? ? ? ? ? 第一單元? 分數乘法
（一）分數乘法的意義：
1、分數乘整數與整數乘法的意義相同。都是求幾個相同加數的和的簡便運算。
例如：? 8/9×5表示求5個8/9的和是多少？
2、分數乘分數是求一個數的幾分之幾是多少。? ?
例如：? 8/9×3/4表示求8/9的3/4是多少？
（二）、分數乘法的計算法則：
1、分數與整數相乘：分子與整數相乘的積做分子，分母不變。（整數和分母約分）
2、分數與分數相乘：用分子相乘的積做分子，分母相乘的積做分母。
3、為了計算簡便，能約分的要先約分，再計算。
注意：當帶分數進行乘法計算時，要先把帶分數化成假分數再進行計算。
（三）、規(guī)律：（乘法中比較大小時）
一個數（0除外）乘大于1的數，積大于這個數。
一個數（0除外）乘小于1的數（0除外），積小于這個數。
一個數（0除外）乘1，積等于這個數。
（四）、分數混合運算的運算順序和整數的運算順序相同。
（五）、整數乘法的交換律、結合律和分配律，對于分數乘法也同樣適用。
乘法交換律：? a × b = b × a
乘法結合律： ( a × b )×c = a × ( b × c )
乘法分配律：（ a + b ）×c = a c + b c? a c + b c = （ a + b ）×c
二、分數乘法的解決問題
（已知單位“1”的量（用乘法），求單位“1”的幾分之幾是多少）
1、畫線段圖：
（1）兩個量的關系：畫兩條線段圖；? ? ? （2）部分和整體的關系：畫一條線段圖。
2、找單位“1”：? 在分率句中分率的前面；? 或? “占”、“是”、“比”的后面
3、求一個數的幾倍：? 一個數×幾倍；? ? ? 求一個數的幾分之幾是多少：? 一個數×幾分之幾。
4、寫數量關系式技巧：?
（1）“的”? 相當于? “×”? ? ? “占”、“是”、“比”相當于“ = ”
（2）分率前是“的”：單位“1”的量×分率=分率對應量
（3）分率前是“多或少”的意思： 單位“1”的量×（1±分率）=分率對應量
三、倒數
1、倒數的意義： 乘積是1的兩個數互為倒數。
強調：互為倒數，即倒數是兩個數的關系，它們互相依存，倒數不能單獨存在。（要說清誰是誰的倒數）。
2、求倒數的方法：
（1）、求分數的倒數：交換分子分母的位置。
（2）、求整數的倒數：把整數看做分母是1的分數，再交換分子分母的位置。
（3）、求帶分數的倒數：把帶分數化為假分數，再求倒數。
（4）、求小數的倒數：? 把小數化為分數，再求倒數。
3、1的倒數是1； 0沒有倒數。? 因為1×1=1；0乘任何數都得0，（分母不能為0）
4、? 對于任意數a(a≠0)，它的倒數為1/a；非零整數a的倒數為1/a；分數的b/a倒數是a/b；
5、真分數的倒數大于1；假分數的倒數小于或等于1；帶分數的倒數小于1。
? ? ? ? ? ? 第三單元? 分數除法
1、分數除法的意義：
乘法： 因數 × 因數 = 積? ? ? ?
除法： 積 ÷ 一個因數 = 另一個因數
分數除法與整數除法的意義相同，表示已知兩個因數的積和其中一個因數，求另一個因數的運算。
2、分數除法的計算法則：
除以一個不為0的數，等于乘這個數的倒數。
3、 規(guī)律（分數除法比較大小時）：
（1）、當除數大于1，商小于被除數；
（2）、當除數小于1（不等于0），商大于被除數；
（3）、當除數等于1，商等于被除數。
4、 “[? ]”叫做中括號。一個算式里，如果既有小括號，又有中括號，要先算小括號里面的運算，再算中括號里面的。
二、分數除法解決問題
（未知單位“1”的量（用除法）： 已知單位“1”的幾分之幾是多少，求單位“1”的量。 ）
1、數量關系式和分數乘法解決問題中的關系式相同：
（1）分率前是“的”：單位“1”的量×分率=分率對應量
（2）分率前是“多或少”的意思： 單位“1”的量×（1分率）=分率對應量
2、解法:（建議：最好用方程解答）
（1）方程：根據數量關系式設未知量為X，用方程解答。
（2）算術（用除法）：分率對應量÷對應分率 = 單位“1”的量?
