在知乎上看到的問題，一時興起做了一下。先看題目吧：
題目示意圖
如上圖，AF,BD與CE均為三角形ABC的角平分線，且BD=CE.請問ABC是等腰三角形嗎？
解題思路如下：
1.如果要證明ABC是否等腰三角形，就要證明AB=AC或者找一個不是等腰三角形的特例；
2.如果作平行線中或者翻轉的輔助線，我覺得比較麻煩，而且不一定有結果；所以我選擇了三角函數；
3.在角平分線中，還有什么比內切圓半徑更有力的武器呢？
4.過O，D向BC作垂線交于M，N；則OM=r;
5.如何表示BD長度呢？顯然BOM與BDN相似。并且由角平分線定理：
AB/AD=BO/OD.
則得到：
BD=BO+OD
=BO*(1+OD/BO)
=BO*(1+AD/AB)
=r(1+sin(B/2)/sin(B/2+C))/sin(B/2).
同理：
CE=r(1+sin(C/2)/sin(C/2+B))/sin(C/2).
6.交叉相乘之后（分母必不為0），BD=CE可以推導出：
(1+sin(B/2)/sin(B/2+C))*sin(C/2)=(1+sin(C/2)/sin(C/2+B))*sin(B/2)
等價于
sin(B/2)-sin(C/2)
=sin(B/2)sin(C/2)*(csc(B/2+C)-csc(C/2+B))
=sin(B/2)sin(C/2)*(sin(C/2+B)-sin(B/2+C))/(sin(B/2+C)sin(C/2+B)) .......(1)
大概很多人已經打退堂鼓了吧！不要怕，可以簡化的哦！
運用三角函數和差化積公式得到：
1左邊=2sin((B-C)/2)cos((B+C)/2)
1右邊=2sin(B/2)sin(C/2)/(sin(B/2+C)sin(C/2+B))*sin((B-C)/2)cos((B+C)*3/4)
好吧，要是還看不見希望，連我也要懷疑自己了！
注意兩項中都有sin((B-C)/2)這一項哦，如果該項為0的話，兩邊自然相等，但是角B和角C肯定相等了哦。（同一個三角形內角不解釋）
7.暫時假設該項不等于0吧，我們從等式兩邊約去該項，得到
cos((B+C)/2)*sin(B/2+C)sin(C/2+B)=cos((B+C)*3/4）*sin(B/2)sin(C/2)
好恐怖??.......我們現在的工作是證明這個式子不可能相等。
注意到式子中左側每一項都大于0，則右側cos((B+C)*3/4必然大于0.
所以：
0<cos((B+C)*3/4)<cos((B+C)/2)<1.
接下來只要
sin(B/2+C)sin(C/2+B)>sin(B/2)sin(C/2) （2）
那么兩邊不可能相等，從而得出矛盾了。
8.考慮到B，C都是內角，且測試了角B和角C相等及其他情況后，我認為式子（7）成立，開始著手證明。
S=sin(B/2+C)sin(C/2+B)-sin(B/2)sin(C/2)
=sin(B/2+C)sin(C/2+B)-sin(B/2+C)sin(C/2)-(sin(B/2)sin(C/2) -sin(B/2+C)sin(C/2))=sin(B/2+C)(sin(C/2+B)-sin(C/2))+sin(C/2)*(sin(B/2+C)-sin(B/2))=2sin(B/2+C)sin(B/2)cos(B/2+C/2)+2sin(C/2)sin(C/2)cos(B/2+C/2)>0
結果成立了哈哈。
反推回來，ABC必然是等腰三角形了。
學了很多年的數學，也拿了不少獎，最遺憾的是總是拿不到一等獎。現在也只能把它作為消遣的工具了。
我用了一個多小時解出最終結果，證明這么多年的書還是有點用；不過現在英語和計算機才是我的主道，寫完文章還是老老實實去聽英語吧！
