邏輯規則給出數學語句的準確含義
為了理解數學，我們必須理解正確的數學論證（即證明）是由什么組成的。只要證明一個數學語句是真的，我們就稱之為一個訂立。
1.1 命題邏輯
1.1.1 引言
邏輯規則給出數學語句的準確含義，這些規則用來區分有效和無效的數學論證。
1.1.2命題
命題是一個或真或假的陳述語句，即一個陳述事實的句子，但不能既真又假
例如，華盛頓是美國的首都
1+1 = 2
2+2=3
我們用字幕來表示命題變元，代表命題的變量。就想用字幕表示數字變量那樣。習慣上用字幕p,q,r,s……
如果一個命題是真命題，它的真值為真，用T表示；如果它是假命題，其真值為假，用F表示。
定義1-1命題的否定
使用真值表進行判斷
定義2 并且
定義3 或（同或）：當析取中的兩個命題之一為真或兩針均為真時，析取成真
定義4 異或：當兩個命題只有一個為真時命題為真，否則為假。
1.1.3條件語句
定義5 若p,則q，只有p為真且q為假時，命題為假。
條件語句的變形：逆、倒置與反
逆蘊含
倒置蘊含——逆否命題——真值與原命題相同
反蘊含——兩個命題順序不變，只是兩個命題都加了否定
等價
當兩個復合命題總是具有相同的真值時，我們稱之為等價。
一個條件語句與它的倒置等價
一個蘊含的逆蘊含與反蘊含也是等價
可以用真值表進行判斷。
雙條件語句
定義6 p當且僅當q。當p和q有同樣的真值時，雙條件語句為真，否則為假。
雙條件的隱含引用
在自然語言中，雙條件并不總是顯示的。“你吃飯完才可以吃餐后甜點”
1.1.4 復合命題的真值表
上一部分介紹了4中重要的邏輯連接詞——合取、析取、條件（雙條件）、否定。
這個工具非常好用！！
1.1.5 邏輯運算符的優先級
優先級順序為：否定、合取、析取、條件、雙條件
1.1.6 翻譯語句
有許多理由需要把語言翻譯成由命題變量和邏輯聯接詞組組成的表達式，特別是因為語言（包括一切人類語言）常有二義性，而把句子譯成邏輯表達式可以消除歧義。
例如，只有你主修計算機科學或不是新生，才可以從校園網訪問因特網
我們的辦法是用命題變元表示其中的每一個句子成分，并找出其間合適的邏輯聯結詞。具體地說，令a、c和f分別表示“你可以從校園網訪問因特網”、“你主修計算機科學”和“你是個學生”。注意到“只有……，才……”
1.1.7 系統規范說明
在說明硬件系統和軟件系統時，將自然語言語句翻譯成邏輯表達式是很重要的一部分。系統和軟件工程師從自然語言中提取需求，生成精確、無二義性的規范說明，這些規范說明可作為系統開發的基礎。
例如“當文件系統寫滿時，自動應答不能夠發出”
p表示“自動應答能夠發出”，q表示“文件系統滿了”
1.1.8 布爾檢索
例如網頁檢索 NEW AND MEXICO AND UNIVERSITY
1.1.9 邏輯難題
可以用邏輯推理解決的難題稱為邏輯難題。
例如奧數題中，一直說謊話，一直說真話的人。
1.1.10 邏輯運算和位運算
位運算只有0、1
邏輯運算充當其中的運算法則
1.2 命題等價
1.2.1 引言
復合命題=用于邏輯運算的命題變元形式的表達式
定義1 如果無論其中出現的命題的真值是什么，它的真值總是真的，這種復合命題稱為永真式（或重言式）。真值永遠為假的復合命題稱為矛盾。最后，既不是永真式又不是矛盾的命題稱為可能式。
1.2.2邏輯等價
在所有可能的情況下都有相同真值的兩個復合命題稱為邏輯等價。
定義2：如果雙條件是永真式，命題p和q稱為是邏輯等價。有一個特定的符號
判斷方法：真值表。
例2 德摩根律
表1-16
1.2.3 德摩根律的應用，主是要是用在命題的等價翻譯
1.2.4 構建新的邏輯等價式
定義3一個合取式包括每個變量，每個變量（包括變量的否定）出現一次且僅一次，稱這樣的合取式為小項。由若干個小項析取構成的析取式，成為析取范式。
