? ? ? ? 摘要：隨著課程改革的不斷深入，新課程理念已為越來越多的一線數(shù)學(xué)教師所接受。對處于微觀知識層面的一些現(xiàn)實性“詰問”，諸如“最小的一位數(shù)是0還是1？”、“為什么0也是自然數(shù)？”、“最大的分數(shù)單位是多少？”、“計算出勤率可不可以不乘100%？”……等等，看似“細節(jié)”的問題，卻是彰顯數(shù)學(xué)教學(xué)“科學(xué)性”“嚴謹性”不可或缺的一環(huán)，處理不好可能直接影響到教學(xué)評估和考試命題。
1、最小的一位數(shù)是0還是1？
? ? ? 這個問題在很長一段時間存在爭論。先來看看《九年義務(wù)教育六年制小學(xué)數(shù)學(xué)第八冊教師教學(xué)用書》第98頁“關(guān)于幾位數(shù)”的敘述：“通常在自然數(shù)里，含有幾個數(shù)位的數(shù)，叫做幾位數(shù)。例如“2”是含有一個數(shù)位的數(shù)，叫做一位數(shù)；“30”是含有兩個數(shù)位的數(shù)，叫做兩位數(shù)；“405”是含有三個數(shù)位的數(shù)，叫做三位數(shù)……但是要注意：一般不說0是幾位數(shù)。
再來聽聽專家的說明：在自然數(shù)的理論中，對“幾位數(shù)”是這樣定義的，“只用一個有效數(shù)字表示的數(shù)，叫做一位數(shù)；只用兩個數(shù)字（其中左邊第一個數(shù)字為有效數(shù)字）表示的數(shù)，叫做兩位數(shù)……所以，在一個數(shù)中，數(shù)字的個數(shù)是幾（其中最左邊第一個數(shù)字為有效數(shù)字），這個數(shù)就叫幾位數(shù)。
于此，所謂最大的幾位數(shù)，最小的幾位數(shù)，通常是在非零自然數(shù)的范圍研究。所以一位數(shù)共有九個，即：１、２、３、４、５、６、７、８、９。０不是最小的一位數(shù)。
２、為什么0也是自然數(shù)?
? ? ? 課標教材對“０也是自然數(shù)”的規(guī)定，顛覆了人們對自然數(shù)的傳統(tǒng)認識。
? ? ? 于此，中央教科所教材編寫組主編陳昌鑄如是說：國際上對自然數(shù)的定義一直都有不同的說法，以法國為代表的多數(shù)國家都認為自然數(shù)從0開始，我國教材以前一直都是遵循前蘇聯(lián)的說法，認為0不是自然數(shù)。2000年教育部主持召開教材改編會議時，已明確提出將0歸為自然數(shù)。這次改版也是與國際慣例接軌。
? ? ? 從教學(xué)實踐層面來說，將“０”規(guī)定為“自然數(shù)”也有著積極的現(xiàn)實意義。
2.? ? 1“0”作為自然數(shù)的“好處”。
? ? 眾所周知，數(shù)學(xué)中的集合被分為有限集合和無限集合兩類。有限集合是含有有限個元素的集合，像某班學(xué)生的集合。無限集合是含有的元素個數(shù)是非有限的集合，如分數(shù)的集合。因為自然數(shù)具有“基數(shù)”的性質(zhì)，因此用自然數(shù)來描述有限集合中元素的個數(shù)是很自然的。
? ? ? 但在有限集合中，有一個最主要也是最基本的集合，叫空集｛｝，元素個數(shù)為0。如果不把0作為自然數(shù)，那么空集的元素的個數(shù)就無法用自然數(shù)來表示了。如果把“0”作為一個自然數(shù)，那么自然數(shù)就可以完成刻畫“有限集合元素個數(shù)”的任務(wù)了。于此，從“自然數(shù)的基數(shù)性”這個角度，我們看到了把“0”作為自然數(shù)的好處。
? ? ? 2.? 2把“0”作為自然數(shù)，不會影響自然數(shù)的 “運算功能”。
? ? ? “0”加入傳統(tǒng)的自然數(shù)集合，所有的“運算規(guī)則”依舊保持，如新自然數(shù)集合{0,1,2,…,ｎ,…}中的任何兩個自然數(shù)都可以進行加法和乘法運算，而運算結(jié)果仍然是自然數(shù)。同時，加法、乘法運算的結(jié)合律和交換律，以及乘法的分配律也不會受到影響。
? ? ? 所以，“0”加盟到自然數(shù)集合實屬理所當然，而不僅僅是人為的“規(guī)定”。它讓我們更好地理解自然數(shù)和它的功能，同時也讓我們意識到教學(xué)時不僅要知道和記住數(shù)學(xué)的“定義”和“規(guī)定”，還應(yīng)該思考“規(guī)定”背后的數(shù)學(xué)涵義。
3、什么是有效數(shù)字一無效數(shù)字？
? ? ? ? 有效數(shù)字是對一個數(shù)的近似值的精確程度而提出的。同一個近似數(shù)如果在取舍時，保留的有效數(shù)字多，就比保留的有效數(shù)字少更精確。一般說，一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位。這時，從左邊第一個非零的數(shù)字起，到那一位上的所有數(shù)字都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。如近似數(shù)0．００３０９有三個有效數(shù)字：３、０、９；０．５２０也有三個有效數(shù)字：５、２、０。而０．００３０９中左邊的三個零，０．５２０中左邊的一個零，都叫做無效數(shù)字。
４、加法與減法、乘法與除法是否互為逆運算？
? ? ? “加法與減法互為逆運算、乘法與除法互為逆運算”這似乎成了許多老師的口頭禪，這其實是一種誤解。例如：
