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Motivation

遇到一個力學問題時，我們最先做的通常是寫下該系統的動力學方程。在分析力學基本理論中，我們已經了解到，為了消去約束，拉格朗日體系提出坐標的選取可以不再局限于量綱為位置的坐標，它將我們坐標選取的范圍擴大到了所謂的“廣義坐標”；而哈密頓體系更是指出，坐標和其相對應的廣義動量在本質上并沒有區別，即它們均是獨立的廣義坐標，于是我們又將可用來作為廣義坐標的變量個數從 $n$ 擴充到了 $2n$ 。但不論是拉格朗日體系還是哈密頓體系，廣義坐標的選取一直都是解決一個力學問題時最考驗技巧的一步。好的廣義坐標選取可以大大降低問題難度，而另一些廣義坐標的選擇可能會讓使用者多走許多彎路。在分析力學基本理論中曾多次提到，由于循環坐標的個數依賴于廣義坐標的選取，而循環坐標對應的動力學方程又具有十分簡單可求解的形式，所以對于每一個力學問題，為了降低解題難度，我們都會盡可能地選取一組廣義坐標，使得它們都是循環坐標。所以，正則變換理論其實是一種為了克服廣義坐標選取而發明的系統方法，它巧妙地繞開了選取坐標會依賴技巧這一障礙，進而指出一條尋找最佳坐標的方法。

Proposition 1

考慮坐標變換

$\begin{cases}Q_i = Q_i(q,p,t),\\P_i = P_i(q,p,t),\end{cases}\quad i = 1,2,...,n \quad\dots\dots\quad(1.1)\\$

其中的變量 $Q_i，P_i$ 是新的正則坐標。上述變換定義了相空間內的點變換（point transformation）。

【注】括號內的變量均為縮寫。例如 $Q_i = Q_i(q_1,q_2,...,q_n;p_1,p_2,...,p_n;t)\\$ 我們知道，在舊的正則坐標下，有哈密頓函數 $H(q,p,t)$ 使得哈密頓修正原理（modified Hamilton's principle）得到滿足，進而有方程

$\begin{align*}\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i},\quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}\end{align*}\\$

相似地，對于新的正則坐標 $Q_i，P_i$ ，我們提出，存在一個扮演著類似“哈密頓函數”這一角色的函數 $K(Q,P,t)$ ，使得

$\begin{align*}\dot{Q}_i = \frac{\partial K}{\partial P_i},\quad \dot{P}_i = -\frac{\partial K}{\partial Q_i}\end{align*} \quad\dots\dots\quad(1.2)\\$

在舊正則坐標下，哈密頓修正原理為

$\delta \int_{t_1}^{t_2}\left(\sum_i p_i\dot{q}_i - H(q,p,t)\right)\,dt = 0\\$

為保證正則變換的有效性，即變換后新坐標 $Q_i, P_i$ 依然是正則坐標，哈密頓修正原理在新坐標下必須同樣被滿足：

$\delta \int_{t_1}^{t_2}\left(\sum_iP_i\dot{Q}_i - K(Q,P,t)\right)\,dt = 0\\$

如果我們固定相空間中路徑的端點，那么上述的兩個作用量的被積函數將只會相差一個二階可微函數 $F$ 關于時間的全微商。于是有

$\boxed{\lambda\left(\sum_ip_i\dot{q_i} - H\right) = \sum_iP_i\dot{Q}_i - K + \frac{dF}{dt}}\quad\dots\dots\quad(1.3)\\$

上式是一個正則變換 $(1.1)$ 應滿足的具體條件。于是，根據Proposition 1，

Definition 1.1

滿足了條件 $(1.2)$ 的正則坐標的變換 $(1.1)$ 稱為正則變換(canonical transformations)。

Remark 1.1

注意到表達式中的 $\lambda$ 是一個不依賴任何正則坐標與時間的標度系數。該系數的引入使得正則坐標的任意放縮變換/尺度變換（scale transformation）成為可能，也就是我們對各種物理量的單位規定。例如，兩組正則坐標間的尺度變換可以是如下形式：

$\begin{align*}Q_i^{\prime} &= \mu q_i\\P_i^{\prime} &= \nu p_i\end{align*}\\$

其中 $\mu, \nu$ 也均是不依賴任何正則坐標與時間的比例系數。很容易證明，例子中的尺度變換對哈密頓方程的形式其實并無影響：

$K^{\prime}(Q^{\prime}, P^{\prime}) = \mu\nu H(q,p)\\$

根據哈密頓修正原理，

$\mu\nu\left(\sum_ip_i\dot{q}_i - H\right) = \sum_iP_i^{\prime}\dot{Q}_i^{\prime} - K^{\prime}\\$

