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前言

本人的矩陣論是在[東南大學] 研究生課程工程矩陣理論進行學習，總結參考了b站的同學：數學家是我理想 的博客：mathor
總結不會將所有知識點都羅列出來（實在是太耗時了），只總結一些重要的知識點。

第一節線性空間的定義

線性空間是定義在數域 $\digamma$ 上滿足某些運算規律的向量集合，而數域本身也是一種特殊的集合。
數域的定義：

數域是一種數集，元素的和、差、積、商仍在數集中（具有封閉性），稱為數域。如有理數域 Q，復數域C，實數域 R。

線性空間的性質：

設 V是以 $\alpha,\beta,\gamma,\cdots$ 為元素的非空集合， $\digamma$ 是一個數域，定義兩種運算：加法: $\forall\alpha,\beta\in V,\alpha+\beta\in V$ ；數乘 : $\forall k\in \digamma, \alpha \in V, k\alpha\in V$ 。V是數域 $\digamma$ 上的線性空間的充要條件是以下八條。只要任意一條不滿足，則不成立。
1. $\alpha+\beta=\beta+\alpha$
2. $\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma$
3.零元素在V中有一元素 0（稱作零元素，注：該 0 為向量），對于V中任一元素 $\alpha$ 都有 $\alpha+0=\alpha$
4.負元素對于V中每一個元素 $\alpha$ ，都有V中的元素 $\beta$ ，使得 $\alpha+\beta=0$ ，其中，0 代表的是零元素，但不一定永遠都是 0 這個數，視具體題目而定
5. $\alpha\cdot1=\alpha$ ，其中1是數，不是向量
6. $(\alpha l)k=\alpha (lk)$
7. $\alpha(k+l)=\alpha k+\alpha l$
8. $(\alpha+\beta)k=\alpha k+\beta k$
注： $\alpha,\beta,\gamma\in V,1,k,l\in\digamma$

第二節基，維數和坐標

基的定義：

若 $\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_n\in V$ 滿足條件：
1） $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 線性無關
2） $\forall \eta\in V$ 均可有 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 線性表示，則稱 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 是 $V$ 的一組基。
稱 $n$ 是 $V$ 的維數，計作 $dimV$ 或維（V）

注：線性空間的基不一定存在

定理：若 $dimV=n$ ,則 $V$ 中任意 $n$ 個線性無關的向量均構成 $V$ 的基

坐標的定義：

設 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots\alpha_n$ 是 $V$ 的一組基， $\beta\in V$ , $\beta=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n$ 則稱 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是 $\beta$ 在基 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 下的坐標。
或 $\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{array} \right]$ 是 $\beta$ 在基 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 下的坐標。（列向量）

注：線性空間的基是有序的。

過渡矩陣：

設 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 及 $\beta_1,\cdots,\beta_n$ 都是 $V$ 的基，有 $(\beta_1,\cdots,\beta_n)=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)A$ 則稱A為從基 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 到 $\beta_1,\cdots,\beta_n$ 的過渡矩陣。

注：A一定為可逆矩陣。

坐標變換公式：

設 $\eta\in V$ 在基 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 下的坐標為 $X$ ,在基 $\beta_1,\cdots,\beta_n$ 下的坐標為 $Y$ ,而從基 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 到 $\beta_1,\cdots,\beta_n$ 的過渡矩陣為 $A$ ，則 $X=AY$ 或 $Y=A^{-1}X$

證明：

$\eta=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)X$ $\eta=(\beta_1,\cdots,\beta_n)Y=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)AY$ 顯示有 $X=AY$

例：在 $F_3[x]$ 中，求 $f(x)=1+x+x^2$ 在基 $2+x,x+x^2,2x+3x^2$
的坐標。

解： $f(x)=(1,x,x^2) \left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array} \right]$ ，得到f(x)在基 $(1,x,x^2)$ 下的坐標 $X$ 為(1,1,1)
$(2+x,x+x^2,2x+3x^2)=(1,x,x^2) \left[ \begin{array}{ccc} 2&0&0\\ 1&1&2\\ 0&1&3 \end{array} \right]_A$
得 $f(x)$ 在基 $2+x,x+x^2,2x+3x^2$ 的坐標 $Y=A^{-1}X=\left[ \begin{array}{ccc} 2&0&0\\ 1&1&2\\ 0&1&3 \end{array} \right]^{-1} \left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array} \right]$

