第二章抓住特征研究整除
掌握分類熟練運用
這一章主要研究在整除的情況下，研究能被2、3、5整除數的特征；研究約數、倍數、奇數、偶數、質數、合數、互質數、質因數、公約數、公倍數、最大公約數、最小公倍數的概念和性質；熟練地應用它們解題的技能和技巧。
第一節抓住整除概念弄清約數倍數
研究整除特征認識奇數偶數
一、什么叫整除？
整數a除以整數b(b≠0),除的商正好是整數而沒有余數，我們就說a能被b整除或者說成b能整除a。如：
18÷6＝3，就是18能被6整除，或者說成6能整除18.
掌握以下四點：
1、被除數和除數（0除外）都是整數；
2、所得的商正好是整數
3、沒有余數，即余數為0；
4、弄清整除與除的盡的區別；
二、什么叫倍數？什么叫約數？
如果說a能被b（b≠0）整除，a叫做b的倍數，b叫做a的約數（或a的因素）。
如：15÷3＝5，15是3的倍數， 3是15的約數
掌握以下三點：
1、是在整除的情況下，研究倍數和約數的概念；
2、倍數和約數是相互依存的，不是單獨存在的；
3、在研究倍數和約數時，一般指自然數，不包括0.
三..數的整除性質
性質1：如果a、b都能被c整除，那么它們的 和與差 也能被c整除。
即：如果a能被c整除，b能被c整除，那么（a±b）能被c整除。
例如：如果10÷2=5，6÷2=3，那么（10＋6）能被2整除；
性質2：如果b與c的積能整除a，那么b與c都能整除a.即：如果bc能被a整除，那么b能被a整除，c也能被a整除；
性質3：如果b、c都能整除a，且b和c互質，那么b與c的積 能被a整除；
即：如果a能被b整除，a能被c整除，且b.c互質，那么a能被bc整除。
例如：如28÷2=14，28÷7=4，那么28能被（2×7）整除。
性質4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c÷b，b÷a，那么c÷a。
例如：如果9÷3=3，27÷9=3，那么27÷3=9。
四.數的整除特征
（1）能被2整除 的數的特征：個位數字是0、2、4、6、8的整數.
如：10 ，52, 474， 26， 78……都能被2整除。
“特征”包含兩方面的意義：一方面，個位數字是偶數（包括0）的整數，必能被2整除；另一方面，能被2整除的數，其個位數字只能是偶數（包括0）.下面“特征”含義相似。
（2）、什么叫偶數？什么叫奇數？
能被2整除的數叫偶數，不能被2整除的數叫奇數。
如：2，4，6，8，10，32,44,106,138…….都是偶數。
1, 3, 5 7, 9，11,23,65,107,429……都是奇數。
明確以下三點：
①換句話說，個位上是0.2.4.6.8的數叫偶數；偶數能被2整除；
②換句話說，個位上是1.3.5.7.9的數叫奇數，奇數不能被整除；
③因為0能被2整除，所以0也是偶數；
（3）能被5整除 的數的特征：個位是0或5。
如：10.、20、35、85、690…….都能被5整除。
（4）能被3（或9）整除 的數的特征：各個數位數字之和能被3（或9）整除。
153因為1+5+3=9,9能被3整除，所以153也能被3整除。
279因為2+7+9=18,18能被9整除，所以279也能被9整除
1248621各位上的數字之和是
1+2+4+8+6+2+1=24， 24÷3=8，那么1248621能被3整除；
又如，372681各位上的數字之和是
3+7+2+6+8+1=27,27÷9=3，那么372681能被9整除；
（5）能被4（或25）整除 的數的特征：一個數，當且僅當它的末兩位數能被4（或25）整除時，這個數便能被4或25整除
例如：1864=1800＋64，因為100是4與25的倍數，所以1800是4與25的倍數.又因為4｜64，所以1864能被4整除.但因為2564，所以1864不能被25整除.
