劍指 Offer 11. 旋轉數組的最小數字
題目來源：力扣（LeetCode）https://leetcode-cn.com/problems/xuan-zhuan-shu-zu-de-zui-xiao-shu-zi-lcof
題目
把一個數組最開始的若干個元素搬到數組的末尾，我們稱之為數組的旋轉。輸入一個遞增排序的數組的一個旋轉，輸出旋轉數組的最小元素。例如，數組 [3,4,5,1,2] 為 [1,2,3,4,5] 的一個旋轉，該數組的最小值為1。
示例 1：
輸入：[3,4,5,1,2]
輸出：1
示例 2：
輸入：[2,2,2,0,1]
輸出：0
注意：本題與主站 154 題相同：https://leetcode-cn.com/problems/find-minimum-in-rotated-sorted-array-ii/
解題思路
思路：二分查找
先審題，重復一下【旋轉數組】的概念。在這里，旋轉數組指的是將升序排列數組的前面若干個元素放到數組末尾。
那么，按照這個概念，我們可以發現。數組旋轉后，會將原數組 nums 拆分成兩個升序排序的數組，設為 nums1、nums2，而且被放置在末尾部分的數組 nums2 的元素會小于或等于前面部分的數組 nums1 的元素（這里會出現等于，是因為元素可能重復，待會再分析）。那么現在的問題就是如何找到旋轉后兩個升序的數組？因為只要找到旋轉后的兩個數組，nums2 數組中的首元素就是要求的答案。
那么，在這里，我們可以考慮使用二分查找的方法，找到一個分界點（這個分界點為放置在末尾升序數組的首元素），分界點左邊的數組為 nums1，分界點右邊（含分界點）的數組為 nums2。
具體的思路如下（下面內容中，出現 nums1 表示旋轉后左邊升序數組， nums2 表示旋轉后放置末尾的右邊升序數組）：
- 首先，定義指針
left,right分別指向nums數組的首尾兩端，而mid為每次二分查找的中點； - 開始進行比較（
nums1的元素大于或等于nums2的元素），這里會出現以下三種情況：- 如果
nums[mid] > nums[right]時，那么mid一定是nums1這個數組當中，此時分界點落在區間(mid, right]，令left=mid+1； - 如果
nums[mid] < nums[right]時，那么mid則在nums2數組當中，此時分界點落在區間[left, mid]，令right=mid; - 如果
nums[mid] == nums[right]（這里是因為允許元素重復），這里就會出現邊界模糊的情況，先說結論（后面分析），讓right指針往前移動，令right -= 1。
- 如果
這里就 nums[mid] == nums[right] 的情況進行分析，假設給定數組為 [1, 1, 0, 1] 和 [1, 0, 1, 1, 1]，那么會有如下的情況
- 當給定數組
[1, 1, 0, 1]，針對這種情況，left = 0, right = 3, mid = 1：-
nums[mid] == nums[right]，這個時候 mid 在左邊的數組nums1中。
-
- 當給定數組
[1, 0, 1, 1, 1]，此時left = 0, right = 4, mid = 2：-
nums[mid] == nums[right]，但此時 mid 在右邊的數組nums2中。
-
在這里，無法直接判斷 mid 落在 nums1 還是 nums2 中。在前面中給出結論，令 right -= 1 來解決這個問題，根據上面分析可能出現的情況，現在分析這個結論可行性：
- 當
mid落在nums1數組中，因為nums1的任一元素大于或等于nums2中的元素，也就是說（設分界點為point）nums[point] <= nums[mid] == nums[right]，那么：- 若
nums[point] < nums[right]時，這里說明right左側的元素還有小值，令right -= 1后，point還是在[left, right]這個區間當中； - 如果
nums[point] == nums[right]時，這里要注意分界點索引point與right相等的情況。這個時候，令right-=1，此時point將不在[left, right]這個區間當中。假設有如下的數組[1, 1, 2, 1]，在這里left = 0, right = 3, mid = 1，我們可以看到分界點就是最后的那個 1。此時point == right，若令right -= 1，那么這里最后的1將會被丟棄。但是最終結果還是會返回1，因為舍棄最后的1后，繼續二分查找，分界點一定會落在[left, mid]中，而且這個區間的元素值都等于nums[point]。所以能夠返回正確值。
- 若
- 當
mid落在nums2數組中，也就是說[mid, right]這個區間的所有元素值都是相等的。此時令right -= 1只是舍棄一個重復值，而point還是落在[left, right]這個區間當中。
以下是算法實現的圖解：
具體實現代碼如下。
代碼實現
class Solution:
def minArray(self, numbers: List[int]) -> int:
left = 0
right = len(numbers) - 1
while left < right:
# 取中點
mid = left + (right - left) // 2
# 如果 numbers[mid] > numbers[right] ,分界點落在 (mid, right]
if numbers[mid] > numbers[right]:
left = mid + 1
# numbers[mid] < numbers[right]，分界點落在 [left, mid]
elif numbers[mid] < numbers[right]:
right = mid
# numbers[mid] == numbers[right]，令 right-=1，此結論可行性已在文章進行分析
else:
right -= 1
return numbers[left]
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