最近重新學習MySQL，發(fā)現(xiàn)自己一直知道MySQL索引用到了B+樹，引發(fā)思考，為什么一定要是B+樹，其他樹或者其他數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)不可以嗎？下文揭曉。
算法圖解網(wǎng)站，可以看到樹是怎么生成的

1. 二叉查找樹 (Binary Search Tree)

• 既然都是樹，就先從二叉查找樹開始吧。

BST的性質(zhì)

• 二叉查找樹也稱為有序二叉查找樹，二叉查找樹具有以下性質(zhì)：

1. 任意節(jié)點左子樹不為空，則左子樹的值小于根節(jié)點的值
2. 任意節(jié)點右子樹不為空，則右子樹的值大于根節(jié)點的值
3. 任意節(jié)點的左右子樹也分別是二叉查找樹

4. 沒有鍵值相等的節(jié)點

   
   
   Binary Search Tree

• 上圖就為一個簡單的二叉查找樹，二叉查找樹的中序遍歷是有序的，從小到大輸出為：1， 3， 5， 8，9， 13
• 如果查找的鍵值為3，在二叉查找樹中，先比較根節(jié)點大小5>3, 找其左子樹，找到1，再比較1<3，找其右子樹，找到3。二叉查找樹找了2次，如果按照順序查找也是2次。
• 我們依次算下平均查找次數(shù)，二叉查找樹中查找次數(shù)為(1+2+2+3+3+3）/ 6 = 2.3次；如果順序查找，查找次數(shù)為(1+2+3+4+5+6) / 6 = 3.3 次。可以看到二叉查找樹的查找速度比順序查找更快。

BST的局限性及應(yīng)用

• 一個二叉查找樹是由n個節(jié)點隨機構(gòu)成的，在某些情況中，二叉查找樹會退化成一個有n個節(jié)點的線性鏈。如下圖

  
  
• 如上圖，如果我們的根節(jié)點選擇是最大或者最小的數(shù)，那么二叉查找樹就會退化成一個鏈，變成順序查找。
• 退化了的二叉查找樹查詢效率非常低，于是我們就想怎么才能最大性能的構(gòu)造出一個二叉查找樹，使得這個二叉樹是平衡的（高度相差不大），這樣就引出了AVL樹（二叉平衡樹）

BST 的操作代價分析

(1) 查找代價：

• 任何一個數(shù)據(jù)的查找過程都需要從根結(jié)點出發(fā)，沿某一個路徑朝葉子結(jié)點前進。因此查找中數(shù)據(jù)比較次數(shù)與樹的形態(tài)密切相關(guān)。
• 當樹中每個結(jié)點左右子樹高度大致相同時，樹高為logN。則平均查找長度與logN成正比，查找的平均時間復(fù)雜度在O(logN)數(shù)量級上。

• 當先后插入的關(guān)鍵字有序時，BST退化成單支樹結(jié)構(gòu)。此時樹高n。平均查找長度為(n+1)/2，查找的平均時間復(fù)雜度在O(N)數(shù)量級上。

  
  

(2) 插入代價：

新結(jié)點插入到樹的葉子上，完全不需要改變樹中原有結(jié)點的組織結(jié)構(gòu)。插入一個結(jié)點的代價與查找一個不存在的數(shù)據(jù)的代價完全相同。

(3) 刪除代價：

• 當刪除一個結(jié)點P，首先需要定位到這個結(jié)點P，這個過程需要一個查找的代價。然后稍微改變一下樹的形態(tài)。
• 如果被刪除結(jié)點的左、右子樹只有一個存在，則改變形態(tài)的代價僅為O(1)。
• 如果被刪除結(jié)點的左、右子樹均存在，只需要將當P的左孩子的右孩子的右孩子的…的右葉子結(jié)點與P互換，在改變一些左右子樹即可。
• 因此刪除操作的時間復(fù)雜度最大不會超過O(logN)。
  
  刪除節(jié)點左右子樹都在

時間復(fù)雜度分析

• 當樹中每個結(jié)點左右子樹高度大致相同時，樹高為logN。則平均查找長度與logN成正比，查找的平均時間復(fù)雜度是O(logN)
• 當先后插入的關(guān)鍵字有序時，BST退化成單支樹結(jié)構(gòu)。此時樹高n。因此最差時間復(fù)雜度是O(N)。
• 插入刪除操作算法簡單，時間復(fù)雜度與查找差不多。

