題目內容
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算法詳解
二分圖相關知識
wiki百科已經寫得挺詳細了，主要講一下二分圖求最大匹配的關鍵定理及其證明：
Berge定理
圖G的一個匹配M是最大匹配的充要條件是圖G不存在M的增廣路。
證明： 假設存在v0v1v2...vn為增廣路（n一定為奇數，起點終點分別在兩個集合）。
那么根據交錯出現的定義：v0v1不屬于M，v1v2屬于M。該路徑上存在n/2+1條路徑不屬于M，而n/2條路徑屬于M。
那么只需要，將n/2原本屬于M的邊剔除，n/2+1條不屬于M的邊加入M，M的匹配數就可以加1。
所以，如果存在增廣路，就可以通過增廣路與M的異或操作，使得M的匹配數加1，說明存在增廣路一定不是最大匹配。
匈牙利算法
注意，二分圖增廣路的定義！每一個字都看清楚！M是圖G的一個匹配，存在一個在M和E(G)/M 交錯出現 的路徑，該路徑起點和終點都是非飽和點（沒有對象的點），則該路徑為M的一條增廣路。
之前第一次自己手寫實現匈牙利算法的時候，就沒有注意到交錯出現 這個條件，結果花費了很多時間在DFS尋找增廣路的編碼上面。
交錯出現 有隱含含義：
- 這個路徑起點終點一定在兩個不同的集合
題解
說實話，能想到這道題用二分圖解決的人，確實得有一定的積累才可以。要不是這道題被分到二分圖下面，我也意識不到可以用二分圖做。(:з」∠)
每一行的行號是一個集合，每一列的列號是一個集合，而地圖中每一個行星都代表從行集合到列集合的一條邊。我們的目的就是把這些邊都給消除。
那為什么二分圖的最大匹配數就是最小消除行星的數量呢 ？
我們先舉一個具體的例子，假設地圖上行星的分布是這樣的：
X.X
.X.
.X.
很容易看出來，最少從第0行，第1列射線就可以了。我們來看一下這個地圖的二分圖構造：
graph LR
A0 --> B0
A0 --> B2
A1 --> B1
A2 --> B1
在該二分圖中，A0連接著B0和B2，往A0（就是第0行）射一道激光，就可以消除與A0連接的所有邊。往B1射一道激光，就可以消除B0相連的所有邊。
其實就是，找最少的點，使得這些點與所有邊相鄰。（最小點覆蓋）
而Hall定理 說：
|最小點覆蓋| = |最大匹配|
于是用匈牙利算法求最大匹配，便可AC該題。
編碼注意點
核心代碼
核心代碼為從u點出發尋找增廣路并進行異或操作的代碼，如下所示，關鍵點在代碼重要已有注釋。
// 匈牙利算法
bool find(int u){
// 重要！不加vis你會無限遞歸
if(vis[u]) return false;
vis[u] = 1;
// 日常操作，找到一條出去的路
for(int i = 1;i <= N;i++){
if(G[u][i]){
// 重要！存在一條增廣路
// 很巧妙地將交錯出現的條件滿足
if(result[i] == 0 || find(result[i])){
// 重要！異或操作
result[i] = u;
// true代表是非飽和點
return true;
}
}
}
return false;
}
源代碼
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define maxn 510
#define rep(i,N) for(int i = 0;i < N;i++)
// N -> N*N Square
// M -> M asteriods
int N,M;
// G[x][y]: x -> row , y -> col
// notice: x >= 1 , y >= 1
int G[maxn][maxn];
int result[maxn];
int vis[maxn];
// 匈牙利算法
bool find(int u){
if(vis[u]) return false;
vis[u] = 1;
// find a way out
for(int i = 1;i <= N;i++){
if(G[u][i]){
// 存在一條增廣路
if(result[i] == 0 || find(result[i])){
result[i] = u;
return true;
}
}
}
return false;
}
int getShoot(){
memset(result,0,sizeof(result));
int count = 0;
for(int i = 1;i <= N;i++){
memset(vis,0,sizeof(vis));
if(find(i)){
count++;
}
}
return count;
}
int main(){
while(scanf("%d%d",&N,&M) != EOF){
int x,y;
memset(G,0,sizeof(G));
rep(i,M){
scanf("%d%d",&x,&y);
G[x][y] = 1;
}
printf("%d\n",getShoot());
}
}