? ? ? 加法“２＋３＝５”，其逆算為“５－２＝３”，“５－３＝２”。故此，加法的逆運算只有減法；
減法“５－２＝３”，其逆算有 “５－３＝２”， “２＋３＝５”。故此，減法的逆運算有減法和加法兩種運算。
? ? ? 綜上可知，只能說減法是加法的逆運算，而不能說加法與減法互為逆運算。
? ? ? 同理，也只能說除法是乘法的逆運算，而不能說乘法與除法互為逆運算。
5、為什么不寫“倍”？
在學(xué)習(xí)“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”應(yīng)用題時，很多小朋友會自然提出這樣的疑問，如：“飼養(yǎng)小組養(yǎng)了12只小雞，3只小鴨，小雞的只數(shù)是小鴨的幾倍？”為什么“12÷3＝4”的后面不寫“倍”呢？
我們首先應(yīng)該肯定學(xué)生的質(zhì)疑（學(xué)生有較強的解題規(guī)范意識）。但同時又該對學(xué)生說明：在解答應(yīng)用題時，得數(shù)后面一般要寫上的是數(shù)的單位名稱。如：12只的“只”；8克的“克”。一個數(shù)只有帶上單位名稱，才能準確地表示出一個物體的多少、大小、長短、輕重等等。但是，“倍”不是單位名稱，它表示兩個數(shù)量之間的一種關(guān)系。例如，上面的計算結(jié)果“4”，表示12里面有4個3，就是12只小雞是3只小鴨的4倍。所以，在算式里不寫“倍”，以免“倍”與單位名稱發(fā)生混淆。
6、“倍”和“倍數(shù)”的區(qū)別
在第一學(xué)段我們學(xué)習(xí)了“倍的初步認識”，認識了概念“倍”，而在第二學(xué)段,我們又學(xué)習(xí)到“倍數(shù)”這個概念。那么，“倍”和“倍數(shù)”這兩個詞到底是不是一回事呢？這兩個詞之間有什么區(qū)別呢？
“倍”指的是數(shù)量關(guān)系，它建立在乘除法概念的基礎(chǔ)上。例如：男生有10人，女生有30人，因為“10×3=30”或者“30÷10=3”，我們就說，女生人數(shù)（30）是男生人數(shù)（10）的3倍，也可以說，男生人數(shù)（10）的3倍等于女生人數(shù)（30）。勿寧說，“倍”其實表示的是兩個數(shù)的商（這個商可以是整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)等各種表現(xiàn)形式）。
? ? ? “倍數(shù)”指的是數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，它建立在整除概念的基礎(chǔ)上。例如，30能被6整除，30就是6的倍數(shù)。可見，“倍數(shù)”是不能獨立存在的（具有特定的指向性），而且對數(shù)的形式有特別的要求（必須為整數(shù)）。
? ? ? 同時我們又看到，30也是6的5倍，因為6×5＝30，“6×5”表示6的5倍。所以從這個角度來說，“倍”的涵義應(yīng)寬泛于“倍數(shù)”，后者可以視為前者在特定情形下的一種表現(xiàn)。
7、“時”和“小時”有什么不同？怎樣使用“時”和“小時”？
? ? ? 首先應(yīng)該明確的是，〔小〕時并非國際時間單位。在1984年國務(wù)院發(fā)布的《關(guān)于我國統(tǒng)一法定計量單位的命令》中，把秒作為時間的基本單位，把非國際單位制的時間單位天（日）、〔小〕時、分作為輔助單位。（注：〔〕里的字，在不致混淆的情況下，可以省略）。這樣，在我國范圍內(nèi)使用的法定時間單位就有：天（日）、〔小〕時、分、秒。
? ? ? 由此，“時”既可以表示時間，又可以表示時刻。由于“時間”和“時刻”這兩個不同的概念容易產(chǎn)生混淆，在實際應(yīng)用時間單位“時”時，現(xiàn)行教材作了如下處理：
? ? 7．1當列式計算出時間的長短時，在得數(shù)的括號里寫上時間的單位“時”。例如：超市營業(yè)時間：21-9=12（時）。（此處可省略“小”字）
? ? ? 7．2在用語言表述時間的長短時，為避免“時間”和“時刻”這兩個概念產(chǎn)生混淆，則在“時”的前面加上一個“小”字。例如：超市營業(yè)時間12小時。
? ? ? 7．3在用語言表示時刻時，一律不得出現(xiàn)“小時”字樣。例如：
公園每天早上7時30分開園（而非7小時30分）。
8.“改寫”和“省略”是一樣的嗎？
? ? 先來看的教材例題截圖（人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第七冊22頁）。
? ? ? 從形式上看，此例將“改寫”與“省略”兩種對數(shù)的變化置于了同一個要求之下（即改寫成用“億”作單位的數(shù)）。我們真希望編者不是有意而為之，因為“改寫”與“省略”其本質(zhì)是完全不同的。表現(xiàn)在：
? ? ? 8.1目的不同。“改寫”的目的是方便對大數(shù)的讀寫，而“省略”則是取數(shù)的近似值。
? ? 8.2方法不同。此處的“改寫”是去掉“億”位后面的0，再寫上一個“億”字，而“省略”除了要找準“億”位，還要考慮被省略的尾數(shù)的最高位是幾，然后用四舍五入法求出近似數(shù)。
? ? ? 8.3符號不同。“改寫”只改變了數(shù)的表現(xiàn)形式，大小并未改變，所以用“=”號連接；而“省略”既改變了數(shù)的形式，又改變的數(shù)的大小，所以用“≈”連接。