2. AVL樹（平衡二叉查找樹）

• 我們不能忍受二叉查找樹在最差的情況下（鏈式）的時間復(fù)雜度和順序查找的時間復(fù)雜度一致。因為當數(shù)據(jù)夠大的時候，左右子樹可能會有很大的高度差，為了防止這種情況，AVL樹橫空出世！
• AVL樹本質(zhì)上就是帶有平衡條件的二叉查找樹
• AVL樹在左子樹與右子樹的高度差大于1的時候進行調(diào)整。

二叉查找樹

二叉平衡樹

• 上圖是一個二叉查找樹通過左旋變成AVL樹的過程，通過上面的gif圖可以看出，任意節(jié)點的左右子樹的平衡因子的差值都不會大于1。

AVL 的操作代價分析

• 我們還是使用[1， 3， 5， 8，9， 13] 這6個節(jié)點
  [站外圖片上傳中...(image-6e0bd7-1597541595431)]

(1) 查找代價：

AVL是嚴格平衡的BST（平衡因子不超過1）。那么查找過程與BST一樣，只是AVL不會出現(xiàn)最差情況的BST(單支樹)。因此查找效率最好，最壞情況都是O(logN)數(shù)量級的。

AVL查找節(jié)點

(2) 插入代價：

• AVL必須要保證嚴格平衡(|bf|<=1)，那么每一次插入數(shù)據(jù)使得AVL中某些結(jié)點的平衡因子超過1就必須進行旋轉(zhuǎn)操作。
• 事實上，AVL的每一次插入結(jié)點操作最多只需要旋轉(zhuǎn)1次(單旋轉(zhuǎn)或雙旋轉(zhuǎn))。
• 因此，總體上插入操作的代價仍然在O(logN)級別上(插入結(jié)點需要首先查找插入的位置)。
  [站外圖片上傳中...(image-fc03e8-1597541595431)]

(3) 刪除代價：

• AVL刪除結(jié)點的算法可以參見BST的刪除結(jié)點，但是刪除之后必須檢查從刪除結(jié)點開始到根結(jié)點路徑上的所有結(jié)點的平衡因子。
• 因此刪除的代價稍微要大一些。每一次刪除操作最多需要O(logN)次旋轉(zhuǎn)。
• 因此，刪除操作的時間復(fù)雜度為O(logN)+O(logN)=O(2logN)
  [站外圖片上傳中...(image-d72429-1597541595431)]

時間復(fù)雜度分析

• 查找的時間復(fù)雜度維持在O(logN)，不會出現(xiàn)最差情況
• AVL樹在執(zhí)行每個插入操作時最多需要1次旋轉(zhuǎn)，其時間復(fù)雜度在O(logN)左右。
• AVL樹在執(zhí)行刪除時代價稍大，執(zhí)行每個刪除操作的時間復(fù)雜度需要O(2logN)。

3. 紅黑樹

• 二叉平衡樹的嚴格平衡策略以犧牲建立查找結(jié)構(gòu)(插入，刪除操作)的代價，換來了穩(wěn)定的O(logN) 的查找時間復(fù)雜度。但是這樣做是否值得呢？
• 能不能找一種折中策略，即不犧牲太大的建立查找結(jié)構(gòu)的代價，也能保證穩(wěn)定高效的查找效率呢？ 答案就是：紅黑樹。

紅黑樹簡介

• 紅黑樹是一種二叉查找樹，但是在每個節(jié)點增加一個存儲位表示節(jié)點的顏色，共有兩種顏色，紅色和黑色。
• 通過對任何一條從根到葉子的路徑上的各個節(jié)點著色的方式，確保沒有一條路徑會比其他路徑長出兩倍。
• 紅黑樹是一種弱平衡二叉樹（由于是弱平衡，在相同的節(jié)點的情況下，AVL的高度低于紅黑樹），相對于要求平衡嚴格的AVL樹來說，紅黑樹旋轉(zhuǎn)的次數(shù)更少。
• 在對于搜索、插入、刪除操作多得情況下，我們就用紅黑樹。

紅黑樹性質(zhì)

1. 每個節(jié)點非紅即黑
2. 根節(jié)點必須是黑的
3. 每個葉節(jié)點(葉節(jié)點即樹尾端NULL指針或NULL節(jié)點)都是黑的；
4. 如果一個節(jié)點是紅的,那么它的兩兒子都是黑的；
5. 對于任意節(jié)點而言，其到葉子點樹NULL指針的每條路徑都包含相同數(shù)目的黑節(jié)點；
6. 每條路徑都包含相同的黑節(jié)點；