定義4 一個析取式包含每個變量，每個變量（包括變量的否定）出現一次且僅一次，稱這樣的合取式為大項。由若干個大項的合取構成的合取范式。
1.3 謂詞和量詞
1.3.1引言
1.1和1.2學習的命題邏輯，不能充分地表達數學語言和自然語言中語句的意思。
我們要怎么判斷“有一臺連接在大學網絡的計算機正遭受入侵者的供給”
1.3.2謂詞
“x>3”這個語句有兩部分，第一部分即變量x是語句的主語，第二部分謂詞“大于3”，表明語句的主語會有一個性質。我們可以用P（x）表示語句“x>3”，其實P表示謂詞“大于3”，而x是變量。也把語句P(x)說成是命題函數P在x的值。一旦變量x賦一個值，語句P(x)就成為命題，因為有真值。
例子令A(x)表示語句“計算機x正被一個入侵者攻擊”。假設在校園的計算機中，只有CS2和MATH1經常被入侵者攻擊，那么A(CS1)A(CS2)A(MATH)的真值是什么？
一般涉及n個變量x1，x2,x3,...,xn的語句可以用P(x1,x2,x3,...,xn)表示
形為P(x1,x2,x3,...,xn)的語句是命題函數P在n元組(x1,x2,x3,...,xn)的值，P也稱為n元謂詞。
1.3.3 量詞
當命題函數中所有變量均被賦值時，得到的命題有一個真值。還有另一重要方式，也可以從命題函數產生命題，這就是量化。
量化表示謂詞在一定范圍的事物上成立的程度。
在語言中，單詞“所有”、“一些、“許多”、”沒有“以及”沒幾個“被用于量化。
這兩導論兩類量化 全稱量化 & 存在量化
全稱量化：它告訴我們一個謂詞在所考慮的每一對象中都為真。
存在量化，它告訴我們一個謂詞對所考慮中的一個或多個對象為真。
處理謂詞和量詞的邏輯領域稱為謂詞演算。
定義1 P(x)的全稱量化是語句“P(x)對x在其論域的所有值為真”。
定義2 P(x) 的存在量化是命題“論域中存在一個元素x滿足P(x)”
1.3.4 其他量詞
不同量詞沒有數量的限制，如“確定有2個”，“有不超過3個”
1.3.5 約束論域量詞
對論域進行約束
1.3.6量詞的優先級
量詞比所有命題演算的邏輯運算符有更高的優先級
1.3.7綁定變量
當量詞作用于變量x時，我們說此變量的這一次出現為綁定的。沒有被量詞綁定或設置為與某一特定值相等的變量出現稱為自由的。
出現在命題函數中的所有變量必須是綁定的，才能把此命題函數轉變為命題。可以用全稱量詞、存在量詞和賦值來完成轉變。
邏輯表達式中應用連詞的部分稱為這個量詞的作用于。因此，一個變量是自由的——如果在指定這個變量的公式中，變量在所有量詞的作用于之外。
1.3.8 涉及量詞的邏輯等價
定義3 涉及謂詞和量詞的語句是邏輯等價的，當且僅當無論什么謂詞代入這些語句，也無論用哪個個體論域于這些命題函數里的變量上，它們都有相同的真值。
1.3.9 否定量化表達式
“班上每個學生都學過一門微積分課。”
翻譯語句為邏輯表達式
例23 使用謂詞和量詞表達語句“班上的每個學生都學過微積分”
重寫“對班上每一個學生，該學生學過微積分課”
引入變量x，語句就變成
“對班上的每一個學生x，x學過微積分課”
引入謂詞C(x)，表示語句“x學過微積分課”。因此，如果x的論域是班上的學生，我們可以將將語句進行翻譯
然而還有其他正確的翻譯方法，并可以使用不同的論域和其他謂詞。具體選擇什么方法取決于后續要進行的推理。例如，我們可能對更廣泛的人群感興趣，而不僅僅是班上的學生。如果將論域改成所有人，則語句就要變成
“對每個人x，如果是x是班上的學生，那么x學過微積分課。”
如果S(x)便是語句x在這個班上，則我們的語句可表達為~~~~~
1.3.11 在系統說明中運用量詞
