文章目錄
1.梯度
2.多元線性回歸參數求解
3.梯度下降
4.梯度下降法求解多元線性回歸

梯度下降算法在機器學習中出現頻率特別高，是非常常用的優化算法。

本文借多元線性回歸，用人話解釋清楚梯度下降的原理和步驟。

1.梯度

梯度是什么呢？

我們還是從最簡單的情況說起，對于一元函數來講，梯度就是函數的導數。

而對于多元函數而言，梯度是一個向量，也就是說，把求得的偏導數以向量的形式寫出來，就是梯度。

例如，我們在用人話講明白線性回歸LinearRegression一文中，求未知參數 $\beta_{0}$ 和 $\beta_{1}$ 時，對損失函數求偏導，此時的梯度向量為 $(\frac{?Q}{?\beta_{0}}, \frac{?Q}{?\beta_{1}})^T$ ，其中：

$\frac{\partial Q}{\partial \beta_{0}}=2\sum_{1}^{n}{(y_{i}-\hat{\beta_{0}}-\hat{\beta_{1}}x_{i})}$

$\frac{\partial Q}{\partial \beta_{1}}=2\sum_{1}^{n}{(y_{i}-\hat{\beta_{0}}-\hat{\beta_{1}}x_{i})x_{i}}$

那篇文章中，因為一元線性回歸中只有2個參數，因此令兩個偏導數為0，能很容易求得 $\beta_{0}$ 和 $\beta_{1}$ 的解。

但是，這種求導的方法在多元回歸的參數求解中就不太實用了，為什么呢？

2.多元線性回歸參數求解

多元線性回歸方程的一般形式為：

$y={\beta}_{0}+{\beta}_{1} {x}_{\mathbf{1} }+{\beta}_{2} {x}_{2 }+\cdots+{\beta}_{p}{x}_{p}$
可以簡寫為矩陣形式（一般加粗表示矩陣或向量）：
$\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{X}\boldsymbol{\beta}$
其中， $\boldsymbol{Y}=\left[\begin{array}{c}y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n}\end{array}\right], \boldsymbol{X}=\left[\begin{array}{cccc}1 & x_{11} & \cdots & x_{1 p} \\ 1 & x_{21} & \cdots & x_{2 p} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & x_{n 1} & \cdots & x_{n p}\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}=\left[\begin{array}{c}\beta_{0} \\ \beta_{1} \\ \vdots \\ \beta_{p}\end{array}\right]$

之前我們介紹過一元線性回歸的損失函數可以用殘差平方和：
$Q=\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\hat{y}_{i}\right)^{2}$

代入多元線性回歸方程就是：
$Q=\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\hat\beta_{0}-\hat\beta_{1} x_{i 1}-\ldots-\hat\beta_{p} x_{i p}\right)^{2}$
用矩陣形式表示：
$\begin{aligned} Q &=(\boldsymbol{X}\boldsymbol{\beta}-\boldsymbol{Y})^T(\boldsymbol{X}\boldsymbol{\beta}-\boldsymbol{Y}) \\ & =(\boldsymbol \beta^{T} \boldsymbol{X}^{T}-\boldsymbol{Y}^{T})(\boldsymbol{X} \boldsymbol\beta-\boldsymbol{Y}) \\ & =\boldsymbol\beta^{T} \boldsymbol{X}^{T} \boldsymbol{X} \boldsymbol\beta-\boldsymbol\beta^{T} \boldsymbol{X}^{T} \boldsymbol{Y}-\boldsymbol{Y}^{T} \boldsymbol{X} \boldsymbol\beta+\boldsymbol{Y}^{T} \boldsymbol{Y}\end{aligned}$

上面的展開過程涉及矩陣轉置，這里簡單提一下矩陣轉置相關運算，以免之前學過但是現在忘了：
$(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$

$(A B)^{T}=B^{T} A^{T}$

好了，按照一元線性回歸求解析解的思路，現在我們要對Q求導并令導數為0（原諒我懶，后面寫公式就不對向量或矩陣加粗了，大家能理解就行）：
$\begin{aligned} \frac{\partial Q}{\partial \beta}=2 X^{T} X \beta-X^{T} Y-X^{T} Y &=0 \\ 2X^{T} X \beta-2X^{T} Y &=0 \\ X^{T} X \beta&=X^{T} Y \\ \beta &=\left(X^{T} X\right)^{-1} X^{T} Y \end{aligned}$

