概述

有些計算問題是確定性的，例如加減乘除，只要按照公式推導(dǎo)，按部就班一步步來，就可以得到結(jié)果。

但是，有些問題是無法按部就班直接地計算出來。比如，找大質(zhì)數(shù)的問題。有沒有一個公式能推出下一個質(zhì)數(shù)是多少呢？這種問題的答案，是無法直接計算得到的，只能通過間接的“猜算”來得到結(jié)果。這也就是非確定性問題。而這些問題的通常有個算法，它不能直接告訴你答案是什么，但可以告訴你，某個可能的結(jié)果是正確的答案還是錯誤的。這個可以告訴你“猜算”的答案正確與否的算法，假如可以在多項(xiàng)式（polynomial）時間內(nèi)算出來，就叫做多項(xiàng)式非確定性問題。

NP類問題：所有的非確定性多項(xiàng)式時間可解的判定問題構(gòu)成NP類問題。

非確定性算法：非確定性算法將問題分解成猜測和驗(yàn)證兩個階段。算法的猜測階段是非確定性的，算法的驗(yàn)證階段是確定性的，它驗(yàn)證猜測階段給出解的正確性。

NP就是Non-deterministic Polynomial的問題，也即是多項(xiàng)式復(fù)雜程度的非確定性問題。

而如果任何一個NP問題都能通過一個多項(xiàng)式時間算法轉(zhuǎn)換為某個NP問題，那么這個NP問題就稱為NP完全問題（Non-deterministic Polynomial complete problem）。NP完全問題也叫做NPC問題。

生成問題的一個解通常比驗(yàn)證一個給定的解時間花費(fèi)要多得多。這是這種一般現(xiàn)象的一個例子。與此類似的是，如果某人告訴你，數(shù)13,717,421可以寫成兩個較小的數(shù)的乘積，你可能不知道是否應(yīng)該相信他，但是如果他告訴你他可以因式分解為3607乘上3803，那么你就可以用一個袖珍計算器容易驗(yàn)證這是對的。

完全多項(xiàng)式非確定性問題可以用窮舉法得到答案，一個個檢驗(yàn)下去，最終便能得到結(jié)果。但是這樣算法的復(fù)雜程度，是指數(shù)關(guān)系，因此計算的時間隨問題的復(fù)雜程度成指數(shù)的增長，很快便變得不可計算了。

人們發(fā)現(xiàn)，所有的完全多項(xiàng)式非確定性問題，都可以轉(zhuǎn)換為一類叫做滿足性問題的邏輯運(yùn)算問題。既然這類問題的所有可能答案，都可以在多項(xiàng)式時間內(nèi)計算，人們于是就猜想，

這類問題是否存在一個確定性算法，可以在多項(xiàng)式時間內(nèi)，直接算出或是搜尋出正確的答案呢？

這就是著名的NP=P？的猜想。

在計算機(jī)領(lǐng)域，一般可以將問題分為可解問題和不可解問題。不可解問題也可以分為兩類：一類如停機(jī)問題，的確無解；另一類雖然有解，但時間復(fù)雜度很高?？山鈫栴}也分為多項(xiàng)式問題(Polynomial Problem，P問題)和非確定性多項(xiàng)式問題(NondeterministicPolynomial Problem，NP問題)。

P問題

P問題是一個判定問題類，這些問題可以用一個確定性算法在多項(xiàng)式時間內(nèi)判定或解出。如果一個判定性問題的復(fù)雜度是該問題的一個實(shí)例的規(guī)模n的多項(xiàng)式函數(shù)，則我們說這種可以在多項(xiàng)式時間內(nèi)解決的判定性問題屬于P類問題。P類問題就是所有復(fù)雜度為多項(xiàng)式時間的問題的集合。
確定一個問題是否是多項(xiàng)式問題，在計算機(jī)科學(xué)中非常重要。已經(jīng)證明，多項(xiàng)式問題是可解問題，因?yàn)槌薖問題之外的問題，其時間復(fù)雜度都很高，即求解需要大量時間。
理論上有解但其時間復(fù)雜度巨大的問題，科學(xué)家將其稱為難解型問題。對計算機(jī)來說，這類問題是不可解的。因此，P問題成了區(qū)別問題是否可以被計算機(jī)求解的一個重要標(biāo)志。

NP問題

NP問題是指可以在多項(xiàng)式時間內(nèi)被非確定機(jī)解決的問題。通常它們的時間復(fù)雜度都是指數(shù)變量，如
等。
這里有一個著名的問題一千禧難題之首。是說P問題是否等于NP問題，也即是否所有在非確定機(jī)上多項(xiàng)式可解的問題都能在確定機(jī)上用多項(xiàng)式時間求解。這表明用NP問題尋找多項(xiàng)式時間表示的算法很困難，或許最后的結(jié)論是NP問題根本就不是P問題。

P=NP?問題

目前已經(jīng)證明所有P問題都是NP問題，那么反之P—NP嗎?這就是所謂的“NP問題”。目前P與NP是否等價是一個既沒有證實(shí)也沒有證偽的問題。但是大部分科學(xué)家猜想：找一個問題的解很困難，但驗(yàn)證一個解很容易(證比解易)，用公式表示就是P≠NP。問題較難求解(P)但容易驗(yàn)證(NP)，這與我們的日常生活經(jīng)驗(yàn)是相符的。