• 性質(zhì)3中指定紅黑樹的每個葉子節(jié)點都是空節(jié)點，而且葉子節(jié)點都是黑色。但是Java實現(xiàn)的紅黑樹將使用null來代表空節(jié)點，因此遍歷紅黑樹時將看不到黑色的葉子節(jié)點，可以看到葉子節(jié)點有紅色的

• 性質(zhì)4的意思是從根到節(jié)點的路徑上不會有兩個連續(xù)的紅色節(jié)點，但是黑色節(jié)點是可以連續(xù)的。因此如果給定黑色節(jié)點的個數(shù)為N，最短路徑的情況是連續(xù)的N個黑色，樹的高度為N-1；最長路徑的情況為節(jié)點紅黑相同，樹的高度為2（N-1）

• 性質(zhì)5是成為紅黑樹的最主要的條件，后序的插入、刪除操作都是為了遵守這個規(guī)定。

紅黑樹性質(zhì)

• 我們還是使用[1， 3， 5， 8，9， 13] 這6個節(jié)點構(gòu)造紅黑樹

  
  
  構(gòu)造紅黑樹

(1) 查找代價：

• 由于紅黑樹的性質(zhì)(最長路徑長度不超過最短路徑長度的2倍)，可以說明紅黑樹雖然不像AVL一樣是嚴格平衡的，但平衡性能還是要比BST要好。

• 其查找代價基本維持在O(logN)左右，但在最差情況下(最長路徑是最短路徑的2倍少1)，比AVL要略遜色一點。

  
  
  RBT查找節(jié)點

(2) 插入代價：

• RBT插入結(jié)點時，需要旋轉(zhuǎn)操作和變色操作。* 但由于只需要保證RBT基本平衡就可以了。因此插入結(jié)點最多只需要2次旋轉(zhuǎn)，這一點和AVL的插入操作一樣。

• 雖然變色操作需要O(logN)，但是變色操作十分簡單，代價很小。

  
  
  RBT插入節(jié)點

(3) 刪除代價：

RBT的刪除操作代價要比AVL要好的多，刪除一個結(jié)點最多只需要3次旋轉(zhuǎn)操作。

RBT刪除節(jié)點

RBT 效率總結(jié) :

• 查找 效率最好情況下時間復(fù)雜度為O(logN)，但在最壞情況下比AVL要差一些，但也遠遠好于BST。
• 插入和刪除操作改變樹的平衡性的概率要遠遠小于AVL（RBT不是高度平衡的）。因此需要的旋轉(zhuǎn)操作的可能性要小，而且一旦需要旋轉(zhuǎn)，插入一個結(jié)點最多只需要旋轉(zhuǎn)2次，刪除最多只需要旋轉(zhuǎn)3次(小于AVL的刪除操作所需要的旋轉(zhuǎn)次數(shù))。
• 雖然變色操作的時間復(fù)雜度在O(logN)，但是實際上，這種操作由于簡單所需要的代價很小。

紅黑樹的應(yīng)用

1. 廣泛用于C++的STL中，Map和Set都是用紅黑樹實現(xiàn)的；
2. 著名的Linux進程調(diào)度Completely Fair Scheduler，用紅黑樹管理進程控制塊，進程的虛擬內(nèi)存區(qū)域都存儲在一顆紅黑樹上，每個虛擬地址區(qū)域都對應(yīng)紅黑樹的一個節(jié)點，左指針指向相鄰的地址虛擬存儲區(qū)域，右指針指向相鄰的高地址虛擬地址空間；
3. IO多路復(fù)用epoll的實現(xiàn)采用紅黑樹組織管理sockfd，以支持快速的增刪改查；
4. Nginx中用紅黑樹管理timer，因為紅黑樹是有序的，可以很快的得到距離當前最小的定時器；
5. Java中TreeMap的實現(xiàn)；

紅黑樹為什么是在內(nèi)存中使用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)？

• 為什么數(shù)據(jù)庫中不使用紅黑樹進行查找呢？
• 將大量數(shù)據(jù)全部放入內(nèi)存組織成RBT結(jié)構(gòu)顯然是不實際的。實際上，像OS中的文件目錄存儲，數(shù)據(jù)庫中的文件索引結(jié)構(gòu)的存儲…. 都不可能在內(nèi)存中建立查找結(jié)構(gòu)。數(shù)據(jù)必須在磁盤中建立好這個結(jié)構(gòu)。
• 這就涉及到磁盤的存儲原理了，操作系統(tǒng)讀寫磁盤的基本單位是扇區(qū)，而文件系統(tǒng)的基本單位是簇（Cluster）（每個簇或者塊可以包括2、4、8、16、32、64…2的n次方個扇區(qū)。）。

