Rod Cutting
有一段長的鋼管，根據市場需求，鋼管可以切成1m，2m，3m，4m出售，每種尺寸的鋼管價格不同，如果有一段10m長的鋼管，如何切割可以使利益最大化呢？如下圖所示：
我們可以想到用分治的辦法解決，例如，切一刀，遞歸去找余下長度的最優，切兩刀，遞歸去找余下長度的最優，一次類推，這是一個指數級增長的計算量。
上述不是一個好辦法，怎么優化呢？我們可以依次去找切成1塊的最優、兩塊的最優、三塊最優，以此類推，并將此記錄下來，如下表所示。然后在求余下的最優，看記錄表有沒有此長度的記錄，有的話直接獲取，沒有的話在去計算。
| 長度 | 最優切割方式 | 價值 |
|---|---|---|
| 1 | 不切 | 1 |
| 2 | 不切 | 5 |
| 3 | 不切 | 8 |
| ... | ... | ... |
Sequence Matching
在生物學中，人類DNA由4個堿基組成：腺嘌呤（A），胸腺嘧啶（T），鳥嘌呤（G），胞嘧啶（C）。如果想判斷兩段DNA相似程度，可以通過編輯距離（edit distance）來判定，即一個字符串通過刪除、修改轉變為另外一個字符串，已知每種操作的成本如下：
上圖中左邊的編輯距離是8，右邊的是7.
在每次匹配中，我們都可以執行兩種操作：1.當前字符匹配（相等成本為0，修改為1）；2.刪除其中一個字符（成本為2）。參考如下示例：
在解決此問題中，因為每次匹配都會涉及到重復的計算，我們可以把已匹配的結果，存儲下來方便復用。比如上圖中，我們知道了兩字符串后兩位的最優編輯距離是1，并且知道了其他操作的編輯距離，方便后面復用。
我們將兩個字符串變成了2維矩陣，中間的每一個格代表兩字符串的編輯距離（從后向前）。比如“CC”和“A”的編輯距離是3，即C和A進行修改成本為1，刪除最后的C成本為2. 再比如“AACAGTTACC”和“”編輯距離是20，即進行了10次刪除操作，變為空串。計算公式如下：
上述公式表明匹配到當前字符串S1[i: ]和S2[j: ]時，可以刪除某一字符串的字符（成本為2）然后加上已經計算過的兩字符串的編輯距離；或當前字符進行匹配（成本：相同為0，修改為1）然后加上已經計算過的兩字符串的編輯距離。
兩字符串完整的編輯距離如下圖所示，我們可以找到最優的匹配方式：首先是A和T匹配，然后是A和A匹配，然后刪除掉行字符串的C，然后A和A匹配，依次類推。