這時只要令 $\lambda = \mu\nu$ ，我們就可以回到一般結論。

Definition 1.2

（1）本篇著重討論的，或者很多書上講到的所謂的正則變換，其實是標度系數 $\lambda = 1$ 的正則變換；而對于那些標度系數 $\lambda \neq 1$ 的正則變換，我們通常將其稱為正則拓展變換（extended canonical transformation）。

（2）對于那些方程不顯性包含時間的正則變換，我們將其稱為限制性正則變換（restricted canonical transformation）。

Definition 1.3

只有當 $2n$ 個正則變量中有一半來自舊坐標，一半來自新坐標時，函數 $F$ 才能夠體現其效用性。具有不同形式、包含了不同變量的函數 $F$ 會生成規則不同的正則變換，它們充當了連接新舊兩組正則坐標的橋梁，描述了一個正則變換獨有的特點。所以我們將函數 $F$ 稱為一個正則變換的母函數（generating function）。

本篇介紹最常見的四類正則變換母函數，它們分別是：

（i） $F = F_1(q,Q,t)$

（ii） $F = F_2(q,P,t) - \sum_iQ_iP_i$

（iii） $F = F_3(p,Q,t) + \sum_i q_ip_i$

（iv） $F = F_4(p,P,t) + \sum_i q_ip_i - \sum_i Q_iP_i$

第一類正則變換母函數，也就是 $F = F_1(q,Q,t)$ ，是最基礎的類型，它直接來源于方程 $(1.3)$ 。而剩下的三類母函數均可通過使用與第一類母函數的勒讓德變換構造出來。

我們首先寫出方程 $(1.3)$ 的微分形式，然后移項調整，得到

$dF = \sum_ip_idq_i - \sum_i P_idQ_i + \left( K - H\right)dt \quad \dots\dots\quad (1.4)\\$

可見，此時等式右側的獨立變量為新舊坐標 $q_i,Q_i$ 的混合，所以左側的函數 $F$

也應取 $q_i,Q_i$ 為自己的獨立變量，于是式子可以被更明確地寫為

$dF_1(q,Q,t) = \sum_ip_idq_i - \sum_i P_idQ_i + \left( K - H\right)dt \quad \dots\dots\quad (1.5)\\$

這樣便得到了第一類正則變換母函數 $F_1(q,Q,t)$ 。

對等式 $(1.5)$ 左側進行展開，有

$dF_1(q,Q,t) = \sum_i\frac{\partial F_1}{\partial q_i}dq_i + \sum_i\frac{\partial F_1}{\partial Q_i}dQ_i + \frac{\partial F_1}{\partial t}dt \quad \dots\dots\quad (1.6) \\$

將 $(1.6)$ 代入 $(1.5)$ ，就能夠得到第一類關系式：

$p_i = \frac{\partial F_1}{\partial q_i},\; P_i = -\frac{\partial F_1}{\partial Q_i},\quad i = 1,2,...,n\\$

$K = H + \frac{\partial F_1}{\partial t}\\$

Remark 1.2

這兩個式子表明，在從 $p_i,q_i$ 變換到 $P_i,Q_i$ 時，雖然新坐標 $Q_i$ 可任意規定，但一旦它被規定過后，那么其它量就必須滿足以下三條結論：

（1） $P_i$ 必須由 $P_i = -\frac{\partial F_1}{\partial Q_i}$ 來規定，即由 $F_1$ 來決定，不同的 $F_1$ 對應不同的 $P_i$ 。

（2） $F_1$ 不能完全自由地選擇，因為它必須滿足 $p_i = \frac{\partial F_1}{\partial q_i}$ 。

（3）新的哈密頓函數 $K$ 必須由 $K = H + \frac{\partial F_1}{\partial t}$ 來確定。

如果結果違反了三條中的任意一條，那么經過 $(1.1)$ 變換后的具有哈密頓方程形式的正則變換便不再成立。

已知第一類母函數及其與正則坐標間的關系式，接下來本篇給出一套使用微分關系 $(1.4)$ 來得到其余三類正則變換母函數的系統步驟：

（1）確定目標函數的變量依賴情況。正如剛才所說，一個母函數依賴的變量通常有一半來自舊坐標組，一半來自新坐標組。所以這里的目標函數一般是指其余三類正則變換母函數，或者這三者的任意組合。

（2）使用等式

$\begin{align*}d\left(\sum_i q_ip_i \right) &= \sum_iq_idp_i + \sum_i p_idq_i\\d\left(\sum_i Q_iP_i \right) &= \sum_iQ_idP_i + \sum_i P_idQ_i\end{align*}\\$