• 意思就是，磁盤讀寫有一個最少內(nèi)容的限制，即使我們只需要這個簇上的一個字節(jié)，我們也必須把整個簇的內(nèi)容都讀完。

  
  
• 那么現(xiàn)在就有一個悲催的事情了，
• 如果一個父節(jié)點只有2個子結(jié)點，并不能填滿一個簇上的所有內(nèi)容，那多余的地方就浪費了，考慮到磁盤的存儲原理，B/B+樹應(yīng)運而生了。
• 由于B/B+樹分支比二叉樹多，所以相同數(shù)量的內(nèi)容，B+樹的深度更淺。B+樹的深度就代表了磁盤的 I/O 次數(shù)。
• 數(shù)據(jù)庫設(shè)計的時候B+樹有多少個分支都是按照磁盤上一個簇最多能放多少節(jié)點設(shè)計的，
• 因此一般來說，涉及到磁盤上查詢的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，都是使用B/B+樹
  [圖片上傳失敗...(image-573a3a-1597541595431)]

4. B樹

• 先來看看B樹，B樹也稱B-樹，是一棵多路平衡查找樹，我們描述一棵B樹時需要指定他的階數(shù)。階數(shù)表示一個結(jié)點最多有多少個孩子結(jié)點。一般我們用字母m表示階數(shù)，當m取2時，就是我們常見的二叉樹。

B樹的性質(zhì)

• 一棵m階的二叉樹定義如下：

1. 每個節(jié)點最多有m-1個關(guān)鍵字
2. 根節(jié)點最少可以只有1個關(guān)鍵字
3. 非根節(jié)點至少有math.ceil(m/2) - 1 個關(guān)鍵字 (math.ceil表示向上取整)
4. 每個結(jié)點中的關(guān)鍵字都按照從小到大的順序排列，每個關(guān)鍵字的左子樹中的所有關(guān)鍵字都小于它，而右子樹中的所有關(guān)鍵字都大于它。
5. 所有葉子結(jié)點都位于同一層（或者說根節(jié)點到每個葉子節(jié)點的長度都相同）

4階B樹

• 上圖是一顆階數(shù)為4的B樹，實際應(yīng)用中的B樹的階數(shù)m都非常大（通常大于100），所以即使存儲大量的數(shù)據(jù)，B樹的高度仍然比較小。
• B樹中的每個結(jié)點中存儲了關(guān)鍵字（key）和關(guān)鍵字對應(yīng)的數(shù)據(jù)（data），以及孩子結(jié)點的指針。
• 我們將一個key和其對應(yīng)的data稱為一個記錄。
• 但為了方便描述，除非特別說明，后續(xù)文中就用key來代替（key, value）鍵值對這個整體。
• 在數(shù)據(jù)庫中我們將B樹（和B+樹）作為索引結(jié)構(gòu)，可以加快查詢速度，此時B樹中的key就表示鍵，而data表示了這個鍵對應(yīng)的條目在硬盤上的邏輯地址。

B樹的查找操作

• B-Tree作為一個平衡多路查找樹(m-叉)。B樹的查找分成兩種：

1. 一種是從一個結(jié)點查找另一結(jié)點的地址的時候，需要定位磁盤地址(查找地址)，查找代價極高。
2. 另一種是將結(jié)點中的有序關(guān)鍵字序列放入內(nèi)存，進行優(yōu)化查找(可以用折半)，相比查找代價極低。而B樹的高度很小，因此在這一背景下，B樹比任何二叉結(jié)構(gòu)查找樹的效率都要高很多。而且B+樹作為B樹的變種，其查找效率更高。

B樹的插入操作

• 插入操作是指插入一條記錄，即（key, value）的鍵值對。

• 如果B樹中已存在需要插入的鍵值對，則用需要插入的value替換舊的value。若B樹不存在這個key,則一定是在葉子結(jié)點中進行插入操作。

• B樹的插入步驟：

1. 根據(jù)要插入的key的值，找到葉子結(jié)點并插入。
2. 判斷當前結(jié)點key的個數(shù)是否小于等于m-1，若滿足則結(jié)束，否則進行第3步。
3. 以結(jié)點中間的key為中心分裂成左右兩部分，然后將這個中間的key插入到父結(jié)點中，這個key的左子樹指向分裂后的左半部分，這個key的右子支指向分裂后的右半部分，然后將當前結(jié)點指向父結(jié)點，繼續(xù)進行第3步。