NPC： NP完全性問題

NPC(NP Complete，NP完全)問題
計算機(jī)科學(xué)家將NP問題中最困難的稱為NPC問題。

NPC問題有一個令人驚訝的性質(zhì)，即

如果一個NPC問題存在多項(xiàng)式時間算法，那么所有NP問題都可以在多項(xiàng)式時間內(nèi)求解，即P=NP成立。

這是因?yàn)槊恳粋€NPC問題都可以在多項(xiàng)式時間內(nèi)轉(zhuǎn)化成任何一個NP問題。只要任意一個NPC問題找到了一個多項(xiàng)式算法，那么所有NP問題都能用這個算法解決，也就解決了NP=P問題。但是給NPC找一個多項(xiàng)式算法太不可想象了，而且也從未成功，因此科學(xué)家認(rèn)為，正是NPC問題的存在，使得人們相信P=NP。

NPC問題目前沒有多項(xiàng)式算法，只能用窮舉法逐個檢驗(yàn)，最終得到答案。但是窮舉法的計算時間隨問題的復(fù)雜程度呈指數(shù)增長，很快問題就會變得不可計算了。

圍棋或象棋的博弈問題、國際象棋的n皇后問題、密碼學(xué)中的大素數(shù)分解問題等，都屬于NPC類問題。

決策樹與NP問題

決策樹(decision tree)是一種基本的分類與回歸方法。決策樹模型呈樹形結(jié)構(gòu)，在分類問題中，表示基于特征對實(shí)例進(jìn)行分類的過程。它可以認(rèn)為是if-then規(guī)則的集合，也可以認(rèn)為是定義在特征空間與類空間上的條件概率分布。

其主要優(yōu)點(diǎn)是模型具有可讀性，分類速度快。學(xué)習(xí)時，利用訓(xùn)練數(shù)據(jù)，根據(jù)損失函數(shù)最小化的原則建立決策樹模型。預(yù)測時，對新的數(shù)據(jù)，利用決策樹模型進(jìn)行分類。
決策樹學(xué)習(xí)通常包括3個步驟：特征選擇、決策樹的生成和決策樹的修剪。

在決策樹算法中，尋找最優(yōu)決策樹是一個NP完全問題。決策樹的這一特點(diǎn)，說明我們無法利用計算機(jī)在多項(xiàng)式時間內(nèi)，找出全局最優(yōu)的解。

也正因?yàn)槿绱耍蠖鄶?shù)決策樹算法都采用啟發(fā)式的算法，如貪心算法，來指導(dǎo)對假設(shè)空間的搜索?？梢哉f，決策樹最后的結(jié)果，是在每一步、每一個節(jié)點(diǎn)上做的局部最優(yōu)選擇。決策樹得到的結(jié)果，是沒法保證為全局最優(yōu)的。

關(guān)于千僖難題

背景
美國麻州的克雷（Clay）數(shù)學(xué)研究所于2000年5月24日在巴黎法蘭西學(xué)院宣布了一件被媒體炒得火熱的大事：對七個“千僖年數(shù)學(xué)難題”的每一個懸賞一百萬美元。
內(nèi)容
“千僖難題”之一：P （確定性多項(xiàng)式算法）對NP （非確定性多項(xiàng)式算法）
“千僖難題”之二：霍奇（Hodge）猜想
“千僖難題”之三：龐加萊（Poincare）猜想
“千僖難題”之四：黎曼（Riemann）假設(shè)
“千僖難題”之五：楊－米爾斯（Yang-Mills）存在性和質(zhì)量缺口
“千僖難題”之六：納維葉－斯托克斯（Navier-Stokes）方程的存在性與光滑性
“千僖難題”之七：貝赫（Birch）和斯維訥通－戴爾（Swinnerton-Dyer）猜想

小結(jié)

在設(shè)計程序時，我們經(jīng)常需要評估這個程序的時間復(fù)雜度，即衡量當(dāng)問題規(guī)模變大后，程序執(zhí)行所需的時間增長會有多快。如O(1)表示常數(shù)級別，即不管問題的規(guī)模變大多少倍，所耗的時間不會改變；O(N2)表示平方級別，即當(dāng)問題規(guī)模增大至2倍時，所花費(fèi)的時間則放大至4倍；O(2N)表示指數(shù)級別，即當(dāng)問題規(guī)模倍數(shù)擴(kuò)大時，所用時間會呈指數(shù)放大。

多項(xiàng)式時間則是指O(1)、O(logN)、O(N2)等這類可用多項(xiàng)式表示的時間復(fù)雜度，通常我們認(rèn)為計算機(jī)可解決的問題只限于多項(xiàng)式時間內(nèi)。而O(2N)、O(N!)這類非多項(xiàng)式級別的問題，其復(fù)雜度往往已經(jīng)到了計算機(jī)都接受不了的程度。

所有非確定性多項(xiàng)式時間內(nèi)可解的判定問題構(gòu)成NP類問題

NP類問題將問題分為求解和驗(yàn)證兩個階段，問題的求解是非確定性的，無法在多項(xiàng)式時間內(nèi)得到答案，而問題的驗(yàn)證卻是確定的，能夠在多項(xiàng)式時間里確定結(jié)果。

比如：是否存在一個公式可以計算下一個質(zhì)數(shù)是多少？這個問題的答案目前是無法直接計算出來的，但是如果某人給出了一個公式，我們卻可以在多項(xiàng)式時間里對這個公式進(jìn)行驗(yàn)證。

NP中的一類比較特殊的問題，這類問題中每個問題的復(fù)雜度與整個類的復(fù)雜度有關(guān)聯(lián)性，假如其中任意一個問題在多項(xiàng)式時間內(nèi)可解的，則這一類問題都是多項(xiàng)式時間可解。這些問題被稱為NP完全問題。

可以說NP完全問題是NP類問題的一種特殊情況，總結(jié)這幾類問題的特點(diǎn)，可參考如下這個表格：