( 一 ) 如果x部節(jié)點(diǎn)只對(duì)應(yīng)一個(gè)y部節(jié)點(diǎn),而y部節(jié)點(diǎn)可以對(duì)應(yīng)多個(gè)x部節(jié)點(diǎn),那么這種匹配可以用匈牙利算法來解決。
如何解決?
方法一:
我們知道,傳統(tǒng)的二分匹配是一對(duì)一匹配的,那么我們把y節(jié)點(diǎn)拆點(diǎn),然后再按照正常的二分匹配就可以了。
這樣做的問題是:當(dāng)y節(jié)點(diǎn)很大時(shí),那么拆點(diǎn)耗費(fèi)的時(shí)間會(huì)很多!
方法二:
把y部節(jié)點(diǎn)的match數(shù)組改為二維的,第一維度表示第i個(gè)y節(jié)點(diǎn),第二個(gè)維度表示這個(gè)y節(jié)點(diǎn)剩余的容量
G - Escape
題意:
有N(N<100,000)個(gè)人要去M(M<10)個(gè)星球，每個(gè)人只可以去一個(gè)星球，一個(gè)星球最多容納Ki個(gè)人。請(qǐng)問是否所有人都可以選擇自己的星球
題解:
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=100010;
int cnt[15],cap[15];//cap為y節(jié)點(diǎn)的容量,cnt為當(dāng)前y節(jié)點(diǎn)使用的容量
int graph[MAXN][15];
int n,m,used[15];
int match[15][MAXN];
//match[i][j]=k 第i個(gè)星球上住的第j個(gè)人是k
bool DFS(int x)
{
for(int i=1;i<=m;i++)
{
if(graph[x][i]&&used[i]==0)
{
used[i]=1;
if(cnt[i]<cap[i])//如果當(dāng)前y節(jié)點(diǎn)還有容量可以匹配
{
cnt[i]++;
match[i][cnt[i]]=x;
return true;
}
for(int j=1;j<=cnt[i];j++)//如果y節(jié)點(diǎn)的容量已經(jīng)滿了,嘗試為y節(jié)點(diǎn)的某個(gè)對(duì)象換對(duì)象
{
if(DFS(match[i][j]))
{
match[i][j]=x;//y節(jié)點(diǎn)第j個(gè)位置讓給x
return true;
}
}
}
}
return false;
}
bool judge()
{
memset(cnt,0,sizeof(cnt));
for(int i=1;i<=n;i++)//為所有x節(jié)點(diǎn)匹配對(duì)象
{
memset(used,0,sizeof(used));
if(!DFS(i)) return false;
}
return true;
}
int main()
{
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=m;j++)
{
scanf("%d",&graph[i][j]);
}
}
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d",&cap[i]);
}
if(judge()) printf("YES\n");
else printf("NO\n");
}
return 0;
}
( 二 )如果x部節(jié)點(diǎn)可以匹配多個(gè)y部節(jié)點(diǎn),y部節(jié)點(diǎn)可以同時(shí)匹配多個(gè)x部節(jié)點(diǎn),那么應(yīng)該用網(wǎng)絡(luò)流來解決。(因?yàn)樾傺览惴o法應(yīng)對(duì)兩邊都可以選多個(gè)這種情況)
怎么建圖?
很簡(jiǎn)單,假設(shè)x部節(jié)點(diǎn)的容量為capx[ i ],y部節(jié)點(diǎn)的容量為capy[ i ],同時(shí)給出x部節(jié)點(diǎn)可以與y部節(jié)點(diǎn)相連的的邊,那么對(duì)于每個(gè)x部節(jié)點(diǎn),超級(jí)源點(diǎn)都與x部節(jié)點(diǎn)連邊,邊權(quán)為capx[i];對(duì)于每個(gè)y部節(jié)點(diǎn),都與超級(jí)匯點(diǎn)連接邊,邊權(quán)為capy[i]。然后連接每個(gè)x與y直接相連的邊,邊權(quán)為1。
這樣一來,求出最大流就是最大匹配方案了:流量通道上的邊的剩余流量代表匹配結(jié)果
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int MAXN=250;
const int MAXE=20010;
const int INF=0x3f3f3f3f;
struct Node
{
int to,next,val;
Node(int to,int next,int val):to(to),next(next),val(val){};
Node(){}
};
Node edge[MAXE];
int head[MAXN],cnt;
void addEdge(int u,int v,int val)
{
edge[cnt]=Node(v,head[u],val);head[u]=cnt++;
edge[cnt]=Node(u,head[v],0);head[v]=cnt++;
}
int step[MAXN];
bool BFS(int st,int ed)
{
memset(step,-1,sizeof(step));
step[st]=0;
queue<int> que;
que.push(st);
while(!que.empty())
{
int u=que.front();que.pop();
for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].to;
if(edge[i].val>0&&step[v]==-1)
{
step[v]=step[u]+1;
que.push(v);
if(v==ed) return true;
}
}
}
return false;
}
int DFS(int st,int ed,int flow)
{
if(st==ed||flow==0) return flow;
int curr=0;
for(int i=head[st];i!=-1;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].to;
if(step[v]==step[st]+1&&edge[i].val>0)
{
int d=DFS(v,ed,min(flow,edge[i].val));
if(d>0)
{
edge[i].val-=d;
edge[i^1].val+=d;
flow-=d;
curr+=d;
if(flow==0) break;
}
}
}
if(curr==0) step[st]=INF;
return curr;
}
int Dinic(int st,int ed)
{
int flow=0;
while(BFS(st,ed))
{
flow+=DFS(st,ed,INF);
}
return flow;
}
int main()
{
int t,n,m,st,ed,need,num,good,item,sum;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
sum=cnt=0;st=n+m+1;ed=st+1;
memset(head,-1,sizeof(head));
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d",&need);
sum+=need;
addEdge(n+i,ed,need);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d",&num,&good);
addEdge(st,i,num);
for(int j=1;j<=good;j++)
{
scanf("%d",&item);
addEdge(i,n+item,1);
}
}
int res=Dinic(st,ed);
if(res!=sum) printf("No\n");
else printf("Yes\n");
}
}