下面以5階B樹為例，介紹B樹的插入操作，在5階B樹中，結(jié)點最多有4個key,最少有2個key

a）在空樹中插入39

此時根結(jié)點就一個key，此時根結(jié)點也是葉子結(jié)點

b）繼續(xù)插入22，97和41

根結(jié)點此時有4個key

c）繼續(xù)插入53

• 插入后超過了最大允許的關(guān)鍵字個數(shù)4，所以以key值為41為中心進行分裂，
• 結(jié)果如下圖所示，分裂后當前結(jié)點指針指向父結(jié)點，滿足B樹條件，插入操作結(jié)束。
• 當階數(shù)m為偶數(shù)時，需要分裂時就不存在排序恰好在中間的key，那么我們選擇中間位置的前一個key或中間位置的后一個key為中心進行分裂即可。

d）依次插入13，21，40，同樣會造成分裂，結(jié)果如下圖所示。

e）依次插入30，27, 33 ；36，35，34 ；24，29，結(jié)果如下圖所示。

f）插入key值為26的記錄，插入后的結(jié)果如下圖所示。

當前結(jié)點需要以27為中心分裂，并向父結(jié)點進位27，然后當前結(jié)點指向父結(jié)點，結(jié)果如下圖所示。

進位后導(dǎo)致當前結(jié)點（即根結(jié)點）也需要分裂，分裂的結(jié)果如下圖所示。

分裂后當前結(jié)點指向新的根，此時無需調(diào)整。

g）最后再依次插入key為17,28,29,31,32的記錄，結(jié)果如下圖所示。

• 在實現(xiàn)B樹的代碼中，為了使代碼編寫更加容易，我們可以將結(jié)點中存儲記錄的數(shù)組長度定義為m而非m-1，這樣方便底層的結(jié)點由于分裂向上層插入一個記錄時，上層有多余的位置存儲這個記錄。

• 同時，每個結(jié)點還可以存儲它的父結(jié)點的引用，這樣就不必編寫遞歸程序。

• 一般來說，對于確定的m和確定類型的記錄，結(jié)點大小是固定的，無論它實際存儲了多少個記錄。

• 但是分配固定結(jié)點大小的方法會存在浪費的情況，比如key為28,29所在的結(jié)點，還有2個key的位置沒有使用，但是已經(jīng)不可能繼續(xù)在插入任何值了，因為這個結(jié)點的前序key是27,后繼key是30,所有整數(shù)值都用完了。

• 所以如果記錄先按key的大小排好序，再插入到B樹中，結(jié)點的使用率就會很低，最差情況下使用率僅為50%。

B樹的刪除操作

• 刪除操作是指，根據(jù)key刪除記錄，如果B樹中的記錄中不存對應(yīng)key的記錄，則刪除失敗。

1. 如果當前需要刪除的key位于非葉子結(jié)點上，則用后繼key（這里的后繼key均指后繼記錄的意思）覆蓋要刪除的key，然后在后繼key所在的子支中刪除該后繼key。此時后繼key一定位于葉子結(jié)點上，這個過程和二叉搜索樹刪除結(jié)點的方式類似。刪除這個記錄后執(zhí)行第2步

2. 該結(jié)點key個數(shù)大于等于Math.ceil(m/2)-1，結(jié)束刪除操作，否則執(zhí)行第3步。

3. 如果兄弟結(jié)點key個數(shù)大于Math.ceil(m/2)-1，則父結(jié)點中的key下移到該結(jié)點，兄弟結(jié)點中的一個key上移，刪除操作結(jié)束。

4. 否則，將父結(jié)點中的key下移與當前結(jié)點及它的兄弟結(jié)點中的key合并，形成一個新的結(jié)點。原父結(jié)點中的key的兩個孩子指針就變成了一個孩子指針，指向這個新結(jié)點。然后當前結(jié)點的指針指向父結(jié)點，重復(fù)上第2步。

有些結(jié)點它可能即有左兄弟，又有右兄弟，那么我們?nèi)我膺x擇一個兄弟結(jié)點進行操作即可。

下面以5階B樹為例，介紹B樹的刪除操作，5階B樹中，結(jié)點最多有4個key,最少有2個key

a）原始狀態(tài)

b）在上面的B樹中刪除21，刪除后結(jié)點中的關(guān)鍵字個數(shù)仍然大于等2，所以刪除結(jié)束。

c）在上述情況下接著刪除27。從上圖可知27位于非葉子結(jié)點中，所以用27的后繼替換它。從圖中可以看出，27的后繼為28，我們用28替換27，然后在28（原27）的右孩子結(jié)點中刪除28。刪除后的結(jié)果如下圖所示。