第三節子空間交與和

子空間：

定義：設 $V$ 是數域 $F$ 上的線性空間， $W$ 是 $V$ 的非空子集，若 $W$ 關于 $V$ 的運算也構成 $F$ 上的線性空間，則稱 $W$ 是 $V$ 的子空間，記 $W\subseteq V$ 。

基擴張定理：

設 { $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$ }是 $V^n$ 中一組線性無關向量，則 $V^n$ 中存在 $n-r$ 個向量 $\alpha_{r+1},\alpha_{r+2},\cdots,\alpha_n$ ，使得 $\left\{ \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r,\alpha_{r+1},\alpha_{r+2},\cdots,\alpha_n\right\}$ 構成 $V^n$ 的基

注：1.設 $W\subseteq V$ ，則 $W$ 是 $V$ 的子空間 $\Leftrightarrow W$ 關于線性運算封閉。
2.子空間一定含零向量。

子空間的交與和：

定義：
$V_1\cap \V_2 = \{ \eta\in V|\eta\in V1且\eta\in V2$ }
$V_1+\V_2 = \{ \eta\in V| \exists\eta_1\in V1,\eta_2\in V2,使得\eta=\eta_1+\eta_2$ }

維數定理：

假設 $V_1,V_2\subseteq V$ ，有 $dim(V_1+V_2)=dimV_1+dimV2-dim(V_1\cap V_2)$

直和:

定義：
設 $V_1+V_2$ 中的任一向量只能唯一地分解為 $V_1$ 中的一個向量與 $V2$ 中的一個向量之和，則稱 $V_1+V_2$ 為 $V_1$ 與 $V_2$ 的直和，記為 $V_1\bigoplus V_2$ .

直和的性質：

設 $V_1，V_2$ 是線性空間 V的兩個子空間，則下列命題等價：
1. $V_1+V_2$ 是直和
2.0的分解唯一
3. $\V_1\cap\V_2=\{0$ }
4. $dim(V_1+V_2)=dimV_1+dimV2$
5. $V_1，V_2$ 的基合在一起構成 $V_1+V_2$ 的基

直和的一般證明方式：
設 $V_1，V_2$ 是線性空間 V的兩個子空間,要證明 $V=V_1\bigoplus V_2$ 分為兩步：
1. $V_1+V_2$ 是直和，通常用 $V_1\cap V_2=\{0$ }證明
2.證明 $V=V_1+V_2\Leftrightarrow V\supseteq V_1+V_2,V\subseteq V_1+V_2$ 。
$V\supseteq V_1+V_2$ 不證自明， $V\subseteq V_1+V_2$ 則通過 $\forall \eta\in V$ ，找出關于 $\eta$ 的在 $V_1$ 和 $V_2$ 的子空間向量,即能得證。

第四節線性映射

線性映射

線性映射的定義：

設 $V，U$ 均是數域 $F$ 上的線性空間，其映射 $f:V\rightarrow U$ 滿足條件:
1)齊性： $\forall x\in V,k\in F,f(kx)=kf(x)$
2)可加性： $\forall x,y\in V,f(x+y)=f(x)+f(y)$
則稱 $f$ 是從 $V$ 到 $U$ 的線性映射。