上面的推導過程涉及矩陣求導，這里以 ${Y}^{T} {X} \beta$ 求導為例展開講下，為什么 $\frac{\partial {Y}^{T} {X} \beta}{\partial \beta}={X}^{T} {Y}$ ，其他幾項留給大家舉一反三。

首先：
$\begin{aligned} \frac{\partial {Y}^{T} {X} \beta}{\partial \beta} = \frac{\partial \left((y_{1}, y_{2}, \dots,y_{n}) \left[\begin{array}{cccc}1 & x_{11} & \cdots & x_{1 p} \\ 1 & x_{21} & \cdots & x_{2 p} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & x_{n 1} & \cdots & x_{n p}\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}\beta_{0} \\ \beta_{1} \\ \vdots \\ \beta_{p}\end{array}\right]\right)} {\partial \left[\begin{array}{c}\beta_{0} \\ \beta_{1} \\ \vdots \\ \beta_{p}\end{array}\right]} \end{aligned}$

為了直觀點，我們將 ${Y}^{T} {X}$ 記為A，因為Y是n維列向量，X是n×(p+1)的矩陣，因此 ${Y}^{T} {X}$ 是(p+1)維行向量：
$(y_{1}, y_{2}, \dots,y_{n}) \left[\begin{array}{cccc}1 & x_{11} & \cdots & x_{1 p} \\ 1 & x_{21} & \cdots & x_{2 p} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & x_{n 1} & \cdots & x_{n p}\end{array}\right] = (\alpha_{0}, \alpha_{1}, \dots,\alpha_{p})$
那么上面求導可以簡寫為：
$\begin{aligned} \frac{\partial {Y}^{T} {X} \beta}{\partial \beta} = \frac{\partial \left((\alpha_{0}, \alpha_{1}, \dots,\alpha_{p}) \left[\begin{array}{c}\beta_{0} \\ \beta_{1} \\ \vdots \\ \beta_{p}\end{array}\right]\right)} {\partial \left[\begin{array}{c}\beta_{0} \\ \beta_{1} \\ \vdots \\ \beta_{p}\end{array}\right]}= \frac{\partial (\alpha_{0}\beta_{0}+\dots+\alpha_{p}\beta_{p})} {\partial \left[\begin{array}{c}\beta_{0} \\ \beta_{1} \\ \vdots \\ \beta_{p}\end{array}\right]} \end{aligned}$

這種形式的矩陣求導屬于分母布局，即分子為行向量或者分母為列向量（這里屬于后者）。

搞不清楚的可以看看這篇：矩陣求導實例，這里我直接寫出標量/列向量求導的公式，如下（y表示標量，X表示列向量）：
$\frac{\partial y}{\partial {X}}= \left[\begin{array}{c} \frac{\partial y}{\partial x_{1}} \\ \frac{\partial y}{\partial x_{2}} \\ \vdots \\ \frac{\partial y}{\partial x_{n}} \end{array}\right]$

根據上式，顯然有：
$\frac{\partial (\alpha_{0}\beta_{0}+\dots+\alpha_{p}\beta_{p})} {\partial \left[\begin{array}{c}\beta_{0} \\ \beta_{1} \\ \vdots \\ \beta_{p}\end{array}\right]} = {\left[\begin{array}{c} \frac{\partial \alpha_{0}\beta_{0}}{\partial \beta_{0}} \\ \frac{\partial \alpha_{1}\beta_{1}}{\partial \beta_{1}} \\ \vdots \\ \frac{\partial \alpha_{p}\beta_{p}}{\partial \beta_{p}} \end{array}\right]}= \left[\begin{array}{c}\alpha_{0} \\ \alpha_{1} \\ \vdots \\ \alpha_{p}\end{array}\right]$

前面我們將 ${Y}^{T} {X}$ 記為A， $A=(\alpha_{0}, \alpha_{1}, \dots,\alpha_{p})$ ，那么上面算出來的結果就是 ${A}^{T}$ ，即 ${X}^{T} {Y}$ 。