刪除后發(fā)現(xiàn)，當前葉子結(jié)點的記錄的個數(shù)小于2，而它的兄弟結(jié)點中有3個記錄（當前結(jié)點還有一個右兄弟，選擇右兄弟就會出現(xiàn)合并結(jié)點的情況，不論選哪一個都行，只是最后B樹的形態(tài)會不一樣而已），我們可以從兄弟結(jié)點中借取一個key。所以父結(jié)點中的28下移，兄弟結(jié)點中的26上移,刪除結(jié)束。結(jié)果如下圖所示。

d）在上述情況下接著刪除32，結(jié)果如下圖。

當刪除后，當前結(jié)點中只有1個key，而兄弟結(jié)點中也僅有2個key。所以只能讓父結(jié)點中的30下移和這個兩個孩子結(jié)點中的key合并，成為一個新的結(jié)點，當前結(jié)點的指針指向父結(jié)點。結(jié)果如下圖所示。

當前結(jié)點key的個數(shù)滿足條件，故刪除結(jié)束。

e）上述情況下，我們接著刪除key為40的記錄，刪除后結(jié)果如下圖所示。

同理，當前結(jié)點的記錄數(shù)小于2，兄弟結(jié)點中沒有多余key，所以父結(jié)點中的key下移，和兄弟（這里我們選擇左兄弟，選擇右兄弟也可以）結(jié)點合并，合并后的指向當前結(jié)點的指針就指向了父結(jié)點。

同理，對于當前結(jié)點而言只能繼續(xù)合并了，最后結(jié)果如下所示。

合并后結(jié)點當前結(jié)點滿足條件，刪除結(jié)束。

• 終于講完了B樹的操作，也知道為什么數(shù)據(jù)庫索引使用B樹而不用紅黑樹了

• 但是！！！我們還想更優(yōu)化一點

• B樹的每個節(jié)點都有data域（指針），這個操作就會增大節(jié)點的大小，說白了也就是會增加磁盤I/O次數(shù)（磁盤I/O一次讀出的數(shù)據(jù)量大小是固定的，單個數(shù)據(jù)變大，每次讀出的就少，IO次數(shù)增多，IO多耗時就長啊朋友！）

• 那我們是不是可以出了葉子節(jié)點外，其他節(jié)點不存儲數(shù)據(jù)，節(jié)點小，磁盤IO次數(shù)就少。

• 我們還可以將所有在葉子節(jié)點的Data域用指針連接成鏈，這樣遍歷葉子節(jié)點就能獲得全部的數(shù)據(jù)，這樣也能進行順序查找（支持區(qū)間訪問），遍歷效率也會提高。

• 在數(shù)據(jù)庫中基于范圍的查詢是非常頻繁的，如果使用B樹，效率會非常低。

5. B+樹

• B+樹定義：關(guān)鍵字個數(shù)比孩子結(jié)點個數(shù)小1，這種方式是和B樹基本等價的。下面是一顆階數(shù)為4的B+樹。
  

除此之外B+樹還有以下的要求。

1. B+樹包含2種類型的結(jié)點：內(nèi)部結(jié)點（也稱索引結(jié)點）和葉子結(jié)點。根結(jié)點本身即可以是內(nèi)部結(jié)點，也可以是葉子結(jié)點。根結(jié)點的關(guān)鍵字個數(shù)最少可以只有1個。

2. B+樹與B樹最大的不同是內(nèi)部結(jié)點不保存數(shù)據(jù)，只用于索引，所有數(shù)據(jù)（或者說記錄）都保存在葉子結(jié)點中。

3. m階B+樹表示了內(nèi)部結(jié)點最多有m-1個關(guān)鍵字（或者說內(nèi)部結(jié)點最多有m個子樹），階數(shù)m同時限制了葉子結(jié)點最多存儲m-1個記錄。

4. 內(nèi)部結(jié)點中的key都按照從小到大的順序排列，對于內(nèi)部結(jié)點中的一個key，左樹中的所有key都小于它，右子樹中的key都大于等于它。葉子結(jié)點中的記錄也按照key的大小排列。