3、求一個數是另一個數的幾分之幾：就? 一個數÷另一個數
4、求一個數比另一個數多（少）幾分之幾：? 兩個數的相差量÷單位“1”的量 或：
① 求多幾分之幾：大數÷小數 – 1? ? ?
② 求少幾分之幾： 1 -? 小數÷大數
? ? ? ? ? ? ? ? ? 第四單元? 比
比和比的應用
（一）、比的意義
1、比的意義：兩個數相除又叫做兩個數的比。
2、在兩個數的比中，比號前面的數叫做比的前項，比號后面的數叫做比的后項。比的前項除以后項所得的商，叫做比值。
例如? 15 ：10 = 15÷10=3/2（比值通常用分數表示，也可以用小數或整數表示）
? ? ? 15? ? ? ∶? ? ? 10? ＝? 3/2?
? ? ? ↓? ? ? ↓? ? ? ↓? ? ? ? ? ↓
? ? 前項? 比號? 后項? ? ? 比值
3、比可以表示兩個相同量的關系，即倍數關系。也可以表示兩個不同量的比，得到一個新量。例：? 路程÷速度=時間。
4、區(qū)分比和比值
比：表示兩個數的關系，可以寫成比的形式，也可以用分數表示。
比值：相當于商，是一個數，可以是整數，分數，也可以是小數。
5、根據分數與除法的關系，兩個數的比也可以寫成分數形式。
6、 比和除法、分數的聯(lián)系：
7、比和除法、分數的區(qū)別：除法是一種運算，分數是一個數，比表示兩個數的關系。
8、根據比與除法、分數的關系，可以理解比的后項不能為0。? ? ?
體育比賽中出現(xiàn)兩隊的分是2：0等，這只是一種記分的形式，不表示兩個數相除的關系。
（二）、比的基本性質
1、根據比、除法、分數的關系：
商不變的性質：被除數和除數同時乘或除以相同的數（0除外），商不變。
分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘或除以相同的數時（0除外），分數值不變。
比的基本性質：比的前項和后項同時乘或除以相同的數(0除外)，比值不變。
2、最簡整數比：比的前項和后項都是整數，并且是互質數，這樣的比就是最簡整數比。
3、根據比的基本性質，可以把比化成最簡單的整數比。
依據比的基本性質——化簡比：? ? ? ?
方法一:①用比的前項和后項同時除以它們的最大公因數。
②兩個分數的比：用前項后項同時乘分母的最小公倍數，再按化簡整數比的方法來化簡。
③兩個小數的比：向右移動小數點的位置，先化成整數比再化簡。
方法二：用求比值的方法。注意: 最后結果要寫成比的形式。
如：? ? 15∶10 = 15÷10 = 3/2 = 3∶2
5．按比例分配：把一個數量按照一定的比來進行分配。這種方法通常叫做按比例分配。
如：? 已知兩個量之比為a:b，則設這兩個量分別為ax和bx。
6、 路程一定，速度比和時間比成反比。（如：路程相同，速度比是4：5，時間比則為5：4）
? 工作總量一定，工作效率和工作時間成反比。
（如：工作總量相同，工作時間比是3：2，工作效率比則是2：3）
? ? ? ? ? ? ? ? 第五單元? 圓
一、 認識圓
1、圓的定義：圓是由曲線圍成的一種平面圖形。
2、圓心：將一張圓形紙片對折兩次，折痕相交于圓中心的一點，這一點叫做圓心。
圓心一般用字母O表示，它到圓上任意一點的距離都相等。
3、半徑：連接圓心到圓上任意一點的線段叫做半徑。一般用字母r表示。
把圓規(guī)兩腳分開，兩腳之間的距離就是圓的半徑。
4、直徑：通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用字母d表示。
直徑是一個圓內最長的線段。
5、圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。
6、在同圓或等圓內，有無數條半徑，有無數條直徑。所有的半徑都相等，所有的直徑都相等。
7．在同圓或等圓內，直徑的長度是半徑的2倍，半徑的長度是直徑的1/2。
用字母表示為：d＝2r或r ＝ d/2。
8、軸對稱圖形：
如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側的圖形能夠完全重合，這個圖形是軸對稱圖形。
折痕所在的這條直線叫做對稱軸。（經過圓心的任意一條直線或直徑所在的直線）
9、長方形、正方形和圓都是對稱圖形，都有對稱軸。這些圖形都是軸對稱圖形。