173824的末兩位為24,24÷4=6；則173824能被4整除；
43586775的末兩位是75,75÷25=3，則43586775能被25整除；
（6）能被8（或125）整除 的數的特征：一個數，當今當它的末三位數字為0，或者末三位數能被8（或125）整除時，這個數字能被8或125整除。
例如：32178000的末三位數字為0，這個數字能被8或125整除；
3569824的末三位數位824,824÷8=103，則，3569824能被8整除；
214813750的末三位數為750,750÷125=6，則，214813750能被125整除；
29375＝29000＋375，因為1000是8與125的倍數，所以29000是8與125的倍數.又因為125｜375，所以29375能被125整除.但因為8375，所以829375。
（7）能被7.11.13整除 的數的特征：
一個數，當且僅當它的末三位數字所表示的數，與末三位以前的數字所表示的數的差（大減小的差）能被7.11.13整除時，這個數就能被7.11.13整除。
例如：75523的末三位為523，末三位以前的數字所表示的數為75,523-75=448,448÷7=64，即448能被7整除，則，75523能被7整除；
又如，1095874的末三位為874，末三位以前的數字所表示的數為1095,1095-874=221,221÷13=17，即221能被13整除，則，1095874能被13整除；
再如：，868967的末三位為967，末三位以前的數字所表示的數為868,967-868=99,99÷11=9，即99能被11整除，則，868967能被11整除；
此外，能被11整除的數的特征，還可以這樣敘述：
該數奇數位上的數字之和與偶數位上的數字之和的差（大減小）是11的倍數。
例1：判斷123456789這九位數能否被11整除？
解：這個數奇數位上的數字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶數位上的數字之和是8＋6＋4＋2＝20.因為25—20＝5，又因為5不能被11整除，所以123456789不能被11整除。
例2：判斷13574是否是11的倍數？
解：這個數的奇數位上數字之和與偶數位上數字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0.因為0是任何整數的倍數，所以0÷11=0.因此13574是11的倍數。
（8）能被7（11或13）整除 的數的特征：一個整數的末三位數與末三位以前的數字所組成的數之差（以大減小）能被7（11或13）整除。
例1：判斷1059282是否是7的倍數？
解：把1059282分為1059和282兩個數.因為1059-282＝777，又777÷7=111，所以1059282能被7整除.因此1059282是7的倍數。
例2：判斷3546725能否被13整除？
解：
把3546725分為3546和725兩個數.因為3546-725=2821.再把2821分為2和821兩個數，因為821—2＝819，又819÷13=63，所以2821÷13=217，進而354672能被13整除
第二節認識質數與合數掌握分解質因數
一、認識質數與合數、
1、寫出下面每個數的所有的約數
1的約數有： 1 ； 7的約數有：1,7；
2的約數有： 1,2 ； 8的約數有：1,2,4,8；
3的約數有： 1,3 ； 9的約數有：1,3,9 ；
4的約數有： 1,2,4； 10的約數有：1,2,5,10；
5的約數有： 1,5 ； 11的約數有：1,11 ；
6的約數有： 1,2,3,6； 12的約數有：1,2,3,4,6，12；
2、觀察上面各數的約數的個數：
1個約數的數有 ：1
有2個約數的數有 ：2，3，5，7，11
有2個以上約數的數有：4，6，8，9，10，12
3、什么叫質數？
一個數，如果只有1和它本身兩個約數，這樣的數叫質數（或素數）。
如：2，3，5，7，11……都是質數。質數的個數是無限的
4、什么叫合數？
一個數，除了1和它本身還有別的約數，這樣的數叫合數。
如：4，6，8，9，10……都是合數；
①合數的個數是無限的；
②1不是質數，也不是合數；
二、分解質因數
1、什么叫質因數？
每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式。其中每個質數都是這個合數的因素，叫做這個合數的質因數。