5）每個葉子結(jié)點都存有相鄰葉子結(jié)點的指針，葉子結(jié)點本身依關(guān)鍵字的大小自小而大順序鏈接。

B+樹的插入操作

1. 若為空樹，創(chuàng)建一個葉子結(jié)點，然后將記錄插入其中，此時這個葉子結(jié)點也是根結(jié)點，插入操作結(jié)束。
2. 針對葉子類型結(jié)點：根據(jù)key值找到葉子結(jié)點，向這個葉子結(jié)點插入記錄。插入后，若當前結(jié)點key的個數(shù)小于等于m-1，則插入結(jié)束。否則將這個葉子結(jié)點分裂成左右兩個葉子結(jié)點，左葉子結(jié)點包含前m/2個記錄，右結(jié)點包含剩下的記錄，將第m/2+1個記錄的key進位到父結(jié)點中（父結(jié)點一定是索引類型結(jié)點），進位到父結(jié)點的key左孩子指針向左結(jié)點,右孩子指針向右結(jié)點。將當前結(jié)點的指針指向父結(jié)點，然后執(zhí)行第3步。
3. 針對索引類型結(jié)點：若當前結(jié)點key的個數(shù)小于等于m-1，則插入結(jié)束。否則，將這個索引類型結(jié)點分裂成兩個索引結(jié)點，左索引結(jié)點包含前(m-1)/2個key，右結(jié)點包含m-(m-1)/2個key，將第m/2個key進位到父結(jié)點中，進位到父結(jié)點的key左孩子指向左結(jié)點, 進位到父結(jié)點的key右孩子指向右結(jié)點。將當前結(jié)點的指針指向父結(jié)點，然后重復(fù)第3步。

下面是一顆5階B樹的插入過程，5階B數(shù)的結(jié)點最少2個key，最多4個key。

a）空樹中插入5

b）依次插入8，10，15

c）插入16

插入16后超過了關(guān)鍵字的個數(shù)限制，所以要進行分裂。在葉子結(jié)點分裂時，分裂出來的左結(jié)點2個記錄，右邊3個記錄，中間key成為索引結(jié)點中的key，分裂后當前結(jié)點指向了父結(jié)點（根結(jié)點）。結(jié)果如下圖所示。

當然我們還有另一種分裂方式，給左結(jié)點3個記錄，右結(jié)點2個記錄，此時索引結(jié)點中的key就變?yōu)?5。

d）插入17

e）插入18，插入后如下圖所示

當前結(jié)點的關(guān)鍵字個數(shù)大于5，進行分裂。分裂成兩個結(jié)點，左結(jié)點2個記錄，右結(jié)點3個記錄，關(guān)鍵字16進位到父結(jié)點（索引類型）中，將當前結(jié)點的指針指向父結(jié)點。

當前結(jié)點的關(guān)鍵字個數(shù)滿足條件，插入結(jié)束。

f）插入若干數(shù)據(jù)后

g）在上圖中插入7，結(jié)果如下圖所示

當前結(jié)點的關(guān)鍵字個數(shù)超過4，需要分裂。左結(jié)點2個記錄，右結(jié)點3個記錄。分裂后關(guān)鍵字7進入到父結(jié)點中，將當前結(jié)點的指針指向父結(jié)點，結(jié)果如下圖所示。

當前結(jié)點的關(guān)鍵字個數(shù)超過4，需要繼續(xù)分裂。左結(jié)點2個關(guān)鍵字，右結(jié)點2個關(guān)鍵字，關(guān)鍵字16進入到父結(jié)點中，將當前結(jié)點指向父結(jié)點，結(jié)果如下圖所示。

當前結(jié)點的關(guān)鍵字個數(shù)滿足條件，插入結(jié)束。

B+樹的刪除操作

如果葉子結(jié)點中沒有相應(yīng)的key，則刪除失敗。否則執(zhí)行下面的步驟

1. 刪除葉子結(jié)點中對應(yīng)的key。刪除后若結(jié)點的key的個數(shù)大于等于Math.ceil(m-1)/2 – 1，刪除操作結(jié)束,否則執(zhí)行第2步。

2. 若兄弟結(jié)點key有富余（大于Math.ceil(m-1)/2 – 1），向兄弟結(jié)點借一個記錄，同時用借到的key替換父結(jié)（指當前結(jié)點和兄弟結(jié)點共同的父結(jié)點）點中的key，刪除結(jié)束。否則執(zhí)行第3步。

3. 若兄弟結(jié)點中沒有富余的key,則當前結(jié)點和兄弟結(jié)點合并成一個新的葉子結(jié)點，并刪除父結(jié)點中的key（父結(jié)點中的這個key兩邊的孩子指針就變成了一個指針，正好指向這個新的葉子結(jié)點），將當前結(jié)點指向父結(jié)點（必為索引結(jié)點），執(zhí)行第4步（第4步以后的操作和B樹就完全一樣了，主要是為了更新索引結(jié)點）。