10、只有1條對稱軸的圖形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圓。
只有2條對稱軸的圖形是：? 長方形
只有3條對稱軸的圖形是：? 等邊三角形
只有4條對稱軸的圖形是：? 正方形;
有無數條對稱軸的圖形是：? 圓、圓環(huán)。
二、圓的周長
1、圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長。用字母C表示。
2、圓周率實驗：
在圓形紙片上做個記號，與直尺0刻度對齊，在直尺上滾動一周，求出圓的周長。發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，就是圓周長與它直徑的比值是一個固定數（π）。
3．圓周率：任意一個圓的周長與它的直徑的比值是一個固定的數，我們把它叫做圓周率。用字母π表示。
（1）、一個圓的周長總是它直徑的3倍多一些，這個比值是一個固定的數。
圓周率π是一個無限不循環(huán)小數。在計算時，一般取π ≈ 3.14。
（2）、在判斷時，圓周長與它直徑的比值是π倍，而不是3.14倍。
（3）、世界上第一個把圓周率算出來的人是我國的數學家祖沖之。
4、圓的周長公式：
C= πd? ? →? ? d = C ÷π
或
C=2π r? ? →? ? r = C ÷ 2π
5、在一個正方形里畫一個最大的圓，圓的直徑等于正方形的邊長。
在一個長方形里畫一個最大的圓，圓的直徑等于長方形的寬。
6、區(qū)分周長的一半和半圓的周長：
（1） 周長的一半：等于圓的周長÷2? ? ? ? 計算方法：2π r ÷ 2? 即? π r
（2）半圓的周長：等于圓的周長的一半加直徑。? 計算方法：πr＋2r 即? 5.14 r
三、圓的面積
1、圓的面積：圓所占平面的大小叫做圓的面積。? 用字母S表示。
2、一條弧和經過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。頂點在圓心的角叫做圓心角。
3、圓面積公式的推導：
（1）、用逐漸逼近的轉化思想： 體現(xiàn)化圓為方，化曲為直；化新為舊，化未知為已知，化復雜為簡單，化抽象為具體。
（2）、把一個圓等分（偶數份）成的扇形份數越多，拼成的圖像越接近長方形。
（3）、拼出的圖形與圓的周長和半徑的關系。
圓的半徑? =? 長方形的寬?
圓的周長的一半? =? 長方形的長? ?
因為：? 長方形面積? =? 長? ×? 寬
所以： 圓的面積 = 圓周長的一半 × 圓的半徑
? ? ? ? ? ? ? S圓 = πr × r
圓的面積公式：? ? S圓 = πr2? ? ? ? ? ? ? ? 變式? ? ? →? ? ? ? r2 =? S ÷ π
4、環(huán)形的面積：
? 一個環(huán)形，外圓的半徑是R，內圓的半徑是r。（R＝r＋環(huán)的寬度．）
S環(huán) = πR2－πｒ2 ? ? 或
環(huán)形的面積公式：? S環(huán) = π（R2－ｒ2）。
5、一個圓，半徑擴大或縮小多少倍，直徑和周長也擴大或縮小相同的倍數。而面積擴大或縮小的倍數是這個倍數的平方倍。? ?
例如：在同一個圓里，半徑擴大3倍，那么直徑和周長就都擴大3倍，而面積擴大9倍。
6、兩個圓： 半徑比 = 直徑比 = 周長比；而面積比等于這比的平方。?
例如：兩個圓的半徑比是2∶3，那么這兩個圓的直徑比和周長比都是2∶3，而面積比是4∶9
7、任意一個正方形與它內切圓的面積之比都是一個固定值，即：4∶π
8、當長方形，正方形，圓的周長相等時，圓面積最大，正方形居中，長方形面積最小。反之，面積相同時，長方形的周長最長，正方形居中，圓周長最短。
9、確定起跑線：
（1）、每條跑道的長度 = 兩個半圓形跑道合成的圓的周長 + 兩個直道的長度。
（2）、每條跑道直道的長度都相等，而各圓周長決定每條跑道的總長度。（因此起跑線不同）
（3）、每相鄰兩個跑道相隔的距離是：? 2×π×跑道的寬度
（4）、當一個圓的半徑增加ａ厘米時，它的周長就增加２πａ厘米；當一個圓的直徑增加ａ厘米時，它的周長就增加πａ厘米。
11、常用各π值結果：
π = 3.14
2π = 6.28?
