靜止位置（平衡位置）或其初始存在速度不為0而導(dǎo)致物體作往復(fù)運(yùn)動就是自由振動。
自由響應(yīng) Free response
在自由振動下的系統(tǒng)的響應(yīng)即為自由響應(yīng)。
牛頓第二運(yùn)動定律 Newton's Second Law
F = ma
2 Priciple
The physical explanation of the phenomena of vibration concerns the interplay between potential energy and kinetic energy. A vibrating system must have a component that stores potential energy and releases it as kinetic energy in the form of motion (vibration) of a mass. The motion of the mass then gives up kinetic energy to the potential-energy storing device.
3 案例1: 單擺
先把這個單擺(鉸鏈、桿rod 和 質(zhì)量m組成)移動到某一固定位置，如簡圖b所示，再松開手，讓其運(yùn)動，該單擺就在重力作用下作自由振動，其響應(yīng)就是自由響應(yīng)。
在分析之前，我們需要對圖(a)中的單擺系統(tǒng)作些假設(shè)。你看物理其實(shí)是對實(shí)際現(xiàn)象做一些簡化，列出一些方程，再用數(shù)學(xué)的方法求解。 建模求解。
Assumption[1]：
- 忽略摩擦影響：沒有能量消耗
- 不計(jì)桿子質(zhì)量：質(zhì)量只集中在物體mass處
- 單擺只在一個平面內(nèi)作運(yùn)動
- 小角度運(yùn)動 θ 很小：sinθ 約等于 θ
free body diagram
在這些假設(shè)下，可作出系統(tǒng)的受力圖 free body diagram，圖b。
motion equation
使用Euler's Second Law，列出運(yùn)動方程。
符號含義：
- Mo：對O點(diǎn)的力矩 moments about the point O
- J：對O點(diǎn)的物體質(zhì)量的慣性矩 the mass moment of inertial of the mass m about the point O
- α：角加速度 the angular acceleration vector
這樣就得到了運(yùn)動方程，線性運(yùn)動微分方程，運(yùn)用下數(shù)學(xué)知識求解，可得系統(tǒng)自由響應(yīng)。
4 案例2：simple Spring-Mass model
我們再來看看下圖的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。
光滑地面上，質(zhì)量為m的物體通過彈簧與固定處相連接，彈簧質(zhì)量不計(jì)，彈簧剛度為k，最初彈簧在其平衡位置（沒有伸長量），向右設(shè)為x軸正向。
假設(shè)
- 忽略阻力，能量消耗
- 不計(jì)彈簧質(zhì)量
- 彈簧力在其線性范圍之內(nèi)
free body diagram
如圖1.5 b 所示, fk 為 彈簧力 為 kx，mg 為重力。
motion equation
假如物體向右移動一點(diǎn)x，那么受到彈簧向左的拉力左右 fk = -kx （因?yàn)橄蜃螅枮樨?fù)），根據(jù)牛頓第二運(yùn)動定律，可得到運(yùn)動方程。
求解
令方程解為：
設(shè)：
wn為系統(tǒng)的 固有頻率 natural frequency.
類似的響應(yīng)曲線
若知道初始條件，就可以求出幅值A(chǔ) 和初始相位。
以上 求得的解 x(t) 為KM系統(tǒng)的自由響應(yīng)（在t=0 時，系統(tǒng)沒有外力作用）。彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的運(yùn)動為簡諧運(yùn)動 simple harmonic motion or 振蕩運(yùn)動 oscillatory motion.該系統(tǒng)也是個單自由度無阻尼系統(tǒng)[1]。
其中相位的求解可以通過下圖三角法來求解，可以很好確定相位所在象限。
5 Summary window [1]
單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程類似。
簡諧運(yùn)動SHM匯總。
6 Reference
[1] Inman D J, Singh R C. Engineering vibration[M]. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2001.
7 log
@安然Anifacc
2017-01-04 11:00:30
