八皇后問題是由國際西洋棋棋手馬克斯·貝瑟爾于1848年提出的問題，是回溯算法的典型案例。
問題表述為：在8×8格的國際象棋上擺放8個皇后，使其不能互相攻擊，即任意兩個皇后都不能處于同一行、同一列或同一斜線上，問有多少種擺法。
像這樣的棋盤：
Queen
對棋盤行和列標號，可以使用 0~7 或 1~8，通過行數與列數進行加減計算，得到如下的內容：
Queen_leftLine.png
Queen_rightLine.png
行 - 列 和 行 +列，可以清晰的看到具有很明顯的規律
行 - 列 ，紅線的方向，從左到右，從上到下的斜線，取值范圍 [-7 ， 7],，共15個元素
-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7
行 +列，紅線的方向，從左到右，從下到上的斜線，取值范圍 [2 ， 16] 或 [0 ， 14] ，共15個元素
當列和行標號范圍 "1~8"
2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16
當列和行標號范圍 "0~7"
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14
解題方法 ：
注 ：此處使用行列的標號范圍 "1~8"
設置數組，判斷某位置是否處于一個安全的位置
1. 建立數組，并初始化
因為每種斜線最多有15種可能，行列最多只有8種可能
// 判斷左斜線
int r[16] = { 0 };
// 判斷左斜線
int l[16] = { 0 };
// 判斷列
int h[8] = { 0 };
例如： 取 x = 4， y = 5 位置，其左斜線 -1 ，右斜線 9 ，列 4
由于數組初始化為0，當填入一行皇后，需要進行占位，利用行列號來修改數組位置的值，修改為1
左斜線(x-y)取值范圍：[-7 , 7] ，因此在左斜線 x-y+8, 則對應數組 l[1] 到 l[15]
右斜線(x+y)取值范圍：[2 , 16] ，因此在右斜線 x+y-1則對應數組 r[1] 到 r[15]
例如：取 x = 4， y = 5 位置，4-5=-1,4+5=9 ,因此 l[7]=1、r[8]=1
2. 創建數組保存每種情況 , 并統計數量
// 符合條件的數量
int n = 0;
int que[8] = { 0 };
創建一維數組，來存放每行皇后的位置，每個皇后的取值都不同，也就是取值由0到7
3. 創建函數，輸出保存數組的情況
void Print()
// 輸出
{
cout << "第"<<n << "種：" ;
for (int i = 0; i < 8; ++i)
{
cout << que[i] ;
}
cout << endl;
}
4. 設計遞歸函數
遞歸參數為行數
void Queen(int row = 0)
// 輸入行數
{
// 函數出口
if(row > 7)
{
n++;
Print();
return;
}
for (int i = 0; i < 8; ++i)
{
// 當一行到結尾，也沒有找到解法，結束，返回上一行，
if(i>7)
{
return;
}
// 判斷是否符合條件
if( !l[row-i+8] && !r[row+i-1] && !h[i])
{
// 符合條件保存該行的位置，并標記影響的斜線和列
que[row] = i;
h[i] = 1;
l[row-i+8] = 1;
r[row+i-1]= 1;
// 本行已找到，跳到下一行
Queen(row+1);
// 因為下一行沒有找到位置，結束函數，此行該位置不能得到的結果，因此清除之前設置的內容
que[row] = 0;
l[row-i+8] = 0;
r[row+i-1]= 0;
h[i] = 0;
}
}
}
例子：
#include<iostream>
#include<string>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
// 符合條件的數量
int n = 0;
// 數組存放每行皇后的位置
int que[8] = { 0 };
// 判斷左斜線
int l[16] = { 0 };
// 判斷左斜線
int r[16] = { 0 };
// 判斷列
int h[8] = { 0 };
void Print()
// 輸出
{
cout << "第"<<n << "種：" ;
for (int i = 0; i < 8; ++i)
{
cout << que[i] ;
}
cout << endl;
}
void Queen(int row = 0)
// 輸入行數
{
// 每次遞歸結束的出口
if(row > 7)
{
// 完成一次遞歸，結果加一，并打印，結束遞歸
n++;
Print();
return;
}
for (int i = 0; i < 8; ++i)
{
// 當一行到結尾，也沒有找到解法，結束，返回上一行，
if(i>7)
{
return;
}
// 判斷是否符合條件
if( !l[row-i+8] && !r[row+i-1] && !h[i])
{
// 符合條件保存該行的位置，并標記影響的斜線和列
que[row] = i;
h[i] = 1;
l[row-i+8] = 1;
r[row+i-1]= 1;
// 本行已找到，跳到下一行
Queen(row+1);
// 因為下一行沒有找到位置，結束函數，此行該位置不能得到的結果，因此清除之前設置的內容
que[row] = 0;
l[row-i+8] = 0;
r[row+i-1]= 0;
h[i] = 0;
}
}
}
int main(int argv,char* argc[])
{
Queen();
cout << n <<endl;
system("pause");
return 0;
}
N皇后問題
通過八皇后可以推出N皇后的問題的解決方案
主要問題在于斜線的區間和數量
注：行列的標號范圍 "1~n"
當為N皇后，x+y的取值范圍 [2 , 2n] , x-y 取值范圍 [ 1-n , n-1 ] , 數量都為 2n-1
#include<iostream>
#include<cstdlib>
using namespace std;
template<int size>
class Queen
{
private:
int num = 0;
// 判斷左斜線
int l[size*2] = { 0 };
// 判斷左斜線
int r[size*2] = { 0 };
// 判斷列
int h[size] = { 0 };
// 數組
int que[size] = { 0 };
public:
Queen(){};
~Queen(){};
public:
void check(int row = 0)
{
if(row >= size)
{
num++;
Prints();
return;
}
for (int i = 0; i < size; ++i)
{
if( !l[row-i+size] && !r[row+i-1] && !h[i])
{
que[row] = i;
h[i] = 1;
l[row-i+size] = 1;
r[row+i-1]= 1;
check(row+1);
// 因為下一行沒有找到，因此此行該位置不能得到應有的結果，因此清空設置的內容
que[row] = 0;
l[row-i+size] = 0;
r[row+i-1]= 0;
h[i] = 0;
}
}
}
void Prints()
// 輸出
{
cout << "第"<<num << "種：" ;
for (int i = 0; i < size; ++i)
{
cout << que[i] ;
}
cout << endl;
}
};
int main(int argc, char const *argv[])
{
Queen<8> Sir;
Sir.check();
system("pause");
return 0;
}