3π = 9.42
5π = 15.7
6π = 18.84?
7π = 21.98?
9π = 28.26
10π = 31.4? ? ? ? ? ? ?
16π = 50.24?
36π = 113.04
64π = 200.96
96π = 301.44
4π = 12.56? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
8π = 25.12? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
25π = 78.5
12、常用平方數結果
112 = 121? ? ? ? 122= 144? ? 132 = 169? ? ? 142= 196? ? ? ? 152= 225? ? 162 = 256? ? ? 172= 289? ? ? ? 182= 324? ? 192 = 361
? ? ? ? ? ? ? 第六單元? 百分數
一、百分數的意義和寫法
1、百分數的意義：表示一個數是另一個數的百分之幾。
百分數是指的兩個數的比，因此也叫百分率或百分比。
2、 千分數：表示一個數是另一個數的千分之幾。
3、 百分數和分數的主要聯(lián)系與區(qū)別：
（1） 聯(lián)系：都可以表示兩個量的倍比關系。
（2） 區(qū)別：①、意義不同：百分數只表示兩個數的倍比關系，不能表示具體的數量，所以不能帶單位；分數既可以表示具體的數，又可以表示兩個數的關系，表示具本數時可以帶單位。
②、百分數的分子可以是整數，也可以是小數；分數的分子不能是小數，只能是除0以外的自然數。
4、百分數的寫法：通常不寫成分數形式，而在原來分子后面加上“％”來表示。
二、百分數和分數、小數的互化
（一）百分數與小數的互化：
1、小數化成百分數：把小數點向右移動兩位，同時在后面添上百分號。
2. 百分數化成小數：把小數點向左移動兩位，同時去掉百分號。
（二）百分數的和分數的互化
1、百分數化成分數：
先把百分數化成分數，先把百分數改寫成分母是否100的分數，能約分要約成最簡分數。
2、分數化成百分數：
① 用分數的基本性質，把分數分母擴大或縮小成分母是100的分數，再寫成百分數形式。
②先把分數化成小數（除不盡時，通常保留三位小數），再把小數化成百分數。
（三）常見的分數與小數、百分數之間的互化
1/2 = 0.5 = 50%? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1/5= 0.2 = 20%? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
5/8= 0.625 = 62.5%? ? ? ? ? ? ? ? ?
1/4 = 0.25 = 25%? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2/5= 0.4 = 40%? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1/8= 0.125 = 12.5%? ? ? ? ? ? ? ? ?
3/4= 0.75 = 75%? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
3/5= 0.6 = 60%? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
3/8= 0.375 = 37.5%? ? ? ? ? ? ? ?
1/16= 0.0625 = 6.25%? ? ? ? ? ? ? ?
4/5 = 0.8 = 80%? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
7/8 = 0.875 = 87.5%? ? ? ? ? ? ? ?
1/25 = 0.04 = 4﹪? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2/25 = 0.08 = 8﹪? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
3/25 = 0.12 = 12﹪? ? ? ? ? ? ? ?
4/25= 0.16 = 16﹪?
三、用百分數解決問題
（一）一般應用題
1、常見的百分率的計算方法：
①合格率 =? 合格產品數/產品總數×100％? ? ? ? ? ? ?
②發(fā)芽率 = 發(fā)芽種子數/種子總數×100％
③出勤率 =? 出勤人數/總人數×100％? ? ? ? ? ? ?
④達標率 = 達標人數/總人數×100％
⑤成活率 = 成活的數量/總數量×100％? ? ? ? ? ?
⑥出粉率 = 粉的重量/出粉物的重量×100％
⑦烘干率 = 烘干后的重量/烘干前的重量×100％? ? ?