4. 若索引結(jié)點的key的個數(shù)大于等于Math.ceil(m-1)/2 – 1，則刪除操作結(jié)束。否則執(zhí)行第5步

5. 若兄弟結(jié)點有富余，父結(jié)點key下移，兄弟結(jié)點key上移，刪除結(jié)束。否則執(zhí)行第6步

6. 當前結(jié)點和兄弟結(jié)點及父結(jié)點下移key合并成一個新的結(jié)點。將當前結(jié)點指向父結(jié)點，重復(fù)第4步。

注意，通過B+樹的刪除操作后，索引結(jié)點中存在的key，不一定在葉子結(jié)點中存在對應(yīng)的記錄。

下面是一顆5階B樹的刪除過程，5階B數(shù)的結(jié)點最少2個key，最多4個key。

a）初始狀態(tài)

b）刪除22,刪除后結(jié)果如下圖

刪除后葉子結(jié)點中key的個數(shù)大于等于2，刪除結(jié)束

c）刪除15，刪除后的結(jié)果如下圖所示

刪除后當前結(jié)點只有一個key,不滿足條件，而兄弟結(jié)點有三個key，可以從兄弟結(jié)點借一個關(guān)鍵字為9的記錄,同時更新將父結(jié)點中的關(guān)鍵字由10也變?yōu)?，刪除結(jié)束。

d）刪除7，刪除后的結(jié)果如下圖所示

當前結(jié)點關(guān)鍵字個數(shù)小于2，（左）兄弟結(jié)點中的也沒有富余的關(guān)鍵字（當前結(jié)點還有個右兄弟，不過選擇任意一個進行分析就可以了，這里我們選擇了左邊的），所以當前結(jié)點和兄弟結(jié)點合并，并刪除父結(jié)點中的key，當前結(jié)點指向父結(jié)點。

此時當前結(jié)點的關(guān)鍵字個數(shù)小于2，兄弟結(jié)點的關(guān)鍵字也沒有富余，所以父結(jié)點中的關(guān)鍵字下移，和兩個孩子結(jié)點合并，結(jié)果如下圖所示。

圖文引用

B+樹性能分析

• B+樹中一次檢索最多需要h-1次IO，（根節(jié)點常駐內(nèi)存），漸進復(fù)雜度為O(h) = O(logmN)。
• 實際應(yīng)用中，m是非常大的數(shù)字，通常超過100，因此h非常小（通常不超過3）
• 意思就是，用B+樹作為索引結(jié)構(gòu)效率是非常高的。紅黑樹的結(jié)構(gòu)，h明顯非常深，查詢效率會低很多

為什么說B+樹比B樹更適合數(shù)據(jù)庫索引？
1、 B+樹的磁盤讀寫代價更低：B+樹的內(nèi)部節(jié)點并沒有指向關(guān)鍵字具體信息的指針，因此其內(nèi)部節(jié)點相對B樹更小，如果把所有同一內(nèi)部節(jié)點的關(guān)鍵字存放在同一盤塊中，那么盤塊所能容納的關(guān)鍵字數(shù)量也越多，一次性讀入內(nèi)存的需要查找的關(guān)鍵字也就越多，相對IO讀寫次數(shù)就降低了。

2、B+樹的查詢效率更加穩(wěn)定：由于非終結(jié)點并不是最終指向文件內(nèi)容的結(jié)點，而只是葉子結(jié)點中關(guān)鍵字的索引。所以任何關(guān)鍵字的查找必須走一條從根結(jié)點到葉子結(jié)點的路。所有關(guān)鍵字查詢的路徑長度相同，導(dǎo)致每一個數(shù)據(jù)的查詢效率相當。

3、由于B+樹的數(shù)據(jù)都存儲在葉子結(jié)點中，分支結(jié)點均為索引，方便掃庫，只需要掃一遍葉子結(jié)點即可，但是B樹因為其分支結(jié)點同樣存儲著數(shù)據(jù)，我們要找到具體的數(shù)據(jù)，需要進行一次中序遍歷按序來掃，所以B+樹更加適合在區(qū)間查詢的情況，所以通常B+樹用于數(shù)據(jù)庫索引。

PS：我在知乎上看到有人是這樣說的,我感覺說的也挺有道理的：

他們認為數(shù)據(jù)庫索引采用B+樹的主要原因是：B樹在提高了IO性能的同時并沒有解決元素遍歷的我效率低下的問題，正是為了解決這個問題，B+樹應(yīng)用而生。B+樹只需要去遍歷葉子節(jié)點就可以實現(xiàn)整棵樹的遍歷。而且在數(shù)據(jù)庫中基于范圍的查詢是非常頻繁的，而B樹不支持這樣的操作或者說效率太低。