如：60=2×2×3×5，其中的2,2,3,和5叫做60的質因數。
2、什么叫做分解質因數？
把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數
①把一個合數進行分解 ； ②每個因素一定是質數；
3、怎樣分解質因數？
①把一個合數分解質因數，先用一個能夠整除這個合數的質數去除；
②通常按2，3，5，7，11，13,19……的順序去試除；
③得出的商如果是質數，就把除數和商寫成相乘的形式；
④如果得出的商是合數，繼續用質數除下去，直到得出的商是質數為止；
⑤最后，把所有的除數和商寫成連乘的形式。
第三節公約數和最大公約數
一、認識公約數和最大公約數。
1、8和12各有哪些約數？它們的公約數是哪幾個？最大的公約數是多少？
①8的約數有1,2,4,8 ； ②12的約數有1,2,3,4,6,12；
③它們的公約數有1,2,4； ④它們的最大公約數是：4；
2、什么叫公約數？什么叫最大公約數？
幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數；其中最大一個，叫做這幾個數的最大公約數
3、什么叫互質數？
公約數只有1的兩個數，叫做互質數。
如：8和9,7和11……叫做互質數
二、求最大公約數
1、求最大公約數的方法
求兩個數的最大公約數，一般先用這兩個數公有的質因數連續去除，一直除到所得到的商是互質數為止，然后把所有的除數連乘起來。
2∣12 2012和20的最大公約數是2×2=4
2∣ 6 10①一般先用2,3,5,7,11……去試除；
3 5②在除的過程中，有時也可以用兩個數的公約數去除；
③除到所得到的商是互質數為止；
④最后，把所有的除數連乘起來的積，就是兩個數的最大公約數
2、如果小數是大數的約數，那么小數就是這兩個數的最大公約數。
如：4合8的最大公約數就是4.
3、如果兩個是互質數，它們的最大公約數就是1
如：7和19的最大公約數就是1.
4、用“輾轉相除”法，求兩個數的最大公約數
①用小數去除大數； ②再用余數去除較小的數；
③這樣輾轉相除，直到余數為0為止；
④最后得除數就是這兩個數的最大公約數；
如：求54和21的最大公約數
∣54 21∣
2 ∣42 12∣ 1
∣12 9∣
1 ∣9 9 ∣ 3
∣3 0 ∣
所以54和21的最大公約數是3
第四節公倍數和最小公倍數
一、認識公倍數和最小公倍數
1、分別順次寫出2和3的幾個公倍數，它的公倍數是幾個？其中最小的一個是多少？
①2的倍數有：2,4,6,8,10,12,14,16,18……
②3的倍數有：3,6,9,12,18……
③2和3的公倍數有：6,12,18……
④其中最小的一個是6
2、什么叫公倍數？什么叫最小公倍數？
幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數，其中最小的一個叫做最小公倍數；①幾個數只有一個最小的公倍數 ②幾個數沒有最大的公倍數
二、求最小公倍數
1、求最小公倍數的方法
求兩個數的最小公倍數，先用這兩個數公有的質因數連續去除（一般從最小的開始），一只除到所得到的商是互質數為止，然后把所有的除數和商連乘起來；
如：24和72的最小公倍數是多少 ？
2∣ 24 72
2∣12 36
2∣6 18
2∣3 9
3∣1 3
24和72的最小公倍數是2×2×2×3×1×3=72
①先用這兩個數公有質因數連續去除；
②一般采用2,3,5,7……去試除
③在除的過程中，有時也可以用兩個數的公約數去除；
④必須出的所得到的商是互質數為止；
⑤最后，把除數和所得的商連乘起來的積，就是所求的最小公倍數。
2、求三個數的最小公倍數
如：求4、6和8的最小公倍數是多少？
2∣4 6 8
2∣ 2 3 4
1 3 2
4、6和8的最小公倍數是2×2×1×3×2=24
①先用三個公有的質因數去除；
②再用兩個公有的質因數去除；
③在除的過程中，有時也可以用它們的公約數去除；
④必須出的所得到的商是互質數為止；
⑤最后，把除數和所得的商連乘起來的積，就是三個數的最小公倍數；
3、如果大數是小數的倍數，那么大數就是這兩個數的最小公倍數。
如：12和6,12就是它們的最小公倍數，
4、如果兩個數是互質數，那么這兩個數的積就是它們的最小公倍數
如：7和9的最小公倍數為7×9=63
三、求最大公約數和最小公倍數的區別：
1、相同點：都是用短除法的形式分解質因數，直到商是互質數為止；
2、求最大公約數只把除數連乘起來
3、求最小公倍數把除數和最后的商連乘起來；