注：從 $V$ 到 $U$ 的線性映射全體記為 $Hom（U,V）$ 。
從 $V$ 到 $V$ 的線性映射稱為 $V$ 上的線性變換。

線性映射的性質：

假設 $f:V\rightarrow U$ 是線性映射，則
1. $f(0)=0$ ;
2.若 $\alpha_1,\cdots,\alpha_s\in V,k_1,k_2,\cdots,k_s\in F$ ,則 $f(\sum_{i=1}^{n}k_i\alpha_i)=\sum_{i=1}^{n}k_if(\alpha_i)$
3.若 $\alpha_1,\cdots,\alpha_s\in V$ 線性相關， $f(\alpha_1),\cdots,f(\alpha_s)\in U$ 線性相關。
4.若 $V=L(\alpha_1,\cdots,\alpha_s)$ ，則 $f$ 的值域 $f（V）=L(f(\alpha_1),\cdots,f(\alpha_s))$
5. $f^{-1}(\theta)=\{x\in V|f(x)=0$ }是V的子空間，稱為f的核子空間。

基偶：

設 $f\in Hom(V,U)$ 選定基偶：
$V:\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$
$U:\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$
若 $(f(\alpha_1),f(\alpha_2),\cdots,f(\alpha_s))=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s)A$
則稱A是f在選定基偶下的矩陣。
如U=V，則
$(f(\alpha_1),f(\alpha_2),\cdots,f(\alpha_s))=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)A$
稱A是線性變換f在所選基下的矩陣。

例： $f\in Hom(F^{2\times 2},F^{2\times 2})$ 定義為： $f(x)= \left( \begin{array}{cc} a-3b & b+2c \\ a-b-c &a+b-3c+4d \end{array} \right )$ 其中 $X= \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c &d \end{array} \right )\in F^{2\times2}$ 求f在基 $E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}$ 下的矩陣。

解： $f(E_{11}),f(E_{12}),f(E_{21}),f(E_{22})=(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})A$

定理：若 $f\in Hom(V,U)$ 在基偶V: $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,U:\beta1,\beta2,\cdots,\beta_n$ 下的矩陣是A， $\eta\in V$ 在基 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 的坐標是X，則f( $\eta$ )在基 $\beta1,\beta2,\cdots,\beta_n$ 下的坐標是AX。

證明： $(f(\alpha_1),\cdots,f(\alpha_n))=(\beta_1,\cdots,\beta_n)A$
令 $X=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots x_n\end{array}\right)$ 則 $\eta=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_s\alpha_s$
$\because f$ 為線性映射，
$f(\eta)=x_1f(\alpha_1)+\cdots+x_sf(\alpha_s)\\ =(f(\alpha_1),\cdots,f(\alpha_s)\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots x_s\end{array}\right)\\ =(\beta_1,\cdots,\beta_2)AX$
證畢。

核子空間

定理： $假設f\in Hom(V,U)\\則 dimR(f)+dimK(f)=dimV$

不變子空間

$設f\in Hom(V,V),W\subseteq V，若\forall\eta\in W，有f(\eta)\in W$ 則稱W是f的不變子空間。

$設f\in Hom(V,V)，則R(f),K(f)均是f的不變子空間。$

若 $f\in Hom(V,V),V可以分解成f不變子空間的直和。$

習題

設 $A,B\in F^{n\times n},且AB=0,B^2=B$
$V_1=\left\{ x|Ax=0,x\in F^n \right\} V_2=\left\{ x|Bx=0,x\in F^n \right\}$ ,證明：
（1） $F^n=V_1+V_2$
(2) $F^n=V_1\bigoplus V_2$
證:(1): $由題意得：F^n\supseteq V_1+V_2$
$\forall x\in F^n,x=Bx+(x-Bx)$
$Bx\in V_1,(x-Bx)\in V_2$
$\therefore F^n\subseteq V_1+V_2$
$\therefore F^n=V_1+V_2$
(2) $將V_1，V_2看成齊次線性方程組的解空間$
$\Rightarrow dimV_1=n-r(A),dimV_2=n-r(B)$
由 $V_1+V_2是直和$
$\begin{align} &\Leftrightarrow dim(V_1+V_2)=dimV_1+dimV_2\\ &\Leftrightarrow dim(F^n)=2n-r(A)-r(B)\\ &\Leftrightarrow n=2n-r(A)-r(B)\\ &\Leftrightarrow r(A)+r(B)=n\end{align}$