對關系 $(1.4)$ 中的右側原函數的變量依賴情況進行代換和調整，構造出（1）中確定好的變量依賴情況。

（3）將（2）中代換所多出的項移至等式左側，確保此時的 $(1.4)$ 右側不含有除目標變量以外的其它項。

（4）將關系式的左側所有項進行合并，于是左側就可以得到目標函數的微分表達式。

這樣的敘述似乎不太好理解，讓我用一個例子來進一步說明。

現在考慮第四類正則變換母函數 $F_4(p,P,t)$ 。將它作為我們的目標函數，從第一類母函數 $F_1(q,Q,t)$ 出發，按照上述給出的步驟，要如何得到第四類母函數？

首先我們看到，第四類母函數的變量依賴為 $p_i,P_i,t$ ，所以除時間外，這對于第一類母函數而言將是完全不同的依賴關系。這意味著當我們在執行操作（2）時，舊的依賴關系全都需要被代換掉：

$\begin{align*}dF_1(q,Q,t) &= \sum_ip_idq_i - \sum_iP_idQ_i + (K-H)dt\\&= d(\sum_ip_iq_i) - \sum_iq_idp_i - d(\sum_iP_iQ_i) + \sum_iQ_idP_i + (K - H)dt\end{align*}\\$

進一步移項后得到

$dF_1(q,Q,t) -d(\sum_ip_iq_i) + d(\sum_iP_iQ_i) = \sum_iQ_idP_i - \sum_iq_idp_i + (K-H)dt\\$

此時左側可以合并，于是

$d(F_1 - \sum_ip_iq_i + \sum_iP_iQ_i) = dF_4(p,P,t) = \sum_iQ_idP_i - \sum_iq_idp_i + (K-H)dt \quad \dots\dots \quad (1.7)\\$

可見，我們得到了形式為（iv）的母函數

$F_4(p,P,t) = F_1 - \sum_ip_iq_i + \sum_iP_iQ_i\\$

由于 $(1.7)$ 左側依賴變量 $p_i,P_i,t$ ，其微分形式為

$dF_4(p,P,t) = \sum_i\frac{\partial F_4}{\partial p_i}dp_i + \sum_i\frac{\partial F_4}{\partial P_i}dP_i + \frac{\partial F_4}{\partial t}dt \quad \dots\dots \quad (1.8) \\$

將 $(1.7)$ 與 $(1.8)$ 逐項對應，便可得到第四類關系式。

Remark 1.3

一些母函數能夠生成恒等變換。例如，母函數 $F_2 = \sum_iq_iP_i$ 就能生成如下的恒等變換：

$p_i = \frac{\partial F_2}{\partial q_i} = P_i,\quad Q_i = \frac{\partial F_2}{\partial P_i} = q_i, \quad i = 1,2,...,n\\$

$K = H\\$

而母函數 $F_3 = \sum_ip_iQ_i$ 則可以生成帶有符號的恒等變換。

Remark 1.4

形如 $F_1(q,Q,t) = q_kQ_k$ 的第一類母函數對應的變換具有形式

$p_i = \frac{\partial F_1}{\partial q_i} = Q_i, \quad P_i = -\frac{\partial F_1}{\partial Q_i} = -q_i, \quad i = 1,2,...,n\\$

注意到該母函數生成的正則變換的作用僅僅是將動量和坐標的名稱互換了，因此我們再次發現，在哈密頓方程中，廣義坐標和廣義動量只是名稱上有所不同，在物理意義上并無任何差別可言，因此我們也常常將這 $2n$ 個變量不加以區分地統一稱為正則共軛變量（canonically conjugate variables）。實際上，任何一個力學量均可看作是正則變量，只要相應的共軛變量 $p,q$ 的乘積有作用量的量綱即可，即

$\dim pq = \dim E \times \dim t\\$

所以在這樣的意義下，能量 $E$ 和時間 $t$ 也可看成是一對共軛的正則變量。

Remark 1.5

普通意義下的點之間的坐標變換其實只是正則變換的一種特殊情況。如果我們取第二類正則變換的母函數

$F_2(q,P,t) = \sum_i f_i(q,t)P_i\\$

相應的變換方程則為

$Q_i = \frac{\partial F_2}{\partial P_i} = f_i(q,t)\\$

可見，由于 $f_i$ 不顯含任何正則動量，所以坐標的變換與動量不發生關系，我們得到了之前的拉格朗日坐標變換。

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正則變換1

正則變換1

Motivation

Proposition 1

Definition 1.1

Remark 1.1

Definition 1.2

Definition 1.3

Remark 1.2

Remark 1.3

Remark 1.4

Remark 1.5

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