Time Flies
## 貝葉斯定理
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警察抓酒鬼
問題描述：酒鬼有90%概率外出喝酒，只有可能在A、B、C三個酒吧，概率相等，警察想去抓酒鬼，已知去了前兩個酒吧都沒抓到他，求去第三個酒吧抓到酒鬼的概率。
自己的解法：
用A、B代替前兩個酒吧，C代替最后一個酒吧，C=1代表在酒吧C中抓到酒鬼，C=0代表沒有在酒吧C中抓到酒鬼
在C=1發生的情況下，A=0且B=0的概率為1，P(A=0,B=0|C=1)=1
在A=0發生的情況下，B=0的概率為0.4/0.7，P(B=0|A=0)=0.4/0.7
用貝葉斯公式可以得：
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李永樂老師的解法：
設事件A1為喝酒，事件A2為不喝酒，事件B1為警察在查前兩個酒吧時抓住酒鬼，事件B2為警察在查前兩個酒吧沒抓住酒鬼
酒鬼喝酒的情況下，警察在前兩個酒吧沒抓住酒鬼的概率，也就等于酒鬼喝酒在C的概率，P(B2|A1)=1/3
酒鬼不喝酒的情況下，警察在前兩個酒吧沒抓住酒鬼的概率為1，P(B2|A2)=1
用條件概率與全概率公式可得：
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理解：
考慮不同的基本事件，可由不同的過程推導出同樣的答案
三門問題
問題描述：有三道關著的門，門后有不同價值的獎品，分別為車、羊、羊，玩家希望獲得車，當玩家選擇了一扇門后，主持人會打開一扇只含羊的門，然后問玩家要改變自己的選擇嗎？即改變前后，中獎的概率會變化嗎？
解法：
不改變決策：主持人打不打開只含羊的門跟你沒關系，中獎概率僅取決于第一次選擇，P=1/3
改變決策：
直觀解法：
假設1:選擇的是羊，主持人打開了羊，于是換成車，bingo！
假設2:選擇的是羊，主持人打開了羊，于是換成車，bingo！
假設3:選擇的是車，主持人打開了兩個羊中的一個，于是換成另一個羊，sad！
三個假設的事件概率相等，于是改變決策中獎的概率是P=2/3
貝葉斯公式：
玩家第一次打開的門是A，主持人打開的門是B，事件CarA定義為車在A的概率，事件OpenB定義為主持人打開B的概率
如果車在A門后，那么主持人選擇BC中的一扇門打開，P(OpenB|CarA)=1/2
如果車在C門后，那么主持人只會選擇把B打開，P(OpenB|CarC)=1
于是，車在A的后驗概率為：
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車在C的后驗概率為：
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故，玩家選擇改變策略后，中獎概率從1/3提高到2/3
知乎上的一些回答：
"If you change, you win when your original choice was wrong; if you don't change, you win when your original choice was right." — Horst Hohberger
作者：Laputa
鏈接：https://www.zhihu.com/question/26709273/answer/157940623
來源：知乎
著作權歸作者所有。商業轉載請聯系作者獲得授權，非商業轉載請注明出處。
你手頭的這扇門，和另一扇門的區別是：另一扇門經過了一次考驗，它曾經可能被排除掉，然而它并沒有。你手頭的門卻一直被你保護著不被主持人排除掉，顯然經歷過考驗的那扇門會更可靠。
作者：魔墮凡塵
鏈接：https://www.zhihu.com/question/26709273/answer/275756035
來源：知乎
著作權歸作者所有。商業轉載請聯系作者獲得授權，非商業轉載請注明出處。
聯想
玩家在面臨三選一的抉擇時，正確的概率為1/3，這個是事實，假設主持人排除掉錯誤答案的時機是在玩家在做選擇前，主持人排除掉的選項玩家是無論如何也不會去選的，也就是說這時變成了二選一，當然正確的概率為1/2。
玩家做出三選一的抉擇后，另外兩扇門應該是等價的，主持人排除掉一個，那么兩扇門就變得不等價了，正如知乎上所說的，另一扇門經過了一次考驗，使得概率增強
兩個問題的聯系
錯誤的思考
酒鬼喝酒的概率是0.9，在A、B沒被抓住，那么喝酒的事件被壓縮到C上，喝酒的概率為0.9，在C中被抓到的概率為0.9
玩家三選一，主持人去掉一個錯誤答案，只剩一個正確答案和錯誤答案，于是概率為0.5
錯在哪？
警察抓酒鬼之前，是不知道酒鬼的狀態的，酒鬼有可能在家，也有可能在A、B、C中的一個，警察跑了兩個酒吧，消除了兩種喝酒狀態，也就說降低了喝酒的概率，原來喝酒的概率是0.9，現在喝酒的概率是0.75
主持人去掉一個錯誤答案時，他是知道哪個是錯誤的，對于玩家而言，他中獎的概率提高了，原來是1/3，現在（改變決策）是2/3
擴展
如果酒鬼提前給警察打好招呼，肯定不去A和B，那如果警察先去A、B抓人，對酒鬼喝酒的概率沒有影響，原來是0.9，現在還是0.9
如果主持人不告訴玩家一個錯誤答案，那玩家改變決策會對中獎的概率有影響嗎？顯然，玩家還是在三個選擇中打轉，中獎概率還是1/3
三個囚犯
問題描述：有A、B、C三個囚犯，其中一個人被赦免，另外兩人被殺死，有一個看守知道誰被赦免了，但是他不能說誰被赦免了，他只能說兩個要被殺死的人其中一個是誰，而且還不能告訴提問者是否被殺死。A問看守，看守說B要被殺死，求這種情況下，A被赦免的概率。
解法
A沒問看守之前，A、B、C三人被赦免的概率都為1/3
設事件D為看守說出B要被殺死，事件A為A被赦免，事件B為B被赦免，事件C為C被赦免
如果A被赦免，則看守會從BC中選一個說死，則P(D|A)=1/2
如果B被赦免，看守不可能說B死，則P(D|B)=0
如果C被赦免，則看守只能說B死，則P(D|C)=1
那么A、B被赦免的后驗概率為：
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可以發現，當A問了看守后，他生存的概率還是1/3，而C的生存概率從1/3變為了2/3
理解
A問看守，看守只會說B或C會死一個，另一個相當于經過了一次考驗，于是其被赦免的概率增強
其實像這種情形，如果A不關心其他人的死活，去詢問看守是毫無意義的
從C被赦免概率增加來看，C會不會期待A去問看守呢？不會，因為看守有可能會說C死，所以C被赦免概率的增加是以經歷一次生死考驗為代價的
想利用好貝葉斯公式，關鍵是構建合理的事件，把方方面面都考慮到，計算過程是一目了然的
作者：廖少少
鏈接：http://www.lxweimin.com/p/2509cef8d782
來源：簡書
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