⑧含水率 = （烘干前的重量-烘干后的重量）/烘干前的重量×100％
一般來講，出勤率、成活率、合格率、正確率能達到100%，出米率、出油率達不到100%，完成率、增長了百分之幾等可以超過100%。（一般出粉率在70、80%左右，出油率在30、40%左右。）
2、已知單位“1”的量（用乘法），求單位“1”的百分之幾是多少的問題：
數量關系式和分數乘法解決問題中的關系式相同：
（1）分率前是“的”：單位“1”的量×分率=分率對應量
（2）分率前是“多或少”的意思：單位“1”的量×（1±分率）=分率對應量
3、未知單位“1”的量（用除法），已知單位“1”的百分之幾是多少，求單位“1”。
解法：（建議：最好用方程解答）
（1）方程：? 根據數量關系式設未知量為X，用方程解答。
（2）算術（用除法）：分率對應量÷對應分率 = 單位“1”的量?
4、求一個數比另一個數多（少）百分之幾的問題：
兩個數的相差量÷單位“1”的量 × 100%? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 或：
① 求多百分之幾：（大數÷小數 – 1） × 100%?
② 求少百分之幾：（ 1 -? 小數÷大數）× 100%?
（二）、折扣
1、折扣：商品按原定價格的百分之幾出售，叫做折扣。通稱“打折”。
幾折就表示十分之幾，也就是百分之幾十。例如八折=8/10=80﹪,六折五=0.65=65﹪
2、一成是十分之一，也就是10%。三成五就是十分之三點五，也就是35%
（三）、納稅
1、納稅：納稅是根據國家稅法的有關規(guī)定，按照一定的比率把集體或個人收入的一部分繳納給國家。
2、納稅的意義：稅收是國家財政收入的主要來源之一。國家用收來的稅款發(fā)展經濟、科技、教育、文化和國防安全等事業(yè)。
3、應納稅額：繳納的稅款叫做應納稅額。
4、稅率：應納稅額與各種收入的比率叫做稅率。
5、應納稅額的計算方法：應納稅額 = 總收入 × 稅率
（四）利息
1、存款分為活期、整存整取和零存整取等方法。
2、儲蓄的意義：人們常常把暫時不用的錢存入銀行或信用社，儲蓄起來，這樣不僅可以支援國家建設，也使得個人用錢更加安全和有計劃，還可以增加一些收入。
3、本金：存入銀行的錢叫做本金。
4、利息：取款時銀行多支付的錢叫做利息。
5、利率：利息與本金的比值叫做利率。
6、利息的計算公式：利息＝本金×利率×時間
7、注意：如要上利息稅（國債和教育儲藏的利息不納稅），則：
稅后利息=利息-利息的應納稅額=利息-利息×利息稅率=利息×（1-利息稅率）
? ? ? ? ? ? 第七單元? 扇形統(tǒng)計圖
一、扇形統(tǒng)計圖的意義：
用整個圓的面積表示總數，用圓內各個扇形面積表示各部分數量同總數之間的關系。
也就是各部分數量占總數的百分比（因此也叫百分比圖）。
二、常用統(tǒng)計圖的優(yōu)點：
1、條形統(tǒng)計圖：可以清楚的看出各種數量的多少。
2、折線統(tǒng)計圖：不僅可以看出各種數量的多少，還可以清晰看出數量的增減變化情況。
3、扇形統(tǒng)計圖：能夠清楚的反映出各部分數量同總數之間的關系。
三、扇形的面積大小：在同一個圓中，扇形的大小與這個扇形的圓心角的大小有關，圓心角越大，扇形越大。（因此扇形面積占圓面積的百分比，同時也是該扇形圓心角度數占圓周角度數的百分比。）
? ? ? ? ? ? ? ? 常用單位換算
長度單位換算
1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米? 1厘米=10毫米
面積單位換算
1平方千米=100公頃? 1公頃=10000平方米? 1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米? 1平方厘米=100平方毫米?
體(容)積單位換算
1立方米=1000立方分米? 1立方分米=1000立方厘米? 1立方分米=1升
1立方厘米=1毫升? 1立方米=1000升
重量單位換算
1噸=1000 千克? 1千克=1000克? 1千克=1公斤
人民幣單位換算
1元=10角? 1角=10分 1元=100分?
時間單位換算
1世紀=100年 ，1年=12月? ? ? ? ? ? ? ? ?
大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月? ? ?
小月(30天)的有:4\6\9\11月 ? ? ? ? ?
平年2月28天, 閏年2月29天? ? ? ? ? ?
平年全年365天, 閏年全年366天? ? ?
1日=24小時
1時=60分?
1分=60秒?
1時=3600秒