例23 用謂詞和量詞表達系統說明“每封大于1MB的郵件將被壓縮”和“如果用戶處于活狀態，那么至少有一個網絡連接有效。”
解：令S(m,y)表示“郵件m大于yMB”，其中變量x的論域是所有郵件，變量y是一個正實數。令C(m)表示“郵件m將被壓縮”，那么說明“每封大于1MB的郵件將被壓縮。”
對于所有的m,S(m,1)->C(m)
1.3.12 選自Lewis Carroll的例子
1.3.13邏輯程序設計
1.4嵌套量詞
1.4.1引言
1.3定義了存在量詞和全稱量詞，并展示了如何用它們來表示數學語句。我們也解釋了用他們來將漢語語句翻譯成邏輯表達式。
嵌套量詞
循環量化考慮。對多個變量使用量詞時，借助嵌套循環來思考是有益的。
1.4.2量詞的順序
除非所有量詞均為全稱量詞或均為存在量詞，否則量詞的順序是重要的。
1.4.3 將數學語句翻譯成涉及嵌套量詞的語句
用漢語表達的數學語句可以被翻譯成邏輯表達式
例6：將語句“兩個正整數的和是整數”翻譯成邏輯表達式
首先重寫，以顯示隱含的量詞和論域：“對每兩個整數，如果它們都是正的，那么它們的和是正數。”
然后引入變量x和y就得到“對所有正整數x和y，x+y是正數”
1.4.4將嵌套量詞翻譯為漢語
1.4.5 將漢語語句翻譯成邏輯表達式
1.4.6 否定嵌套量詞
1.5 推理規則
1.5.1 引言
這部分是學習證明。在數學中，證明是建立在數學命題真實性之上的有效論證。對于一個論證，是指表示一連串的命題最終得出結論。對于有效性，是計劃得出結論或者論證的最終命題，其過程必須依據前面命題或者論證的前提的真實性。也就是說，一個論證是真實的，當且僅當 它是所有的前提為真而結論為假是不可能的。
1.5.2 命題邏輯的有效論證
“若果你有一個正確的密碼，那么你可以登錄到網絡”
前提：“你有一個正確的密碼”
所以：“你可以登錄到網絡”
我們想知道這是否是一個有效論證。也就是說，想要判斷當前提“如果你有一個正確的密碼，那么你可以登錄到網絡”和“你有一個正確的密碼”都為真時，結論“你可以登錄到網絡”是否為真。
p 蘊含q為真，p為真，就可以推出q也為真
定義1 命題邏輯中的一個論證是一連串的命題。除了論證中最后一個命題外都叫前提，最后那個命題叫結論。當它的所有前提為真意味著結論為真時（蘊含成立），一個論證有效
1.5.3 命題邏輯的推理規則
除了上述的論證，還有其他的推理規則
1.5.4 用推理規則建立論證
當有許多前提時，為了證明一個論證是有效的，常常需要多個推理規則。
證明：前提”今天下午沒有出太陽并且今天比昨天冷“，”只有今天下午出太怎樣，我們才去游泳“，”若我們不去游泳，則我們將乘獨木舟游覽“，以及”若我們乘獨木舟游覽，則我們將在黃昏時回家“，導致結論”我們將在黃昏時回家“。
1.5.5消解
已經開發出自動執行推理和證明定理任務的計算機程序。許多這類程序利用稱為消解的推理規則。
有一個永真式
1.5.6謬誤
幾種常見的謬誤都來源于不正確的論證。這些謬誤看上去像是推理規則。但是他們是給予偶然事件而不是永真式。在這里討論這些謬誤，是為了說明正確與不正確的推理之間的區別。
1.5.7 帶量詞命題的推理規則
全稱例示
全稱生成
存在例示
存在生成
1.6證明導論
1.6.1 引言
證明是建立在數學語句真實性基礎上的有效論證。證明可以用電力，假設為真的公里以及之前已經證明的定力的假設。
1.6.2一些專用術語
一個定理是一個能夠表明是真的語句。
引理：在其他結果證明中很有幫助的不大重要的定理成為引理
推論：從定理直接建立被證明的定理。
猜想：是被提出為真的命題，通常是在一些依據的基礎上，啟發式論證，或者專家的一個直覺。當找到一個猜想的證明，猜想就變成了定理。許多猜想是錯誤的。
1.6.4 定理陳述的理解
先要理解隱含的論域
1.6.4 證明定理的方法