說了這么多有的沒的，最終我想說是的 $\beta=\left(X^{T} X\right)^{-1} X^{T} Y$ ，里面涉及到矩陣求逆，但實際問題中可能X沒有逆矩陣，這時計算的結果就不夠精確。

第二個問題就是，如果維度多、樣本多，即便有逆矩陣，計算機求解的速度也會很慢。

所以，基于上面這兩點，一般情況下我們不會用解析解求解法求多元線性回歸參數，而是采用梯度下降法，它的計算代價相對更低。

3.梯度下降

好了，重點來了，本文真正要講的東西終于登場了。

梯度下降，就是通過一步步迭代，讓所有偏導函數都下降到最低。如果覺得不好理解，我們就還是以最簡單的一元函數為例開始講。

下圖是我用Excel簡單畫的二次函數圖像（看起來有點歪，原諒我懶……懶得調整了……），函數為 $y=x^2$ ，它的導數為y=2x。

在這里插入圖片描述

如果我們初始化的點在x=1處，它的導函數值，也就是梯度值是2，為正，那就讓它往左移一點，繼續計算它的梯度值，若為正，就繼續往左移。

如果我們初始化的點在x=-1處，該處的梯度值是-2，為負，那就讓它往右移。

多元函數的邏輯也一樣，先初始化一個點，也就是隨便選擇一個位置，計算它的梯度，然后往梯度相反的方向，每次移動一點點，直到達到停止條件。

這個停止條件，可以是足夠大的迭代步數，也可以是一個比較小的閾值，當兩次迭代之間的差值小于該閾值時，認為梯度已經下降到最低點附近了。

在這里插入圖片描述

二元函數的梯度下降示例如上圖（圖片來自梯度下降），對于這種非凸函數，可能會出現這種情況：初始化的點不同，最后的結果也不同，也就是陷入局部最小值。

在這里插入圖片描述

這種問題比較有效的解決方法，就是多取幾個初始點。不過對于我們接下來講的多元線性回歸，以及后面要講的邏輯回歸，都不存在這個問題，因為他們的損失函數都是凸函數，有全局最小值。

用數學公式來描述梯度下降的步驟，就是：
$\Theta_{k+1}=\Theta_{k}-\alpha \cdot g$

解釋下公式含義：

$\Theta_{k}$ 為k時刻的點坐標， $\Theta_{k+1}$ 為下一刻要移動到的點的坐標，例如 $\Theta_{0}$ 就代表初始化的點坐標， $\Theta_{1}$ 就代表第一步到移動到的位置；
g代表梯度，前面有個負號，就代表梯度下降，即朝著梯度相反的反向移動；
$\alpha$ 被稱為步長，用它乘以梯度值來控制每次移動的距離，這個值的設定也是一門學問，設定的過小，迭代的次數就會過多，設定的過大，容易一步跨太遠，直接跳過了最小值。

在這里插入圖片描述

4.梯度下降法求解多元線性回歸

回到前面的多元線性回歸，我們用梯度下降算法求損失函數的最小值。

首先，求梯度，也就是前面我們已經給出的求偏導的公式：
$\frac{\partial Q}{\partial \beta}=2 X^{T} X \beta-2X^{T} Y=2 X^{T} (X \beta-Y)$

將梯度代入隨機梯度下降公式：
$\Theta_{k+1}=\Theta_{k}-\alpha \cdot 2 X^{T} (X \beta-Y)$

這個式子中，X矩陣和Y向量都是已知的，步長是人為設定的一個值，只有參數 $\beta$ 是未知的，而每一步的 $\Theta$ 是由 $\beta$ 決定的，也就是每一步的點坐標。

算法過程：

初始化 $\beta$ 向量的值，即 $\Theta_{0}$ ，將其代入 $\frac{\partial Q}{\partial \beta}$ 得到當前位置的梯度；
用步長 $\alpha$ 乘以當前梯度，得到從當前位置下降的距離；
更新 $\Theta_1$ ，其更新表達式為 $\Theta_1=\Theta_0-\alpha \cdot 2 X^{T} (X \Theta_0-Y)$ ；
重復以上步驟，直到更新到某個 $\Theta_k$ ，達到停止條件，這個 $\Theta_k$ 就是我們求解的參數向量。