在搞「模擬面試」的日子，我發(fā)現(xiàn)大家普遍有個(gè)問題就是，感覺自己的能力總是到了瓶頸期，寫了好幾年代碼，感覺只是會的框架比以前多了而已。去大公司面試，屢戰(zhàn)屢敗，問失敗原因，大多數(shù)人的答案都是，在三面數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法的時(shí)候，直接就掛了。
而不少人表示，我數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法潛心修煉，把書都啃爛了，倒背如流，但每次一面試，咋就是不會呢？
歸根結(jié)底，還是思維訓(xùn)練的問題，很多人知其然而不知其所以然，所以，南塵就盡量地貼近大家的常態(tài)化思維去幫助大家訓(xùn)練算法吧。
昨天已經(jīng)給大家預(yù)告了，不知道小伙伴們下來有沒有去自己嘗試處理。但不管怎樣，要想訓(xùn)練好算法，但聽別人講不去思考，是肯定沒用的。好了廢話不多說，進(jìn)入正題！
來到今天的面試題
面試題：一直青蛙一次可以跳上 1 級臺階，也可以跳上 2 級，求該青蛙跳上 n 級的臺階總共有多少種跳法。
題目來源于《劍指 Offer》
一看這道題，好像沒啥思路，感覺和我們的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和常用的算法好像一點(diǎn)都不沾邊。
但這看起來就像一道數(shù)學(xué)題，而且似乎就是高考數(shù)學(xué)的倒數(shù)第一題，所以我們就用數(shù)學(xué)來做吧。
數(shù)學(xué)中有個(gè)方法叫「數(shù)學(xué)歸納法」，我們這里就可以巧妙用到。
- 當(dāng) n = 1 時(shí)，青蛙有 1 種跳法；
- 當(dāng) n = 2 時(shí)，青蛙可以選擇一次跳 1 級，跳兩次；也可以選擇一次跳 2 級；青蛙有 2 種跳法；
- 當(dāng) n = 3 時(shí)，青蛙可以選擇 1-1-1，1-2，2-1，青蛙有 3 種跳法；
- 當(dāng) n = 4 時(shí)，青蛙可以選擇 1-1-1-1，1-1-2，1-2-1，2-1-1，2-2，青蛙有 5 種跳法；
- 似乎能得到 f(3) = f(2) + f(1)，f(4) = f(3) + f(2)，這是 f(n) = f(n-1) + f(n-2) 的節(jié)奏？我們得用 n = 5 驗(yàn)證一下。
- 當(dāng) n = 5 時(shí)，青蛙可以選擇 1-1-1-1-1，1-1-1-2，1-1-2-1，1-2-1-1，2-1-1-1，1-2-2，2-1-2，2-2-1，青蛙有 8 種跳法，f(5) = f(4) + f(3) 成立。
這是最笨的方法了，得出了這確實(shí)就是一個(gè)典型的斐波那契數(shù)列，唯一不一樣的地方就是 n =2 的時(shí)候并沒有 f(2) = f(0) + f(1)。
稍微有點(diǎn)思維能力的可能更簡單。
- n = 1 ，青蛙有 1 種跳法；
- n = 2 ，青蛙有 2 種跳法；
- n = 3，青蛙在第 1 級可以跳 1 種，后面 2 級相當(dāng)于 f(3-1) = f(2)，還有一種就是先跳 2 級，然后后面 1 級有 f(3-2) = f(1) 種跳法，可以得出 f(3) = f(2) + f(1)；
- ...
- 當(dāng)取 n 時(shí)，青蛙在第一次跳 1 級，后面的相當(dāng)于有 f(n-1) 種跳法；假設(shè)第一次跳 2 級，后面相當(dāng)于有 f(n-2) 種跳法；故可以得出 f(n) = f(n-1) + f(n-2)；
這樣思考可能更不容易出錯(cuò)吧，這就是思維的提煉過程，可見我們高考常考的「數(shù)學(xué)歸納法」是多么地有用。
既然能分析出這是一道典型的斐波那契數(shù)列了，我想教科書都教給大家方法了，不過一定要注意 n = 2 的時(shí)候，正常的斐波那契數(shù)列值應(yīng)該是 1，而我們是 2。大多數(shù)人肯定會寫出下面的代碼：
public class Test09 {
private static int fn(int n) {
if (n <= 0)
return 0;
if (n == 1)
return 1;
if (n == 2)
return 2;
else
return fn(n - 1) + fn(n - 2);
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(fn(1));
System.out.println(fn(2));
System.out.println(fn(3));
System.out.println(fn(4));
}
}
我們教科書上反復(fù)用這個(gè)問題來講解遞歸函數(shù)，但并不能說明遞歸的解法是最適合這個(gè)題目的。當(dāng)我們暗自竊喜完成了這道面試題的時(shí)候，或許面試官會告訴我們，上面的這種遞歸解法存在很嚴(yán)重的效率問題，并讓我們分析其中的原因。
我們以求 fn(10) 為例，要想求得 fn(10)，需要先求得 fn(9) 和 fn(8)；同樣，要求得 fn(9)，需要先求得 fn(8) 和 fn(7)......
這存在一個(gè)很大的問題，我們一定會去重復(fù)計(jì)算很多值，我們一定得想辦法把這個(gè)計(jì)算好的值存放起來。
避免重復(fù)計(jì)算
既然我們找到了問題所在，那改進(jìn)方法自然是信手拈來了。我們目前的算法是「從大到小」計(jì)算，而我們只需要反向「從小到大」計(jì)算就可以了。我們根據(jù) fn(1) 和 fn(2) 計(jì)算出 fn(3)，再根據(jù) fn(2) 和 fn(3) 計(jì)算出 fn(4)......
很容易理解，這樣的算法思路時(shí)間復(fù)雜度是 O(n)，實(shí)現(xiàn)代碼如下：
public class Test09 {
private static long fn(int n) {
if (n <= 0)
return 0;
if (n == 1)
return 1;
if (n == 2)
return 2;
long prePre = 1, pre = 2;
long result = 0;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
result = prePre + pre;
prePre = pre;
pre = result;
}
return result;
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(fn(1));
System.out.println(fn(3));
System.out.println(fn(50));
System.out.println(fn(100));
}
}
上面的代碼，一定要注意做了一點(diǎn)小修改，我們把返回值悄悄地改成了 long ，因?yàn)槲覀儾⒉荒鼙ＷC客戶端是否會輸入一個(gè)比較大的數(shù)字，比如：100，這樣，如果返回值為 int，一定會因?yàn)槌隽俗畲笾刀@示錯(cuò)誤的，解決方案就是把值換為更大容量的 long。但有時(shí)候你會發(fā)現(xiàn)，long 的容量也不夠，畢竟整型和長整型，它都會有最大顯示值，在遇到這樣的情況的時(shí)候。我們最好和面試官交流一下，是否處理這樣的情況。如果一定要處理這樣的情況，那么可能你就得用 String 來做顯示處理了。
其實(shí)在《劍指 Offer》上還有時(shí)間復(fù)雜度為 O(logn) 的解法，但因?yàn)椴粔驅(qū)嵱茫覀冞@里也就不講解了，主要還是我們解題的算法思路訓(xùn)練。如果真的很感興趣的話，那就請移步《劍指 Offer》吧。反正你在公眾號后臺回復(fù)「劍指Offer」就可以拿到 PDF 版本的。
總結(jié)
今天的面試講解就到這吧，大家一定要學(xué)會自己去獨(dú)立思考，訓(xùn)練自己的思維。簡單回顧一下我們本周所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，我們下周再見！
