圖像金字塔是圖像處理和計算機視覺中常用到的概念，常常用于多尺度處理領域（multiscale processing)，尤其早年的圖像匹配、識別等算法中都用到了圖像金字塔。
高斯金字塔（Gaussian pyramid）
下圖為高斯金字塔的示意圖，金字塔的底層為原始圖像，每向上一層則是通過高斯濾波和1/2采樣得到（去掉偶數行和列）。
我們可以使用如下Matlab代碼來進行得到高斯金字塔：
function [ pyr ] = gaussian_pyramid( I,nlev )
%GAUSSIAN_PYRAMID Summary of this function goes here
% Detailed explanation goes here
pyr = cell(nlev,1);
pyr{1} = I;
filter = fspecial('gaussian');
for i=2:nlev
% gaussian filter
I = imfilter(I,filter,'symmetric');
% downsample
I = I(1:2:end,1:2:end);
pyr{i} = I;
end
end
下圖就是生成的金字塔圖像
高斯濾波器可以看做一個低通濾波器，那么每經過一次的高斯濾波，圖像中僅能夠保留某個頻率值以下的頻率部分，所以高斯金字塔也可以看做一個低通金字塔（每一級只保留某個頻率以下的成分）。
拉普拉斯金字塔（Laplacian pyramid）
在進行高斯金字塔運算時，由于不斷的進行高斯濾波和下采樣，我們丟失了很多高頻信號，而拉普拉斯金字塔的目的就是保存這些高頻信號，保存這些高頻信號所采用的方式就是保存差分圖像。比如，拉普拉斯金字塔的第０層，就是原始圖像和原始圖像下采樣（Reduce）后再次上采樣（Expand）的圖像的差值。
function pyr = laplacian_pyramid(I,nlev)
r = size(I,1);
c = size(I,2);
if ~exist('nlev')
% compute the highest possible pyramid
nlev = floor(log(min(r,c)) / log(2));
end
% recursively build pyramid
pyr = cell(nlev,1);
filter = pyramid_filter;
J = I;
for l = 1:nlev - 1
% apply low pass filter, and downsample
I = downsample(J,filter);
odd = 2*size(I) - size(J); % for each dimension, check if the upsampled version has to be odd
% in each level, store difference between image and upsampled low pass version
pyr{l} = J - upsample(I,odd,filter);
J = I; % continue with low pass image
end
pyr{nlev} = J; % the coarest level contains the residual low pass image
%下采樣函數
function R = downsample(I, filter)
border_mode = 'symmetric';
% low pass, convolve with separable filter
R = imfilter(I,filter,border_mode); %horizontal
R = imfilter(R,filter',border_mode); %vertical
% decimate
r = size(I,1);
c = size(I,2);
R = R(1:2:r, 1:2:c, :);
％上采樣函數
function R = upsample(I,odd,filter)
% increase resolution
I = padarray(I,[1 1 0],'replicate'); % pad the image with a 1-pixel border
r = 2*size(I,1);
c = 2*size(I,2);
k = size(I,3);
R = zeros(r,c,k);
R(1:2:r, 1:2:c, :) = 4*double(I); % increase size 2 times; the padding is now 2 pixels wide，注意這里要乘以４！
% interpolate, convolve with separable filter
R = imfilter(R,filter); %horizontal
R = imfilter(R,filter'); %vertical
% remove the border
R = R(3:r - 2 - odd(1), 3:c - 2 - odd(2), :);
％產生拉普拉斯濾波器
function f = pyramid_filter()
f = [.05, .25, .4, .25, .05]; % original [Burt and Adelson, 1983]
%f = [.0625, .25, .375, .25, .0625]; % binom-5
f = f'*f;
end
通過上面的代碼，我們可以得到拉普拉斯金字塔如下所示。
由于拉普拉斯金字塔保留了高頻信號，那么我們可以用它來重建原始圖像。
function R = reconstruct_laplacian_pyramid(pyr)
r = size(pyr{1},1);
c = size(pyr{1},2);
nlev = length(pyr);
% start with low pass residual
R = pyr{nlev};
filter = pyramid_filter;
for l = nlev - 1 : -1 : 1
% upsample, and add to current level
odd = 2*size(R) - size(pyr{l});
R = pyr{l} + upsample(R,odd,filter);
%figure
%imshow(R,[]);
%imwrite(mat2gray(R),[num2str(l),'.jpg']);
end
需要注意的地方
為什么在處理高斯金字塔的時候需要采用濾波呢，直接下采樣不可以嗎？
如果把圖像看做頻率信號的話，直接進行下采樣則會出現采樣不足的情況，消除這種情況的方法是采用低通濾波器（高斯濾波器）對圖像進行濾波，將采樣不足的高頻信號過濾掉，這樣在進行下采樣的時候就保證了不出現采樣不足的情況。-
一般在圖像處理中，將上面Matlab實現的下采樣函數（包括高斯濾波和圖像尺寸減半）這一部分叫做Reduce，將上面Matlab實現的上采樣函數（包括高斯濾波和圖像尺寸增加一倍）這部分叫做Expand，如果用數學方式表達的話，Expand函數如下：
注意前面需要乘以４。
拉普拉斯金字塔可以看做一個帶通濾波器，在每一級都保留了圖像某個頻率值附近的成分。（這一點與高斯金字塔不同，高斯金字塔是低通金字塔）
兩個低通濾波器的差值就構成了一個帶通濾波器。
Python實現
下面是高斯金字塔和拉普拉斯金字塔的Opencv-Python實現
import cv2
import numpy as np
def gaussian_pyr(img,lev):
img = img.astype(np.float)
g_pyr = [img]
cur_g = img;
for index in range(lev):
cur_g = cv2.pyrDown(cur_g)
g_pyr.append(cur_g)
return g_pyr
def laplacian_pyr(img,lev):
img = img.astype(np.float)
g_pyr = gaussian_pyr(img,lev)
l_pyr = []
for index in range(lev):
cur_g = g_pyr[index]
next_g = cv2.pyrUp(g_pyr[index+1])
cur_l = cv2.subtract(cur_g,next_g)
l_pyr.append(cur_l)
l_pyr.append(g_pyr[-1])
return l_pyr
def lpyr_recons(l_pyr):
lev = len(l_pyr)
cur_l = l_pyr[-1]
for index in range(lev-2,-1,-1):
print(index)
cur_l = cv2.pyrUp(cur_l)
next_l = l_pyr[index]
cur_l = cur_l + next_l
return cur_l
